王清明

教學(xué)內(nèi)容：初三中考 “函數(shù)”復(fù)習(xí)課。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：⑴會(huì)根據(jù)二次函數(shù)提供的信息，較快求出解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；⑵掌握在二次函數(shù)圖象中求出特殊三角形面積的方法；⑶能根據(jù)圖象中提供的信息正確地“讀解”圖象中更多的有效信息；⑷利用二次函數(shù)圖象中的三角形相似，或直線平移求出符合條件的直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

2.過程與方法目標(biāo)：⑴通過對(duì)二次函數(shù)圖象的分析探討，體會(huì)到圖象中幾個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)在解決三角形問題中的重要性；⑵通過對(duì)二次函數(shù)圖象中三角形問題的探討，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決函數(shù)問題中的重要性和優(yōu)越性。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)：⑴通過對(duì)二次函數(shù)中三角形問題的探討學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，構(gòu)建“數(shù)想形”“形思數(shù)”的數(shù)學(xué)思維方式和意識(shí)；⑵通過對(duì)具體數(shù)學(xué)問題的解法的探究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)合作，從而形成團(tuán)隊(duì)合作的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)二次函數(shù)的圖象或解析式求出特殊三角形的面積；或利用三角形相似、全等，或通過平移等知識(shí)求出符合條件的直線與函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)。

教學(xué)難點(diǎn)：在二次函數(shù)圖象中，利用三角形相似或通過直線的平移，求出符合條件的直線與拋物線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)。

教學(xué)過程：

一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

師：同學(xué)們，請(qǐng)觀察圖1，你認(rèn)為在這個(gè)圖象中，哪幾個(gè)點(diǎn)較為特殊？

生1：點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)D。

師：為什么這些點(diǎn)較特殊呢？

生1：這些點(diǎn)分別是坐標(biāo)原點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

師：將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，可構(gòu)成哪些三角形？

生2：可構(gòu)成△ABC、△BCD、△ABD、△AOD、△BOD……（見圖2）

師：我們知道，三角形是最基本的幾何圖形，三角形問題也是最常見的數(shù)學(xué)問題，今天，我們就來探討二次函數(shù)中的三角形問題（多媒體出示課題）。

二、 問題精析，初步引探

師：首先，我想就剛才出示的這個(gè)二次函數(shù)的圖象提幾個(gè)問題，不知同學(xué)們有沒有信心來解決？

（學(xué)生齊聲回答：有?。?/p>

師：請(qǐng)根據(jù)圖象中所提供的信息，說出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)。

生2：這四點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。

師：很不錯(cuò)！完全正確。那現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們求出△ABC的面積，并說出你是怎么進(jìn)行計(jì)算的。

生3：△ABC的面積為：1/2?AB?CE =125/8。

師：答得非常好！

師：如果將問題改成求△BCD的面積，可以怎么進(jìn)行求解？

（學(xué)生思考）。

師：（良久沒有學(xué)生回答）同學(xué)們可否由求△ABC的面積有所啟示？

生：……

生4：可將CD延長，與X軸交于G，然后用△GCB的面積減去△GDB的面積，就可得到△BCD的面積。

生5：我還有一種方法，設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與BD相交于F，分別求出△DFC與△BFC的面積，它們之和就是△BCD的面積。

生6：還可將BC延長，使之與Y軸交于點(diǎn)M，然后用△BDM的面積減去△DCM的面積即可。

（教師根據(jù)學(xué)生的講述在圖象上添加了相應(yīng)的字母。見圖3）

師：太棒了，能談?wù)勀氵@樣設(shè)想的原因嗎？

生6：構(gòu)造新的三角形，使其中一邊落在坐標(biāo)軸上，這樣便于求出三角形的底邊和高，進(jìn)而求出三角形的面積。

師：李于同學(xué)真棒，我相信很多同學(xué)都和他一樣，找到了在坐標(biāo)系中求三角形面積的捷徑。

師：同學(xué)們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要這樣，要能積極思考，善于發(fā)現(xiàn)問題中題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系；在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。比如，這個(gè)問題到這里可以進(jìn)行變式：就利用這個(gè)二次函數(shù)的圖象（此函數(shù)的解析式已求得為ｙ＝ｘ-3x²-4），在圖象上是否存在點(diǎn)Ｐ，使△ABP的面積為15，如若存在，求出點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)；如不存在，則說明理由。

（教師將學(xué)生推向探究問題的邊緣）

（學(xué)生或自主探索，或交流討論……不久便有部分學(xué)生舉手）

生7：根據(jù)題意，已知ΔABP的面積為15，底邊AB=6，則邊上的高為6，而這個(gè)值實(shí)際上就是點(diǎn)Ｐ的縱坐標(biāo)，再將它代入此二次函數(shù)的解析式中即可求出點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)。

