汪樹林

摘要：數(shù)學課程改革的一個總方向，就是讓數(shù)學教學回歸教育的本體——兒童，關注兒童的生活，追求兒童的可持續(xù)發(fā)展?！皟和瘮?shù)學”重新賦予數(shù)學、數(shù)學教學應有的魅力，它基于兒童生活，在兒童的生活中，引領兒童的生活；它順應兒童的天性，讓兒童從自我經(jīng)驗出發(fā)，在活動中自主建構，進而理解數(shù)學本質，同時達到兒童本質力量的全面解放與舒展!

關鍵詞：兒童數(shù)學數(shù)學教育課程

一、“兒童數(shù)學”的內涵詮釋

1.兒童數(shù)學是一種“經(jīng)驗數(shù)學”。

兒童學習數(shù)學，與大學生是不一樣的。大學生在學習高等數(shù)學前不一定有應用和計算微積分的經(jīng)驗，而兒童在日?；顒又袇s經(jīng)常有加減等運算的體驗。如購物活動、游戲活動等。實際上，每個兒童并不是上學才接觸數(shù)學，也不僅僅是在學校中才接觸數(shù)學，他們在日常生活中會碰到各種數(shù)學問題，逐步形成自己的數(shù)學認識。兒童玩過各種形狀的積木，折過紙，比過物體長短、大小、輕重、厚薄、寬窄，他們知道幾點起床幾點睡覺、幾點到校幾點放學，他們隨著父母一起外出購物，等等，所有這些活動，都為他們積淀了數(shù)量和幾何形體的初步觀念。雖然這些觀念往往是非正規(guī)、不系統(tǒng)的甚至是模糊的，或許還有錯誤隱藏其中，但這些都為他們上學后學習數(shù)學奠定了基礎。“兒童來到課堂里不僅帶來了眼睛、耳朵和良好的記憶力，而且也帶來了不知從生活的什么地方所獲得的大量的‘前數(shù)學經(jīng)驗，帶來了‘兒童的數(shù)學、‘兒童的物理學、‘兒童的化學、‘兒童的哲學、‘兒童的歷史學，等等。”所有的這些“學”，都是兒童的經(jīng)驗資源。我們稱作為兒童數(shù)學學習的“前理解”，或者稱作為兒童數(shù)學學習的“期待視界”，它們在數(shù)學教學活動中發(fā)揮著重要作用。

兒童數(shù)學的經(jīng)驗性，還表現(xiàn)為數(shù)學不僅僅是教室中的行為，而且是一種社會性活動，家里、公園、商店里都可以是兒童的數(shù)學課堂。校外，無論是買賣活動、建造房子活動，都有數(shù)學問題和數(shù)學知識，數(shù)學不僅僅是學校中的書本知識，研究者把大眾生活中的數(shù)學稱為“街頭數(shù)學”。因此，兒童數(shù)學既是一種知識形式，又是一種活動形式；既是兒童在學校中學習的學科。也是兒童在生活中的一種思考方式，這正是兒童數(shù)學作為經(jīng)驗數(shù)學的魅力所在!

當然，兒童的生活經(jīng)驗可以促進兒童的數(shù)學學習(如我們常常借助兒童日常生活中日升日落、白天黑夜周而復始的經(jīng)驗來幫助他們理解“循環(huán)小數(shù)”中“循環(huán)”的含義)，也可以阻礙兒童的數(shù)學學習(如“生活角”對“數(shù)學角”的干擾、日常生活中的“質量”概念對數(shù)學中“質量”概念的學習影響等)。作為教師，我們應當選擇恰當?shù)慕虒W策略，對兒童的生活經(jīng)驗進行加工、重組、提煉、干預，使作為兒童個體的數(shù)學經(jīng)驗上升為人類的“類經(jīng)驗”!

2.兒童數(shù)學是一種“建構數(shù)學”。

如上所述，兒童入學前就發(fā)展了許多非正式的、非形式化的數(shù)學知識，這些知識對兒童來說很有意義，也很有趣味。非形式化的數(shù)學常常是兒童自主建構而不是被動接受的，兒童是入學后才開始學習用符號寫成的“形式數(shù)學”的。研究表明，在學校的數(shù)學學習中，“兒童常常不按照教師的方式去做數(shù)學”，也就是說，兒童不只是模仿和接受成人的策略和思維模式，他們要用自己經(jīng)驗中已有的數(shù)學知識去過濾和解釋新信息，以至同化它。如果兒童看不出教師所呈現(xiàn)的信息和他們已有的數(shù)學知識之間的聯(lián)系，那么，教師的講授就如同對牛彈琴。因此，兒童的數(shù)學化過程就是兒童“自組織”數(shù)學學習材料的過程，也是兒童對客觀的“數(shù)學知識”進行主觀“意義賦予”的過程。換言之。兒童的數(shù)學學習是兒童在已有知識經(jīng)驗基礎上的一種自我的、能動的、有意義的建構!

