李四軍

目前，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，正出現(xiàn)著一種奇特的現(xiàn)象：一方面，在教學(xué)理論上是大談如何調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，怎樣培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的志趣和愛(ài)好。另一方面，在教學(xué)實(shí)際中要么仍然是：“數(shù)學(xué)課堂靜悄悄，學(xué)生大都看先生”的傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)，要么是：“教學(xué)課堂好熱鬧，動(dòng)口動(dòng)手難動(dòng)腦”的所謂“現(xiàn)代活動(dòng)式”教學(xué)。顯然，無(wú)論哪一種教學(xué)都并沒(méi)有使學(xué)生真正地、全方位地動(dòng)起來(lái)。這種尷尬現(xiàn)象的發(fā)生，誠(chéng)然，與現(xiàn)行課改伊始階段中理論與實(shí)際尚未很好地磨合、銜接息息相關(guān)，但更重要的是：無(wú)論是在理論方面，還是在實(shí)際中我們都未能充分的挖掘出數(shù)學(xué)學(xué)科自身的美的因素，都未能充分地利用好這些美的因素。因?yàn)閿?shù)學(xué)是所有學(xué)科中最具美的學(xué)科，而美又是最動(dòng)人心的，尤其是充滿(mǎn)靈性和敏感的青少年的心。因此，倘若我們從美的角度去思考，去操作中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，何愁學(xué)生們不喜愛(ài)數(shù)學(xué)，不欣欣然而進(jìn)入數(shù)學(xué)的大門(mén)呢？

下面，筆者試結(jié)合四大教學(xué)環(huán)節(jié)——切入課堂主題階段，研究課堂主題階段，總結(jié)課堂主題階段和應(yīng)用課堂主題階段，略談此方面的一些思考和體會(huì)。

一、切入課堂主題階段——營(yíng)構(gòu)數(shù)學(xué)情境美， 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情

1.優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境，常能引發(fā)學(xué)生積極探究的欲望，常能激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手動(dòng)腦，常能開(kāi)闊學(xué)生的心智空間，從而使學(xué)生迅捷地集中注意力，投入到新的學(xué)習(xí)中來(lái)。因此，在入課教學(xué)階段，教者應(yīng)積極營(yíng)構(gòu)優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境，讓情境美來(lái)吸引學(xué)生的耳目，讓情境美來(lái)啟迪學(xué)生思維，讓情境美來(lái)感動(dòng)他們的心靈。

2.一般地，我認(rèn)為優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境應(yīng)包含如下三個(gè)方面的要素：

（1）問(wèn)題要素。因?yàn)閱?wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，離開(kāi)了問(wèn)題，最好的學(xué)習(xí)情境也只能是一張“沒(méi)有骨架的虎皮”；離開(kāi)了問(wèn)題，無(wú)論怎樣的學(xué)習(xí)都只能使學(xué)生成為看熱鬧的匆匆過(guò)客，無(wú)法真正引起學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思考和持久強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣。

（2）啟發(fā)要素。優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境應(yīng)富有啟發(fā)性，要能喚起學(xué)生的思維和情緒，它應(yīng)該建構(gòu)在貼近學(xué)生日常生活的經(jīng)驗(yàn)區(qū)和學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)現(xiàn)區(qū)，不要設(shè)置令學(xué)生感到陌生的情境，也不要提太容易或太難的問(wèn)題，真正優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境，要能夠激起學(xué)生跳一跳，而又能摘得到。

（3）情感要素。“人的思想只有被濃厚的情感滲透時(shí)，才能得到力量，才能引起積極的注意、記憶和思考”（列寧語(yǔ)）。因此，優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境不僅要有富有啟發(fā)性的問(wèn)題，更要融情于題，做到以情動(dòng)人，因情解題。

