摘 要： 要求一個(gè)不定方程的全部的解相當(dāng)困難。利用容斥原理和排列組合的有關(guān)知識(shí)可求得一類不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)，本文例舉了一些解該類型題的常用的技巧與方法。

關(guān)鍵詞： 不定方程 隔板法 容斥原理

一

不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)的方程或方程組。一般不定方程存在無(wú)窮多組解。求不定方程的正整數(shù)解的問(wèn)題，屬于數(shù)學(xué)中的一個(gè)古老而重要的分支——數(shù)論的內(nèi)容。而數(shù)論的初級(jí)階段所涉及的一些數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，看起來(lái)似乎很簡(jiǎn)單，任何人都能了解，但在解題中合理、靈活地應(yīng)用，卻是多數(shù)人辦不到的。一般來(lái)說(shuō)，求解不定方程的整數(shù)解這一類型的題目，有時(shí)并不需要很多的基礎(chǔ)知識(shí)，但卻必須具有較強(qiáng)的邏輯思維和邏輯推理能力。

例1：求方程x+x+x+x=18的正整數(shù)解的組數(shù)。

解析：求方程x+x+x+x=18的正整數(shù)解的組數(shù)，可以處理成以下這種模型：把18個(gè)小球一字排開(kāi)，中間有17個(gè)空位，若從中任取3個(gè)空位插上隔板，則可把這18個(gè)小球分成4份，每份至少1個(gè)小球，如果x，x，x，x分別對(duì)應(yīng)取其中一份，隔板放法的種數(shù)恰好就是方程x+x+x+x=18的正整數(shù)解的組數(shù)，即有C=680個(gè)正整數(shù)解。（這種解決問(wèn)題的方法叫做隔板法）

由這個(gè)例子我們可以得到一個(gè)定理。定理：方程x+x+x+…+x=n（m≤n，m，n∈N）的正整數(shù)解的組數(shù)為C。

證明：由題意，方程的正整數(shù)解的組數(shù)等于把n個(gè)元素分成m組，每組至少一個(gè)共有的分法數(shù)。

n個(gè)元素中間有（n-1）個(gè)空，在其中選?。╩-1）個(gè)放入隔板即可，共有C種做法，即方程解的組數(shù)共有C。

注意：定理對(duì)x（i=1，2，…，m）的基本要求為x≥1，x∈N（i=1，2，…，m）。

二

對(duì)于不滿足定理?xiàng)l件的不定方程，有的可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，然后用定理來(lái)解決。

例2：求不定方程x+x+x+x=18的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)。

解析：求不定方程x+x+x+x=18的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，即對(duì)x（i=1，2…4）的要求為x≥0，x∈N（i=1，2，…，4），它不滿足定理的要求，不能直接用定理來(lái)解決，但是x+x+x+x=18（x≥0，x∈N，i=1，2，…，4）等價(jià)于（x+1）+（x+1）+（x+1）+（x+1）=22（x≥0，x∈N，i=1，2，…，4），令x+1=x′，則原不定方程等價(jià)于x′+x′+x′+x′=22（x′≥1，x∈N，i=1，2，…，4），此時(shí)不定方程滿足定理的要求，而以上三個(gè)不定方程解的組數(shù)是相同的。所以原不定方程的解的組數(shù)C=1330。

三

以上類型的轉(zhuǎn)化，就是通過(guò)變量代換，把不滿足定理?xiàng)l件的不定方程，轉(zhuǎn)換為滿足定理?xiàng)l件的不定方程。應(yīng)用容斥原理和定理還能夠解決另一類型的不定方程的解的組數(shù)問(wèn)題。在這里先介紹一下容斥原理。

如上圖所示，集合A∪B的元素個(gè)數(shù)|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，

對(duì)于三個(gè)集合A，B，C的情況，我們有|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-（|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|）+|A∩B∩C|。

將上述公式推廣到有限集合的情形，得到下面的容斥原理一：

|A∪A∪…∪A|=|A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A|。

證明：n=2時(shí)，有|A∪A|=|A|+|A|-|A∩A|。

假設(shè)n-1時(shí)有|A∪A∪…∪A|=|A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A||A∪A∪…∪A|=|（A∪A∪…∪A）∪A|=|A∪A∪…∪A|+|A|-|（A∪A∪…∪A）∩A|。

而（A∪A∪…∪A）∩A=（A∩A）∪（A∩A）∪…∪（A∩A），

∴|（A∪A∪…∪A）∩A|=（A∩A）∪（A∩A）∪…∪（A∩A）=|A∩A|+|A∩A|+…+|A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-…-|A∩A∩A|+…+（-1）|A∩A∩…A|= |A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A|，

定理得證。

另外我們?nèi)菀鬃C明若A，A，…，A是集合I的子集，CA表示A在I中的補(bǔ)集，則有：

C（A∪A∪…∪A）=CA∩CA∩…∩CA，

C（A∩A∩…∩A）=CA∪CA∪…∪CA。

由以上兩式我們得到容斥原理二：

|CA∩CA∩…∩CA|=|I|-|A∪A∪…∪A|=|I|-|A|+|A∩A|-|A∩A∩A|+…+（-1）|A∩A…∩A|。

例3：求不定方程x+x+x+x=18（x≤5，x≤4，x≤3，x≤6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的組數(shù)。

分析：記x+x+x+x=18（x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合為I，則|I|=C=680。記x+x+x+x=18（x＞5，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合為A，則|A|=C=220。記x+x+x+x=18（x＞4，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合為A，則|A|=C=286。記x+x+x+x=18（x＞3，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合為A，則|A|=C=364。記x+x+x+x=18（x＞6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合為A，則|A|=C=165。

|A∩A|為x+x+x+x=18（x＞5，x＞4，x∈N，i=1，2，…，4）的解的個(gè)數(shù)，|A∩A|=C=56，同理|A∩A|=C=84，|A∩A|=C=20，|A∩A|=C=120，|A∩A|=C=35，|A∩A|=C=56，|A∩A∩A|=C=10，|A∩A∩A|=0，|A∩A∩A|=C=1，|A∩A∩A|=C=4，|A∩A∩A∩A|=0。

所求的x+x+x+x=18（x≤5，x≤4，x≤3，x≤6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的組數(shù)即為|CA∩CA∩CA∩CA|=|I|-|A|- |A|-|A|-|A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|+ |A∩A∩A∩A|=C-C-C-C-C+C+C+C+C+C+C-C-0-C-C+0=1。

參考文獻(xiàn)：

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