摘 要： 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際醫(yī)學(xué)問題的能力是醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個難點(diǎn)。本文針對當(dāng)前醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，闡述了在醫(yī)用數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的途徑和方法，以及在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)的問題。

關(guān)鍵詞： 醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模

1.引言

數(shù)學(xué)方法已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)科研中不可缺少的工具，醫(yī)學(xué)和數(shù)學(xué)相互滲透使得醫(yī)學(xué)科學(xué)中的許多定性問題能夠定量研究，即能夠有效地探索醫(yī)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域中物質(zhì)的質(zhì)與量關(guān)系的規(guī)律性，推動醫(yī)學(xué)科學(xué)突破狹隘經(jīng)驗(yàn)的束縛，向著定量、精確、可計(jì)算、可預(yù)測、可控制的方向發(fā)展，并由此逐漸派生出生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)、數(shù)量遺傳學(xué)、藥代動力學(xué)、計(jì)量診斷學(xué)、計(jì)量治療學(xué)、定量生理學(xué)等邊緣學(xué)科。此外預(yù)防醫(yī)學(xué)、基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)和臨床醫(yī)學(xué)等傳統(tǒng)學(xué)科也都在試圖建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來探索其內(nèi)在規(guī)律。但目前在一般醫(yī)學(xué)院校里傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式與醫(yī)學(xué)嚴(yán)重脫節(jié)，僅開設(shè)高等數(shù)學(xué)等課程，而沒有注意訓(xùn)練學(xué)生如何從實(shí)際醫(yī)學(xué)問題中提煉出數(shù)學(xué)模型，以及如何將數(shù)學(xué)分析的結(jié)果用來解決實(shí)際問題，其后果是學(xué)生學(xué)了不少數(shù)學(xué)，但不會“用數(shù)學(xué)”。因此教師有必要改進(jìn)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，使數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)能有機(jī)地結(jié)合起來。

數(shù)學(xué)建模，簡而言之就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程。如力學(xué)中的牛頓定律、電磁學(xué)中的麥克斯韋方程組、生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的典型范例［１］。20世紀(jì)下半葉以來，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用也取得了一些可喜的成果，最引人注目的是醫(yī)療診斷專家系統(tǒng)［２］。值得一提的是1974年丹麥免疫學(xué)家Niels K.Jerne在他的論文《關(guān)子免疫系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)學(xué)說》中揭示了現(xiàn)代醫(yī)學(xué)科研的新模式：醫(yī)學(xué)問題—數(shù)學(xué)化（定量分析）—數(shù)學(xué)模型—反饋修正（實(shí)踐檢驗(yàn)）—定性理論。這就啟發(fā)我們可以將醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來，在教學(xué)中滲透建模的思想。這樣不但能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能提高學(xué)生將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等方面的知識應(yīng)用于醫(yī)學(xué)實(shí)踐的能力。

2.醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

由上可知，當(dāng)醫(yī)學(xué)插上數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)這兩支“翅膀”時，醫(yī)學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)了奇跡般的飛躍。然而，為醫(yī)學(xué)領(lǐng)域輸送人才的醫(yī)學(xué)院校，醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)模式卻遠(yuǎn)不能適應(yīng)這一發(fā)展需求。其主要存在以下幾個問題。

2.1醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容單調(diào)和過于理論化

首先，大多數(shù)醫(yī)學(xué)院校醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)課程中理論聯(lián)系實(shí)際的例子太少，而且只涉及微積分、簡單概率統(tǒng)計(jì)和簡單微分方程，沒有考慮增加現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的很多有意義的分支內(nèi)容，如模糊數(shù)學(xué)、粗糙集、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，這在一定程度影響了學(xué)生把實(shí)際醫(yī)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力。其次，某些教師在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中過多強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)或論證，卻不能將這些知識放在醫(yī)學(xué)背景中拓展，導(dǎo)致醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)際上變成純數(shù)學(xué)課程。最后，部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)太深奧，與自己的專業(yè)沒有多少聯(lián)系，因此認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對他們來說沒有什么意義。

2.2醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)脫節(jié)