3.營(yíng)構(gòu)優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境，需要教者付出艱辛的努力，將情感、啟發(fā)、問(wèn)題等要素創(chuàng)造性地凝聚于一體。如從游戲、實(shí)驗(yàn)、故事、生產(chǎn)生活實(shí)際等角度出發(fā)引生出教學(xué)問(wèn)題，往往能構(gòu)建出優(yōu)美的數(shù)學(xué)情境來(lái)。

二、探究課堂主題階段——揭示數(shù)學(xué)思維美，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

1.卡爾·馬克思有句名言：“思維是地球上最美麗的花朵”，而與此同時(shí)，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”（托利亞爾），因此，思維美是數(shù)學(xué)美中的靈魂。如果我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生探究課題的教學(xué)過(guò)程中，將富有“情節(jié)”的、波瀾起伏的、豐富多彩的思維美充分地揭示出來(lái)，讓學(xué)生盡情地欣賞、體會(huì)和領(lǐng)悟，就可以將枯燥抽象的數(shù)學(xué)注入趣味性，就能使學(xué)生變“苦學(xué)”為“樂(lè)學(xué)”，就能使學(xué)生產(chǎn)生奮發(fā)向上、積極探究的頑強(qiáng)斗志。

2.數(shù)學(xué)思維的美，主要體現(xiàn)在：

（1）過(guò)程美。只有簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的結(jié)果，沒(méi)有豐富多彩的過(guò)程，這樣的思維是難以引起共鳴的。學(xué)生只有在體驗(yàn)曲折起伏的思維過(guò)程中，才能腦為之思、心為之動(dòng)、神為之游；才能深深地被吸引、被感動(dòng)、被鼓舞；才能深刻地體會(huì)到：“數(shù)學(xué)原來(lái)是如此地迷人，如此地美麗?！?如：九年級(jí)上冊(cè)人教版教材P98中探究過(guò)三點(diǎn)作圓的過(guò)程，由過(guò)已知一點(diǎn)作圓開(kāi)始，探究其圓心位置、半徑大小、圓的個(gè)數(shù)，這些可由學(xué)生思考、嘗試并解答。進(jìn)而探究過(guò)兩點(diǎn)作圓，學(xué)生在剛才過(guò)一點(diǎn)作圓的激勵(lì)下，很自然的就會(huì)去思考、嘗試和解答。最后教師拋出過(guò)三點(diǎn)作圓的問(wèn)題，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上就能去思索并解答。此問(wèn)題學(xué)生很可能作已知三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上的圓，至此，學(xué)生對(duì)基本結(jié)論和概念就有了較深刻的認(rèn)知。如果學(xué)生未能考慮到三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上的情形，教師略加引導(dǎo)，課堂將會(huì)高潮迭起，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的欲望，自然而然就將反證法引入了課堂。整堂課的教學(xué)是學(xué)生在不斷探索，不斷生成情智的過(guò)程，不知不覺(jué)中學(xué)生就感悟、體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的美。

（2）探究美。我到底應(yīng)該怎樣想？我為什么要這樣想？我這樣想，這樣做又會(huì)得到怎樣的結(jié)論？……正是在如是艱難不懈的探究中，我們的思維才得以發(fā)生、發(fā)展和展開(kāi)。由因得果，執(zhí)果索因，條件與結(jié)論互為因果，環(huán)環(huán)相扣，我們的探究充滿(mǎn)邏輯美；由特殊推一般，由一般知特殊，我們的探究充滿(mǎn)辯證美；由現(xiàn)象猜規(guī)律，從實(shí)際到理論，由此及彼，我們的探究充滿(mǎn)靈動(dòng)美……如上文中提到的探究過(guò)三點(diǎn)作圓的知識(shí)。又如：探究同弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，在探究中滲透分類(lèi)討論地?cái)?shù)學(xué)思想，使學(xué)生如無(wú)形無(wú)聲處受到感染。

