摘要： 本文作者力圖從理論與實(shí)踐的角度對“一題多解”作專門的探討。作者通過對單招多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，抽選了比較典型的例題，全方位分析、做解，通過多種解題技巧與方法進(jìn)行解答，使學(xué)生在解題過程中體會到數(shù)學(xué)知識的連貫性和靈巧性，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué) 一題多解 立體幾何 例題

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，盡管代數(shù)、幾何、三角等各個章節(jié)都有自己的“數(shù)或形”的重點(diǎn)，但它們之間并沒有不可逾越的鴻溝。大家常講的所謂“一題多解”，正是指從數(shù)學(xué)知識的各種不同角度，運(yùn)用不同的思維方法去解決同一個問題。因此“一題多解”所涉及的知識、方法、思想，較單一方法解題的面更廣，方法更靈活。

筆者在長期的單招教學(xué)實(shí)踐中深刻體會到：“練不在多，而在于精”。恰當(dāng)且適量地采用“一題多解”的教學(xué)，進(jìn)行多角度的解題思路分析，探討解題規(guī)律和解題方法與技巧，對學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識形成知識網(wǎng)絡(luò)、提高解題技能、發(fā)展邏輯思維、提高分析問題解決問題的能力十分有益。事實(shí)證明，通過一題多解，能夠卓有成效地開拓學(xué)生的思維空間，使學(xué)生把所學(xué)過的知識融會貫通，靈活運(yùn)用知識提高解題能力，提高綜合素質(zhì)和綜合能力。在對“一題多解”進(jìn)行探討時教師不僅應(yīng)教給學(xué)生知識，更應(yīng)注重教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，使我們的教學(xué)取得明顯的“教學(xué)效應(yīng)”。下面，筆者就以單招三年級總復(fù)習(xí)中一個立體幾何的典型例題來介紹一下如何培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的能力。

立體幾何一向是學(xué)生的薄弱部分，特別是輔助線的添加，很多學(xué)生不得要領(lǐng)。筆者通過下一例題的教學(xué)，從不同角度添加輔助線的方法來教會學(xué)生如何解決這類問題。

例題：如圖一，在60°的二面角的棱上，有兩個點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段。已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。

分析：這是一個非常典型的二面角和異面直線的題目，通常有兩種解法，但筆者通過知識的引申和添加不同的輔助線，在教學(xué)中采用四種不同的方法進(jìn)行講解，取得了良好的效果。

解法一：因?yàn)锳C、BD是異面直線，同時AB是AC、BD的公垂線，AC、BD所成角為60°，因此由異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式即可求得距離：

CD＝

＝

＝2

點(diǎn)評：本題所用公式學(xué)生感覺很難掌握，而且此公式還需判斷“±”號，那能否利用添加輔助線的方法來解決這一問題呢？

解法二：如圖二，在α面內(nèi)作BG⊥AB，連接CG、DG，由二面角的定義可知∠DBG＝60°，根據(jù)余弦定理可得DG＝ ＝2

又因?yàn)镃G⊥面BDG，所以△CGD為直角三角形，從而可得CD＝ ＝2

點(diǎn)評：這一解法的輔助線添加正是二面角的性質(zhì)所要求的，一方面它構(gòu)造出了二面角的平面角，另一方面也構(gòu)造出直角△CDG，從而求出斜邊CD的值。

解法三：如圖三，作CE⊥平面β，連接AE，ED，并作EF//AB，則∠CAE＝60°，所以AE＝3。

∵四邊形AEFB為矩形，∴FD＝5。

則在Rt△EFD可得ED= ，

又在Rt△CED可得CD＝2 。

點(diǎn)評：這一解法充分運(yùn)用二面角定義及三垂線定理的知識，注重平面幾何與立體幾何的充分結(jié)合，同時強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。

解法二和解法三表面看來較煩，實(shí)則是將解法一進(jìn)行了有效的分解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。

既然能把CD轉(zhuǎn)化為某一直角邊，那么能否將CD轉(zhuǎn)化為某一幾何體中的線段呢？

解法四：如圖四，作BG AC、EF AC、DH AC，并連接CF、AE、FH、ED、GH，此時得到的即是一個平行六面體CFGH－AEDB，而CD即為這個平行六面體的對角線，因此易得CD=2 。

點(diǎn)評：這一解法將幾條看似無關(guān)的線段通過作輔助線的方法放在了同一個平行六面體中，并且所求線段即為平行六面體的對角線，這一解法充分體現(xiàn)了添加輔助線的精妙之處。

向量融數(shù)形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重身份”，既有線段表達(dá)式，又有坐標(biāo)表達(dá)式，是解決問題的一種重要工具，向量本身的特點(diǎn)決定了它與立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容的自然融合，是知識的“交匯點(diǎn)”，因此空間向量為立體幾何中夾角與距離的求解提供了通法。下面就介紹一種通過空間向量來解決這個題的方法。

解法五：如圖五，以A作為原點(diǎn)，以過A且平行于BD的直線作為x軸，棱AB作為y軸，垂直于面β且過A點(diǎn)的直線作為z軸建立空間坐標(biāo)系。

此時，根據(jù)已知條件可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0，3 ），D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4，0），根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得｜ ｜＝ ＝2 。

這一解法同時也體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的可轉(zhuǎn)化性。

實(shí)踐證明，對學(xué)生一題多解能力的訓(xùn)練，使學(xué)生復(fù)習(xí)做題時不再是“題海無涯苦無休”，而是出現(xiàn)了“柳暗花明，萬紫千紅”的氛圍。同時從“一題多解”的教學(xué)，也反映出一個教師對教學(xué)的認(rèn)識和觀念的差異，是重形式還是重實(shí)質(zhì)，是看過程還是看目的，是側(cè)重知識的機(jī)械記憶還是著眼于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。這是關(guān)系到教學(xué)是否成功的關(guān)鍵。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”