在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容中有很多抽象理論，涉及的計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣，往往人工計(jì)算難以進(jìn)行。這時需要借助計(jì)算機(jī)，利用數(shù)學(xué)軟件Maple、Mathematica、Matlab、SPSS、SAS等對模型進(jìn)行計(jì)算分析。然而在目前的教學(xué)過程中教師很少把這些數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)用對學(xué)生進(jìn)行講授，有些教師雖然介紹了這些數(shù)學(xué)軟件，但很少讓學(xué)生動手操作。最后導(dǎo)致一些學(xué)生即便已經(jīng)了解理論，但對實(shí)際問題計(jì)算分析卻難以進(jìn)行下去。因此筆者認(rèn)為，對醫(yī)學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求應(yīng)該是：了解數(shù)學(xué)方法，熟悉醫(yī)學(xué)實(shí)際問題，并能將其簡化為簡單的數(shù)學(xué)模型，而且會用計(jì)算機(jī)對模型進(jìn)行計(jì)算分析。

3.如何在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想

3.1在概念引入教學(xué)中融入建模思想

在實(shí)踐中能夠直接運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題的情況是很少的，而且如何用數(shù)學(xué)語言來描述所面臨的實(shí)際問題也往往不是輕而易舉的。使用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的第一步就是要從實(shí)際問題的看起來雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型。組建數(shù)學(xué)模型，不僅要進(jìn)行演繹推理，而且要對復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情況進(jìn)行歸納、總結(jié)和提煉。這就要求我們必須改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只重視推理的教學(xué)模式，突出對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解與應(yīng)用，精簡一些深奧的數(shù)學(xué)理論，簡化復(fù)雜的抽象推理，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)結(jié)果的說明、直觀解釋和應(yīng)用舉例等，逐步訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識與方法解決實(shí)際問題［３］。

高等數(shù)學(xué)中的概念相比初等數(shù)學(xué)中的概念更為抽象，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，學(xué)生在開始學(xué)習(xí)這些概念的時候總想知道這些概念的來源和應(yīng)用，希望在實(shí)際問題中找到概念的原型。事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)的微積分概念的形成中本身就滲透著數(shù)學(xué)建模思想。因此在概念引入教學(xué)中教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)與概念緊密聯(lián)系的實(shí)際問題情境，讓學(xué)生了解概念的來龍去脈，同時展現(xiàn)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，引出數(shù)學(xué)概念，建立數(shù)學(xué)模型。

例如在導(dǎo)出定積分的概念時，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：實(shí)際問題：如何求變速直線運(yùn)動的路程？

問題提出后，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立模型。如果速度是不變的，那么路程＝速度×?xí)r間。但是這里的速度不是一個常數(shù)，所以上述公式不能用。我們可以這樣考慮：把時間段分為許多小區(qū)間，當(dāng)時間段分割得足夠小時，由于速度的變化是連續(xù)的，可以認(rèn)為各小區(qū)間段內(nèi)的速度是勻速的，即小區(qū)間內(nèi)的速度看作是一個常數(shù)，用這一小段的時間乘以速度就是這一小段的近似路程，把所有小段時間的路程加起來就得到路程的近似值。要想得到精確的值，就要把分割無限地加細(xì)，使每個小區(qū)間段的長度都趨于零，這時所有小區(qū)間段上的路程之和的極限就是所求的路程。

3.2在醫(yī)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)中滲透建模思想

由于醫(yī)學(xué)問題的復(fù)雜性和醫(yī)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的局限性，分析問題時，我們首先要對實(shí)際醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，建立比較簡單的數(shù)學(xué)模型。然后逐漸強(qiáng)化條件，來建立比較符合實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

以傳染病模型為例［4］，可設(shè)置如下的教學(xué)案例。

傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型：傳染病傳播涉及的因素很多，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，以及人員的遷入和遷出、潛伏期的長短、預(yù)防疾病的宣傳等因素的影響。

如果一開始就把所有的因素考慮在內(nèi)，很難建立比較合理的模型，因此我們應(yīng)先舍去眾多次要因素，抓住主要因素，把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問題，逐步修改原有假設(shè)，再建立一個與實(shí)際比較吻合的模型。

問題分析與思考：①描述傳染病的傳播過程；②分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律；③預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時刻；④預(yù)防傳染病蔓延的手段。

接下來按照傳染病傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型。

模型1：考慮最簡單的情形，假設(shè)：（1）每個病人單位時間內(nèi)有效接觸（足以使人致?。┤藬?shù)為常數(shù)；（2）一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。

記i（t）表示時刻t病人數(shù)，初始時刻的病人數(shù)為i（0）=i，于是得微分方程：=λi（t），解得i（t）=ie，這個結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但當(dāng)t→∞時，i（t）→∞，顯然是不合理的。