（3）創(chuàng)造美。我可以這樣想，這樣做；也可以那樣想，那樣做；從不同的角度，從不同的層面出發(fā)思考探究問(wèn)題，便會(huì)有不同的各種極具“個(gè)性”的解決問(wèn)題的途徑，“前方的道路千萬(wàn)條，條條道路通羅馬”，種種創(chuàng)造，盡在其中。如發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生從特殊中觀察與猜想，進(jìn)而論證，然后又把規(guī)律應(yīng)用到解題中，這樣學(xué)生對(duì)于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造就有了進(jìn)一步的實(shí)際體會(huì)。

3教者在引導(dǎo)學(xué)生探究課題的過(guò)程中，應(yīng)大膽放手，讓學(xué)生充分暴露其詳細(xì)的思維過(guò)程，讓學(xué)生充分地體察探究的來(lái)龍去脈，讓學(xué)生充分地發(fā)表各種不同的看法。這樣，思維便會(huì)顯出別樣的美來(lái)，進(jìn)而鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行真正的數(shù)學(xué)思考，形成“你追我趕”的積極探究氛圍。一題多解、一題多變、設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題、設(shè)置問(wèn)題鏈等都是突出數(shù)學(xué)思維美的極佳教學(xué)方式。

三、總結(jié)課堂主題階段——欣賞數(shù)學(xué)形式美，激勵(lì)學(xué)生認(rèn)識(shí)更上層樓

正如C·迪爾曼先生所言：“數(shù)學(xué)也是一種語(yǔ)言，而且就其結(jié)構(gòu)和內(nèi)容而言，它是現(xiàn)實(shí)中優(yōu)于其他任何普通

語(yǔ)言的最完美的語(yǔ)言?！敝袑W(xué)數(shù)學(xué)中的概念、公理、定理、符號(hào)和數(shù)學(xué)思想方法等，都是歷經(jīng)人類(lèi)精英們千錘百煉之后的智慧結(jié)晶，它們?cè)谛问缴洗蠖季邆洌?/p>

1. 簡(jiǎn)明美。數(shù)學(xué)家L·J艾德?tīng)柼岢觯骸霸跀?shù)學(xué)的各個(gè)屬性中，首先要推崇的就是簡(jiǎn)單性?！敝袑W(xué)數(shù)學(xué)常以極其簡(jiǎn)單明了的形式概括出客觀事物的種種數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，從而使得中學(xué)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出一種簡(jiǎn)單明了的美。例如著名的斐波那契數(shù)列，雖然形式上變化萬(wàn)千，難以進(jìn)行文字性描述，但它的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻是那樣簡(jiǎn)單，只要用三個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式子就非常清楚地將其表示出來(lái)了，即：f(1)＝a，f(2)＝b，f(n+2)＝f(n+1)+f(n)。再如中學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號(hào)，不僅形象、美觀，而且用起來(lái)方便簡(jiǎn)捷，如：三角形可形象地記為“△”，a個(gè)n自乘可寫(xiě)成“na”，前n個(gè)正整數(shù)連乘寫(xiě)成n!…像這樣，中學(xué)數(shù)學(xué)里，表明簡(jiǎn)明美的例子比比皆是，不勝枚舉。

2.抽象美。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性在很大程度上源自數(shù)學(xué)的抽象性。事實(shí)上，中學(xué)數(shù)學(xué)中的命題、方法和思想等都是從眾多事物的共同屬性中抽象出來(lái)的，正是由于這種抽象，中學(xué)數(shù)學(xué)中的諸多概念、定理和思想方法才有著更加廣泛的意義，才使得在運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題時(shí)顯得更加奇妙無(wú)比，美倫美奐。

例如：18世紀(jì)有個(gè)著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。（即：如圖1，哥尼斯城堡中一條河，河中有兩個(gè)小島，河兩岸與兩島之間共建有七座橋，一個(gè)人怎樣才能不重復(fù)地走過(guò)所有七座橋，再回到出發(fā)點(diǎn)？）

