摘 要： 數(shù)學(xué)悖論是指在當前的數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系下由一些“正確”的事實或“可接受”的約定出發(fā)，經(jīng)過嚴密正確的邏輯推理得到的矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論。它既具有極強的思辨品格，又具有濃厚的幽默色彩，對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用。本文通過揭示數(shù)學(xué)悖論的認識根源、思維特色，挖掘出數(shù)學(xué)悖論的積極意義，進而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)探索的情趣。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)悖論 認識根源 思維特色 積極意義

數(shù)學(xué)常被視為嚴格、和諧、精確的學(xué)科，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)發(fā)展從來不是完全直線式的，它的體系不是永遠和諧的，而常常出現(xiàn)悖論。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，是指在某一一定的理論體系的基礎(chǔ)上，根據(jù)合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的結(jié)論。數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)理論中的發(fā)展是一件嚴重的事，因為它直接導(dǎo)致了人們對相應(yīng)理論的懷疑，對數(shù)學(xué)可靠性的動搖，甚至導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機”。它有三種主要形式：1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。

一、數(shù)學(xué)史中三個著名的悖論產(chǎn)生、消除及其歷史意義

數(shù)學(xué)史上曾出現(xiàn)過三次關(guān)于數(shù)學(xué)悖論的提出和化解過程。一是“希帕索斯悖論”與第一次數(shù)學(xué)危機的化解。公元前五世紀，當人們對數(shù)的認識僅限于有理數(shù)范圍時，古希臘的著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達哥拉斯提出了“萬物皆數(shù)”的著名論斷，其數(shù)學(xué)體現(xiàn)就是“一切現(xiàn)象均可表示為整數(shù)或整數(shù)之比”。此后該學(xué)派的成員希帕索斯提出了一個新問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)表示，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示?！跋Ｅ了魉广Ｕ摗睂?dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)的誕生，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴格定義，提出了一個含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實數(shù)，并建立了完整的實數(shù)理論?！跋Ｅ了魉广Ｕ摗钡南峭ㄟ^否定產(chǎn)生這一矛盾的前提“宇宙的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”而完成的，它使希臘人從依靠直覺、經(jīng)驗轉(zhuǎn)向依靠證明，不僅擴大了數(shù)域，而且?guī)砹斯砘椒〝?shù)學(xué)學(xué)科向前發(fā)展。二是“貝克萊悖論”與第二次數(shù)學(xué)危機的化解。在十七世紀，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具被牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)，許許多多數(shù)學(xué)疑難問題便迎刃而解。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因此，從微積分誕生時就遭到了一些學(xué)者的反對與攻擊，其中最猛烈的是英國大主教貝克萊。這一問題的提出在當時的數(shù)學(xué)界又引起新的大辯論，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。此后經(jīng)過達朗貝爾、柯西、歐拉、康托爾等數(shù)學(xué)家歷經(jīng)100多年的不懈努力，重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，才結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機的基本解決。在“貝克萊悖論”消除的過程中，數(shù)學(xué)家不是把“無窮小量”概念中所蘊含的樸素的辯證法因素連同其邏輯上的混亂一起拋掉，而是創(chuàng)立了一種更加自洽、更為嚴密的數(shù)學(xué)理論——極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)使微積分方法趨于完善，令人信服。三是“羅素悖論”與第三次數(shù)學(xué)危機的化解。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。1908年，策梅羅等建立了第一個公理化集合論體系——ZF系統(tǒng)，在很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。