模型2：將模型1的假設(shè)（1）修改為：每個病人單位時間內(nèi)有效接觸人數(shù)為常數(shù)λ，且使接觸的健康人致病；假設(shè)（2）同上；增加假設(shè)（3）總?cè)藬?shù)不變，病人和健康人比率分別為i（t）、s（t），即i（t）+s（t）=1，得微分方程：=λi（t）s（t）。

此模型可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的傳染病高峰到來的時間，但當(dāng)t→∞時，i（t）→1，即最后人人都要生病，顯然是不合理的。

模型3：假設(shè)傳染病無免疫性，病人治愈成為健康人可再次被感染。則在模型2的基礎(chǔ)上修改假設(shè)（2）病人每天治愈的比例為μ，得微分方程：=λi（t）（1-i（t））-μi（t）?圯=λi（t）［i（t）-（1-）］。

當(dāng)t→∞時，i（∞）=1-，＜10，≥1，可知模型基本符合實(shí)際情況，但當(dāng)＜1時，i（∞）→1-不太合理。

模型4：假設(shè)傳染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系統(tǒng)。則在模型3的基礎(chǔ)上修改假設(shè)（3）總?cè)藬?shù)N不變，病人、易感染者和移出者的比率分別為i（t）、s（t）、r（t），即i（t）+s（t）+r（t）=1。

建立模型：

由上知易感染者Ns（t）的變化率：N=-N-N=-λNs（t）i（t）。

不妨設(shè)初始時刻的易感染者、病人、移出者的比例分別為s（s＞0），i（i＞0），r=0，則模型4用微分方程表示如下：

=λs（t）i（t）-μi（t）=-λs（t）i（t） =-1i|=i。

我們可以發(fā)現(xiàn)i（t）、s（t）求解非常困難，先做數(shù)值計(jì)算來預(yù)估計(jì)i（t）、s（t）的一般規(guī)律，再利用相軌線i（s）討論解i（t）、s（t）的性質(zhì)，得到：

①不論初始條件s、i如何，病人最終將消失，即：i=0。

②當(dāng)s=，i=i，可知：

第1種情況：當(dāng)s＞時，i（t）先升后降至0，說明傳染病蔓延。

第2種情況：當(dāng)s≤時，i（t）單調(diào)降至0，說明傳染病不蔓延。

可知傳染病不蔓延的條件是s≤。所以為了防止傳染蔓延有兩種途徑：一是提高閥值，也就是說降低接觸率λ和提高治愈率μ，即提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平；二是降低最初易感染者的比例s，也就是說提高有免疫力人群的比例r，即預(yù)防接種，提高整個群體的免疫力。此模型更符合一般的實(shí)際情況。

在實(shí)際建模過程中，經(jīng)常遇到求解模型的解析解比較難或者模型沒有解析解，這就需要借助已有的數(shù)學(xué)軟件對現(xiàn)有的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行計(jì)算分析，從中找出隱藏的規(guī)律。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)將是解決上述問題的一個重要手段。引入實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)就是要求學(xué)生運(yùn)用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，對實(shí)際醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行分析、簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后利用計(jì)算機(jī)對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解（或者數(shù)值計(jì)算分析），最后結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型，從而發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。

4.結(jié)語

數(shù)學(xué)建模是通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)、資料，觀察和研究其固有的特征和內(nèi)在的規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想、方法和手段對實(shí)際問題進(jìn)行抽象和合理假設(shè)，創(chuàng)造性地建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法輔以計(jì)算機(jī)等設(shè)備對模型加以求解，最后返回到實(shí)際中去解釋、分析實(shí)際問題，并根據(jù)實(shí)際問題的反饋結(jié)果對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證、修改、并逐步完善［５］。在醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，一方面能使學(xué)生逐步熟悉和掌握利用數(shù)學(xué)方法來解決實(shí)際醫(yī)學(xué)問題。這將使學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用產(chǎn)生興趣，并逐步提高其實(shí)際的醫(yī)療水平。另一方面對于從事多年傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師來說，也是一項(xiàng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，更新教學(xué)方法的實(shí)踐，能使教師的數(shù)學(xué)教學(xué)從與醫(yī)學(xué)脫節(jié)的理論傳授方式向醫(yī)學(xué)實(shí)際的應(yīng)用數(shù)學(xué)模式轉(zhuǎn)化。

參考文獻(xiàn)：

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［2］易非易.論醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)化［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2001，21，（4）：124-126.

［3］黃治琴，孫紅衛(wèi).高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的幾點(diǎn)嘗試［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8，（3）：69-71.

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