如果通過(guò)實(shí)踐去驗(yàn)證，總共有7種不同的走法，這個(gè)問(wèn)題當(dāng)時(shí)難倒了很多人，數(shù)學(xué)家歐拉知道后，他巧妙地將小島和河岸抽象為A、B、C、D四點(diǎn)，七座橋抽象為七條線(xiàn)（如圖2），于是七橋問(wèn)題就抽象為這樣一個(gè)極其簡(jiǎn)單的問(wèn)題：“如何一筆畫(huà)出圖2中的圖形？”你看，這其中的抽象何其美妙。

再如：我們證明等腰△ABC（AB＝AC）的兩底角相等時(shí)，如果將△ABC抽象得到△ABC和△ACB，則很快可證：△ABC≌△ACB（SSS），所以∠B＝∠C。這樣的證明方法真是妙不可言?。?/p>

（3）對(duì)稱(chēng)美。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，公式、圖形、結(jié)構(gòu)和思維方法等方面常表現(xiàn)出某種對(duì)稱(chēng)均衡的數(shù)學(xué)結(jié)果，這種美，就是對(duì)稱(chēng)美，如：“二項(xiàng)式乘方公式中的系數(shù)具有“楊輝三角”對(duì)稱(chēng)規(guī)律；一元方程中的元的個(gè)數(shù)與根的個(gè)數(shù)之間的相等對(duì)稱(chēng)；互逆的運(yùn)算也可視為對(duì)稱(chēng)。順推與逆推，特殊化與一般化，正證與反證等都是思維方法中的對(duì)稱(chēng)。

因此，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生對(duì)研究成果進(jìn)行反思、歸納和整理時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地突出數(shù)學(xué)結(jié)果（包括概念、定理、方法等）中所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)明、抽象、對(duì)稱(chēng)等美的特征，應(yīng)有意識(shí)地啟發(fā)他們?nèi)バ蕾p其中的形式美，在賞析中，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，在賞析中，提升他們的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平。

四、應(yīng)用課堂主題階段——體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用美，激活學(xué)生綜合創(chuàng)新潛能

1.古代哲學(xué)家蘇格拉底認(rèn)為：“最有益的即是美”，數(shù)學(xué)之美不僅表現(xiàn)為形式美、思維美，更由于它是有用的，它能幫助人們更好地解決生活中遇到的困難，它能幫助人們收集、整理，描述各種社會(huì)信息并提供恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，它能幫助人們直接創(chuàng)造社會(huì)價(jià)值，其應(yīng)用之廣，正如華羅庚先生所言：“宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁、大千世界、天上人間，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)?！?/p>

2.因此，在應(yīng)用課題階段的教學(xué)中，我們應(yīng)切實(shí)加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力，通過(guò)編擬、模仿或直接調(diào)用生活中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的方式去分析，用數(shù)學(xué)的知識(shí)去說(shuō)明，用數(shù)學(xué)的思想去處理。這樣，學(xué)生就會(huì)深刻地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美，就會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)好有用，好有價(jià)值，從而激活學(xué)生綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的創(chuàng)新潛能，誘導(dǎo)學(xué)生走向更廣闊、更深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)天地。

總而言之，數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在，只要我們用美的眼光去審視、去挖掘，便會(huì)獲得美的享受。在具體的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如果我們注意在抓好每一教學(xué)環(huán)節(jié)的同時(shí)突出其中的數(shù)學(xué)美，就能激勵(lì)學(xué)生不斷地向前探究，不斷地向上攀登，那么珍貴的45分鐘，就不再是毫無(wú)生氣的“滿(mǎn)堂灌”，也不會(huì)是“滿(mǎn)堂青蛙叫”的“瞎熱鬧”，而將是科學(xué)合理的、生機(jī)勃勃的、美麗動(dòng)人的現(xiàn)代優(yōu)質(zhì)素質(zhì)教育課堂。

（責(zé)任編輯：李再湘）