數(shù)學(xué)史上由于“悖論”而導(dǎo)致的三次危機與解決過程中，盡管各種數(shù)學(xué)悖論產(chǎn)生的歷史背景不同，表現(xiàn)形式各異，但它們都是某一數(shù)學(xué)理論原有體系中蘊藏著（邏輯）矛盾的反應(yīng)。數(shù)學(xué)家在設(shè)法消除這些已被發(fā)現(xiàn)的矛盾的進程中更新了數(shù)學(xué)觀念、完善了思維方法、推動了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，在更高的層次上實現(xiàn)了新的和諧統(tǒng)一與完善。因此數(shù)學(xué)悖論是促使數(shù)學(xué)理論不斷追求和諧、不斷趨于完善的一種重要的推動力，是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機和希望的火種，它對數(shù)學(xué)的發(fā)展具有積極的作用。故而廣大數(shù)學(xué)工作者不應(yīng)害怕、回避數(shù)學(xué)悖論，相反，應(yīng)重視、研究數(shù)學(xué)悖論，充分使它發(fā)揮積極作用，不斷地促使數(shù)學(xué)理論向更高更深的層次發(fā)展和完善。

二、數(shù)學(xué)悖論的思維特色

通過以上數(shù)學(xué)史中著名的三個數(shù)學(xué)悖論，以及其它數(shù)學(xué)悖論的研究和學(xué)習(xí)，我們對數(shù)學(xué)悖論的思維特色有以下三點認識。

首先，悖論是人們對客觀事物的認識。希帕索斯悖論來源于對直角三角形的認識；貝克萊悖論是人們對有限和無限、存在和非存在兩種對立概念認識的深化；羅素悖論是人們對集合集合內(nèi)部矛盾的認識。因此，悖論決不是脫離客觀實際的憑空想象，也不是客觀事物的規(guī)律性在人腦中簡單地移植，而是由主客體多次反復(fù)作用，認識達到高一級階段主客體作用的結(jié)果。當人們試圖以原有的理論和方法及邏輯去解釋一些新的現(xiàn)象和規(guī)律時，就產(chǎn)生了認識和客體之間的沖突，反映到人的主觀思維上，打亂了舊的思維層次，而新的思維不能同原有的知識合乎邏輯地聯(lián)系起來，這樣就產(chǎn)生了悖論。

其次，悖論常產(chǎn)生于某一學(xué)科新舊理論的結(jié)合部，反映了人們的思維從兩個對立范圍向辯證統(tǒng)一過渡。這無疑是思維方法的進步和飛躍。人們的思維也從抽象統(tǒng)一向具體統(tǒng)一升華，不再把有限和無限，存在和非存在看成非此即彼的兩個對立概念，而用極限理論完成了有限到無限的跨越，用無窮小量完成了存在到非存在的跨越，從而使它們辯證地統(tǒng)一起來，進而上升為辯證的思維方式。

再次，悖論是新穎獨到、創(chuàng)造性的思維活動，它既沒有有效的方法和確定的規(guī)則可以直接利用，又沒有人類以總結(jié)的科學(xué)理論為依據(jù)，顯示了思維的智力品質(zhì)的獨創(chuàng)性。同時，我們還看到悖論形成的思維過程，不是循規(guī)蹈矩、人云亦云，而是獨立思考，對舊的思維過程的批判和自我認識，顯示了思維活動的批判性。

三、數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育意義

數(shù)學(xué)悖論不僅存在于一些基礎(chǔ)的重要的數(shù)學(xué)理論中，而且在我們身邊、生活中不短缺。教師如果能夠結(jié)合學(xué)校數(shù)學(xué)課程，把我們在生活中見到的數(shù)學(xué)悖論加以合理地處理，它們就可以成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“本原性問題”。下面舉兩個例子予以說明。

例1：假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目，你被要求在三扇門中選擇一扇。其中一扇后面有一輛車，其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一扇門，假設(shè)是1號門，然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門，假設(shè)是3號門。然后他問你：“你想選擇2號門嗎？”那么，改變你的選擇對你來說是一種優(yōu)勢嗎？