因此，兒童視閾中的數(shù)學就不應簡單地被等同于數(shù)學知識的匯集，不應被看作無可懷疑的真理的集合，而應主要被看作兒童的一種“創(chuàng)新性建構”。兒童的數(shù)學學習和研究，是兒童的思想實驗或“準實驗”。在弗賴登塔爾看來，一個6歲的兒童用手指或用計算器算出8+5=13，對成人來說，可能那并不算是什么數(shù)學，但對這個年齡層次的兒童來說。就是一個嚴格的數(shù)學證明。通過探究，兒童自己建構的知識，也許不是成人所認為的“科學”和“正確”的知識。但從建構主義觀點看，所有的知識都只具有相對的意義，也即意義是相對于知識的建構者而言的。比如有一個學生。認為“6是奇數(shù)”，理由是6可以寫成2×3，而3是奇數(shù)，所以6是奇數(shù)。這告訴我們，這位學生有他自己關于奇數(shù)的定義，他是根據(jù)自己學習數(shù)學的經(jīng)驗。用自己的方式理解數(shù)學的。因此。在兒童學習“數(shù)學化”的過程中，如果我們只按照自己的理解方式強迫兒童接受是不可取的。我們首先要反思自己概念的形成過程。然后再分析兒童的概念建構過程。要尊重兒童對數(shù)學知識的原初解讀，給兒童充分的時間建構，幫助兒童反思自己的先前圖式。建立正確的數(shù)學觀念。

3.兒童數(shù)學是一種“活動數(shù)學”。

“活動是智慧的根源”(皮亞杰語)，也是兒童的經(jīng)驗建構方式。在活動中學習數(shù)學是兒童的一種自由與自覺，因為它擺脫了兒童生疏的紙筆策略，營造了具有真實的、有意義的、支持性的情境，使得數(shù)學學習成為“真實的數(shù)學學習”，符合兒童心智的發(fā)展。例如。在數(shù)學活動課上，師生做一個爭奪紅旗的游戲，有一面小紅旗插在地上，然后讓一些孩子排列在紅旗的正前方，等老師發(fā)出口令后，大家都奔上前去奪這面紅旗，以奪到者為勝。他們可能立刻就會提出異議，這樣的游戲方法不公平，理由是每一個人到達紅旗的距離不相等。那么，怎樣解決最合理呢?經(jīng)過思考、討論、嘗試等一系列的探究活動，它們很快就逐漸形成一個手拉手的形狀(圓)。于是，一個“動點到定點是一個定長”的意識就開始形成了——盡管它并不是一個嚴格的數(shù)學概念，但對“形式數(shù)學”來說，就可能會是從空間的“點集”性質特征來建構“圓”的概念的。因此?！皵?shù)學活動”能讓兒童自覺地經(jīng)歷數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”，實現(xiàn)兒童真正的“數(shù)學化”!

二、“兒童數(shù)學”的實踐建構

1.讓“兒童生活”嵌入數(shù)學教學。

“數(shù)學科學是人類精神從外界借取的東西最少的創(chuàng)造物之一”(龐加勒語)，但兒童數(shù)學卻應該親近兒童，純粹例題式的教學起點對于兒童來說不具有可攀性。于是，我們需要借取生活素材，讓“兒童生活”嵌人數(shù)學教學，讓“陌生的數(shù)學”變得熟悉、親切。一方面我們要“活化教材”，充分感受新教材選擇素材的獨特視角，盡可能地發(fā)揮這些素材的教育功能：另一方面我們也應認識到，由于每個兒童的家庭背景以及自身思維方式的差異，使得同一教材不可能適應不同地域的兒童。因此，我們要創(chuàng)生教材以外的資源，將觸角延伸至兒童周遭的“生活世界”，善于捕捉“生活現(xiàn)象”，設計“生活情境”，勾勒“生活畫面”，使之符合兒童的“數(shù)學現(xiàn)實”!

例如，對于“平均數(shù)”，我們在學習材料的組織中，通常都是呈現(xiàn)一個“工業(yè)生產”方面的背景，而這種背

景對兒童來說并不熟悉。即便是呈現(xiàn)一些算“成績”(成績的平均數(shù))的背景，對兒童來說，也是難以理解的。因為這通常是作為成人的教師行為。有時，為了表示所謂的“平均數(shù)本質特征”——“移多補少”，還常常用幾塊積木，在多和少之間移來移去。或者在幾根長短不一的線段之間加來減去，兒童很難理解教師的這些行為。假如我們呈現(xiàn)這樣一個背景：一群兒童在隨意地“爭奪”積木，有的多，有的少，發(fā)生了爭吵。老師怎么辦?讓兒童去想象并設計一下教師的行為(方法和過程)，然后思考：里面含有什么樣的數(shù)學特點?用原來什么樣的數(shù)學知識可以解釋?這樣可能更容易讓兒童理解“平均數(shù)”的本質特性。

2.開辟“用手思考”的道路。

對兒童來說，學數(shù)學不應是去記數(shù)學、去背數(shù)學、去練數(shù)學，而更應是“做數(shù)學”。因為思維的形成，必須從外在的可見活動開始，這既是人類數(shù)學經(jīng)驗的起源，也是兒童心智發(fā)展的歷程，兒童需要“用手思考”!

