學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)借助拼圖直觀地學(xué)習(xí)了圖形的面積，到了初中，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)的時候，已經(jīng)知道了代數(shù)與幾何之間可以互相轉(zhuǎn)化，并完美地結(jié)合在一起，知道可以用幾何知識來研究代數(shù)，代數(shù)與幾何之間具有內(nèi)在的聯(lián)系?；凇白寣W(xué)生在做中感受和體驗，在做中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，在做中培養(yǎng)創(chuàng)新精神”的理念，在學(xué)生學(xué)習(xí)了“勾股定理”后開展“拼圖與勾股定理”的探究活動，對于幫助學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合意識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和興趣具有重要的意義。

下面是筆者組織的探究活動實錄及反思，供大家參考。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能。

(1)理解并掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法;

(2)學(xué)會用拼圖的方法驗證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力。

2.過程與方法。

(1)通過豐富有趣的拼圖，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、推理、交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考與表達(dá)的能力，獲得一些研究問題和合作交流的方法與經(jīng)驗;

(2)經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題的方法的多樣性，進(jìn)一步體會勾股定理的文化價值;通過驗證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合的思想，以及數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.情感、態(tài)度與價值觀。

(1)通過拼圖活動，體驗數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維;

(2)通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，在探究活動中，體會解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和探索精神;

(3)利用拼圖方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn)，借助此過程，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

二、教學(xué)重點

經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會勾股定理的文化價值。

三、教學(xué)難點

經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理。

四、教學(xué)過程

1.活動一。

師:每個小組都有四個全等的直角三角形和一個正方形(如圖1)，其中直角三角形的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c;正方形的邊長為b-a。你能用它們拼成一個正方形嗎?你能用它們拼成兩個正方形嗎?你能說出每個正方形的邊長嗎?

小組合作完成后，讓學(xué)生到黑板上演示并解說。

第4小組:我們首先拼成這樣一個正方形(如圖2)，它的邊長為c，然后拼成兩個正方形(如圖3)。(由兩人合作完成)

學(xué)生:我在資料上看到，劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補略有不同。劉徽的證明原來也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字:“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也?！焙笕烁鶕?jù)這段文字補了一張圖(圖13)。

3.活動三。

師:其實，在國外也有很多很好的用拼圖證明勾股定理的方法。(如圖14)直角三角形ABC的直角邊分別為a和b，斜邊為c，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的邊長分別為a、b、c，我們一起試一試:首先用一條水平直線和一條豎直的直線將正方形Ⅱ分成四部分，再將它們與正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。

小組合作完成后，讓學(xué)生到黑板上演示并解說。

第6小組:我們按照這種方法，也將正方形Ⅱ這樣(演示)分成四塊(圖15)，但發(fā)現(xiàn)拼不成。

第4小組:他們的豎直線畫得和我們不同(圖16)，我們認(rèn)為要用一條水平直線和一條豎直直線將正方形Ⅱ分成四個四邊形，再將四個四邊形有公共頂點的四個直角與正方形Ⅲ的四個直角相對應(yīng)，最后將正方形Ⅰ放在中間，正好拼成正方形Ⅲ。

第5小組:我們發(fā)現(xiàn)無論橫線還是豎線在正方形Ⅱ內(nèi)部的長度都必須等于直角三角形的斜邊長c。

學(xué)生:想不到這么高深的數(shù)學(xué)問題我也能解決!

學(xué)生:現(xiàn)在我知道了動手做也可以研究數(shù)學(xué)問題。我不再感覺數(shù)學(xué)是枯燥的了，數(shù)學(xué)其實很有趣。

學(xué)生:我知道了原來我們中國古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)取得非常高的成就，我要向他們學(xué)習(xí)，學(xué)好數(shù)學(xué)，成為像他們那樣的數(shù)學(xué)家。

五、教學(xué)反思

通過“拼圖與勾股定理”探究活動的教學(xué)，筆者有以下幾點體會。

1.探究活動的起點不宜過高。

探究活動重在引導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探索、善于實踐，把握知識的全過程，明曉數(shù)學(xué)的來龍去脈。在“拼圖與勾股定理”的探究活動中，筆者以中國古代和外國已有的證明勾股定理的方法為基礎(chǔ)，精心設(shè)計了三個拼圖活動，使學(xué)生在教師引導(dǎo)下，通過動手操作和思考，發(fā)現(xiàn)用拼圖可以驗證勾股定理，并明白其中蘊涵的數(shù)學(xué)原理和思想方法。所有的問題，學(xué)生通過觀察、比較、拼圖、推理、交流等都能得到解決，既不淺顯，又不是高不可攀，使學(xué)生能做、樂做，同時又享受到做中的樂趣。

2.探究活動中學(xué)生的參與度很重要。

在“拼圖與勾股定理”的探究活動中，90%以上的時間是學(xué)生在思考、交流、操作、發(fā)言和演示。每一個小組都有展示，每一個學(xué)生都在做、想、說，雖然其中有困惑、有障礙、有失敗，但每個學(xué)生樂此而不疲，做的專心致志，想的眉頭緊鎖，聽的津津有味，說的深入淺出，而且總會冒出一些出乎意料的問題和方法。這些得益于各小組的明確分工，使得每個學(xué)生都有動手操作的機(jī)會和發(fā)言的空間，也得益于教師對失敗和錯誤的包容、對成功和精彩發(fā)言的表揚鼓勵。整個過程中學(xué)生的意見得到發(fā)表，創(chuàng)造得到肯定，每個學(xué)生都有收獲。

3.探究活動中學(xué)生有創(chuàng)造。

學(xué)生以前知道的勾股定理證明方法很有限，對于本活動中的許多證明方法，學(xué)生以前并不了解。對于學(xué)生來說，這些方法都是新的，而且是他們創(chuàng)造的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，就是使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，獨立地發(fā)現(xiàn)新知識，獨立解決自己未曾解決過的問題或把所學(xué)的知識應(yīng)用到新的情境中去的能力。

總之，“拼圖與勾股定理”的探究活動，應(yīng)著重于學(xué)生親身體驗，操作實驗。對于初中學(xué)生而言，容易使拼圖活動停留在表面，缺乏深入的思考。因此，教師應(yīng)及時加以啟發(fā)、引導(dǎo)。同時，不同的拼圖方法既有共性，又有各自的精華，需要學(xué)生在操作中體會、反思、領(lǐng)悟，教學(xué)過程不能急躁冒進(jìn)，教師要留給學(xué)生一定的獨立自主的操作、思考的時間，要創(chuàng)造一個良好的課堂學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生能以一個創(chuàng)造者或發(fā)明者的身份去探究知識。教師應(yīng)給學(xué)生提供一個充分的交流和小組合作的時間和機(jī)會，鼓勵他們積極思考解決問題的方法。