這個問題源自美國電視娛樂節(jié)目“讓我們做個交易”（Let’s Make a Deal），后來被冠以節(jié)目主持人的名字“蒙提·霍爾悖論”。莎凡是吉尼斯世界紀錄中智商最高的人，她對這一問題的解答是應(yīng)該換，因為換了之后有2／3的概率贏得汽車，不換的話概率只有1／3。她的這一解答引來了大量讀者信件，認為這個答案太荒唐了。有人說，如果這個解答代表了美國人的智力，那美國就沒希望了。因為直覺告訴人們，既然參賽者是從三扇門中任選一扇，那么選中汽車的概率就是1／3，換另一扇門的話概率仍然是1／3。實際上，從數(shù)學(xué)上說，莎凡是對的。參賽者做出第一次選擇時，會出現(xiàn)兩種可能性：選到了山羊，或是選到了汽車。因為有兩扇門背后都是山羊，所以參賽者選到山羊的概率是2／3；相應(yīng)地，選到汽車的概率是1／3。此時，主持人打開了一扇背后是山羊的門，我們假設(shè)參賽者決定更改選擇。那么，假如參賽者一開始選的是山羊（2／3的可能性），那么他就會換到汽車；假如參賽者一開始選的是汽車（1／3的可能性），他就會換到山羊。也就是說，參賽者更改自己的選擇便會有2／3的概率獲得汽車。教師從數(shù)學(xué)概率的視角討論這個問題，可以幫助學(xué)生深刻認識到概率才是“生活的真正指南”，直覺固然重要，但并不像看上去那樣可靠。

例2：譬如說，有兩個互不相識的的人坐同一架飛機。二人對話：甲：“這么說，你是從波士頓來的啰！我的老朋友露茜·瓊斯是那兒的律師?！币遥骸斑@個世界是多么小??！她是我妻子最好的朋友！這是不大可能的巧合嗎？”

統(tǒng)計學(xué)家已經(jīng)證明并非如此。很多人在碰到一位陌生人，尤其是在遠離家鄉(xiāng)的地方碰到一個生人，而發(fā)現(xiàn)他與自己有一個共同的朋友時，他們都會感到非常驚訝。在麻省理工學(xué)院，由伊西爾領(lǐng)導(dǎo)的一組社會科學(xué)家對這個“小世界悖論”作了研究。他們發(fā)現(xiàn)，如果在美國任選兩個人，平均每個人認識大約1000個人。這時，這兩個人彼此認識的概率大約是1/100000，而他們有一個共同的朋友的概率卻急劇升高到1/100。而他們可由一連串熟人居間聯(lián)系（如上面例舉的二人）的概率實際上高于百分之九十九。換言之，如果布朗和史密斯是在美國任意選出的兩個人，上面的結(jié)論就表示：一個認識布朗的人，幾乎肯定認識一個史密斯熟識的人。通過這個例子的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生清楚地認識到兩個陌生人在離家很遠的地方相遇而有著共同的熟人就不足為怪了。這種關(guān)系網(wǎng)絡(luò)還可解釋很多其他不尋常的統(tǒng)計學(xué)現(xiàn)象，例如流言蜚語和聳人聽聞的消息不脛而走，一條可靠的情報也在料想不到的短時間里就為很多人知道了。

由此可見，教師研究一些悖論，教一點悖論是很有必要的事。數(shù)學(xué)少不了悖論，數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)沒有悖論就不是完備的，我們不是去容忍悖論而是去消除悖論，在消除悖論的過程中提高認知水平。數(shù)學(xué)教學(xué)中常常因為悖論的思考復(fù)雜性而棄置不用，筆者相信悖論的使用不僅不會增加難度，反而會使問題更富趣味性和研究性，更有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；有利于向?qū)W生介紹重要的數(shù)學(xué)思路；有利于開發(fā)豐富多彩的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動；有利于幫助學(xué)生洞察數(shù)學(xué)問題的解題過程；有利于培養(yǎng)學(xué)生辯證的、開創(chuàng)性的、批判性的思維方式；有利于提高學(xué)生對現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質(zhì)的鑒賞力。從這個意義上說，沒有悖論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是危險的，沒有悖論思想的數(shù)學(xué)教學(xué)是蒼白的。數(shù)學(xué)家同時也是悖論大師，悖論不是目的，以悖論為手段學(xué)會創(chuàng)新才是目標。

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