例如對于“平均分”，我們是將其作為“數(shù)學概念”還是作為兒童的“思維對象”?是將其作為“數(shù)學符號”直接教學。還是讓兒童經(jīng)歷“平均分行為”?很顯然，我們應該讓兒童在“平均分”的活動中運用自己的經(jīng)驗去自主建構“除法”、“除數(shù)”、“余數(shù)”等概念?；顒娱_始時，兒童可能會依照經(jīng)驗，為了保證每個人所得的同樣多。就用一種類似于一群人圍在一起打牌時發(fā)牌的方式，將物品輪流地一個一個地分發(fā)(有時也會每一次先等量地分發(fā)給每一個人，然后再這樣輪發(fā))，用弗賴登塔爾的觀點。這就是關于分配問題的“水平數(shù)學化”。

但是，當任務較大(要分的物品或分配的對象等數(shù)額較大)時，兒童就會對這種分配方式進行反思，他們會嘗試去獲得另外一種分法，即用尋找盡可能大的份額來一次性地完成分配，并最終形成了用“除法”的概念與算法，甚至他們可能會有趣地發(fā)現(xiàn)，有的正好分完，有的還有多余，這多余的物品又不夠再分，于是余數(shù)的概念就這樣逐漸建立起來。此外，從多余的物品不能再分的現(xiàn)實問題情境中，兒童對“余數(shù)必須比除數(shù)小”的道理也有隱約的理解。這就是弗賴登塔爾所說的“垂直數(shù)學化”——逐步的圖式化。

不難看到，在兒童數(shù)學活動過程中，一刻也離不開思維，更準確地說是離不開兒童的“反思”。因此，“用手思考”我們也可以理解為“用頭腦做”、“用頭腦看”、“用頭腦聽”……真正的“做數(shù)學”活動意味著：一方面，兒童的手、腦、眼、耳等的多感官協(xié)同活動。可以加強對客觀事物的動態(tài)感知；另一方面，兒童的外顯活動與內隱言語、思維必須緊密結合，以便讓活動成為“外化的思維”，讓思維成為“內化的活動”!

因此，“用手思考”就不是一種具體的教學模式。更不是一種具體的學習方法，而是一種教學思想和兒童的學習方法論。其基本的價值觀是：兒童的數(shù)學學習是一種兒童的主動觀察、思考、操作、探究、嘗試、發(fā)現(xiàn)與體驗活動，它讓兒童用一種整體的、手腦聯(lián)動的實踐方式去把握認識對象。這種方式既契合教育學家杜威的“做中學”理論，也符合皮亞杰的“發(fā)生認識論”學說，更是馬克思主義的唯物實踐觀在兒童數(shù)學教育領域的具體運用。

3.凝聚——必要的抽象。

數(shù)學“客觀知識”的形成過程是一個“去情景化、去個人化和去時間化”的過程。兒童數(shù)學固然應該指向兒童——借助兒童的現(xiàn)實生活，尊重兒童的生活經(jīng)驗。讓兒童在教師的價值引領下進行自主建構，但兒童數(shù)學也應該尊重數(shù)學本質。在兒童數(shù)學教學中，要謹防數(shù)學內涵的悄悄流失，謹防兒童思維的“卡通化”、“淺表化”。要切實處理好生活的隨意性與數(shù)學的嚴謹性、抽象性之間的關系，將兒童的思維進行形式化的提升。努力促成兒童由“卡通思維”向“形式思維”的有效過渡!

現(xiàn)代數(shù)學思維研究的一個重要成果就是指明了“凝聚”(由“過程”向“對象”的轉化)構成了數(shù)學思維的一個基本形式。不少的數(shù)學概念最初是作為一個過程得到引進的，但最終則又轉化成了一個對象，我們不僅可以研究它們的性質，也可以此為對象去施行某些新的運作(指廣義的數(shù)學運演)。

因此，兒童數(shù)學活動中“火熱的思考”最終都必須凝固成“冰冷的美麗”，原先“做數(shù)學”的動態(tài)行為也終將客體化為一個靜止的數(shù)學符號?！坝檬炙伎肌钡臄?shù)學作為兒童“再創(chuàng)造”的過程表征，變成了兒童熟悉的事物，使得兒童可以用一種新的眼光去打量!也正是在這個意義上，弗賴登塔爾說，“與其說是學習數(shù)學，毋寧說是學習數(shù)學化；與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化；與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化”!