（老師微笑地點(diǎn)了點(diǎn)頭，沒有發(fā)表意見）

生8：我認(rèn)為底邊上的高等于6，但這個(gè)值只是點(diǎn)到底邊的距離，也就是說，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可以為±6。

師：你們認(rèn)為他的分析是否有道理？

（不一會(huì)，很多同學(xué)對(duì)剛才這位同學(xué)的分析表示贊成，并有部分學(xué)生通過計(jì)算求出了P點(diǎn)的坐標(biāo)。）

師：周明同學(xué)考慮得很全面，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察點(diǎn)Ｐ可能存在的幾個(gè)位置。

（教師利用幾何畫板制成的動(dòng)畫演示點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，△ABP的形狀也隨之發(fā)生變化。見圖4）

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才的分析嘗試求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)。

……

（教師利用多媒體展示了幾位學(xué)生完成的計(jì)算，并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。）

三、問題變式 深入導(dǎo)探

師：剛才，我們研究的的問題實(shí)際上是二次函數(shù)中常見的三角形問題。大家對(duì)于二次函數(shù)圖象中的特殊三角形面積的計(jì)算有了初步認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在老師想就剛才的問題和大家進(jìn)行更加深入的探討，同學(xué)們是否有興趣？

（多媒體出示問題——二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象如圖5所示：1.求此函數(shù)的解析式；2.過點(diǎn)A作AP∥BD，交此拋物線于點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。）

……

學(xué)生紛紛進(jìn)行探索，尋求解決問題的方案，或獨(dú)立思考，或相互交流。

生9：這個(gè)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)都可直接看出來，分別為：A（-1，0）、B（4，0）、D（0，-4），和前面的問題一樣，可求得解析式也為ｙ＝x²-3ｘ-4。

師：不錯(cuò)，此問題的第一問可用待定系數(shù)法求得，也為ｙ＝x²-3ｘ-4，那點(diǎn)P的坐標(biāo)有沒有求出？

生：還沒有。

師：請(qǐng)大家注意第二問中提供給我們的已知條件：AP∥BD，再結(jié)合前面我們已探討過的問題，會(huì)有什么啟示？

（學(xué)生進(jìn)入思考狀態(tài)，并開始了短時(shí)間的討論）

（過了幾分鐘，部分同學(xué)似乎有了解決的方法，教師請(qǐng)同學(xué)發(fā)表看法。）

生10：由AP∥BD可得到∠DBA=∠BAP，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)M，又有∠AMO=∠BDO，可得到△BOD∽△AOM。（圖6）

生11：因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，-4），所以BO=DO=4，又△BOD∽△AOM，所以AO=MO=1，這樣就可以求出直線AP的解析式。

（老師讓這些同學(xué)分別發(fā)表自己的看法，用贊賞的眼光看著他們，微笑著點(diǎn)點(diǎn)頭，期待其他同學(xué)能有更多的更具體的解決問題的方案。）

生12：點(diǎn)P是直線AP與拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4的交點(diǎn)，那么通過求出直線AP的解析式與ｙ＝x²-3ｘ-4組成的方程組的解便可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

師：不錯(cuò)，劉強(qiáng)同學(xué)能結(jié)合前面同學(xué)的想法，并聯(lián)系前面學(xué)習(xí)過的知識(shí)，這種方法能較快地求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。還有沒有不同方法？

（學(xué)生又進(jìn)入短時(shí)間的探討、交流）

生13：我認(rèn)為，不需要證明△BOD∽△AOM，因?yàn)锳P∥BD，所以直線AP可由直線BD平移得到，只要求出直線BD的解析式和MD的長度，能較容易求出直線AP的解析式。

師：很好，這種方法很新穎。

又有一位同學(xué)舉手，并直接站了起來：“我還有一種方法。”教師示意他講出他的方法。

生14：可以過點(diǎn)P向X軸作垂線，與x軸交于點(diǎn)N，（教師按學(xué)生所講作出垂線。見圖6）則有PN=AN ……

師：（教師示意這名學(xué)生停一下）你能說說為什么會(huì)有PN=AN？

生14：我也是由剛才這種方法聯(lián)想到的，因?yàn)镻N∥MO，會(huì)有△AOM∽△ANP，由OA=OM=1，所以有AN=PN，又PN是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，ON是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，則PN=ON+1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），有y=x+1，又點(diǎn)P在拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4上，利用這兩個(gè)關(guān)系式可求出點(diǎn)P坐標(biāo)。

教師帶頭鼓掌，這位同學(xué)很高興地坐了下去。

……

師：根據(jù)剛才這些同學(xué)的分析，請(qǐng)大家選用適當(dāng)?shù)姆椒?，嘗試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

四、延伸拓展 導(dǎo)練提高

師：接下來，我想讓大家沖刺一下往年的中考?jí)狠S題,看看今天所學(xué)的知識(shí)能否用得上。同學(xué)們有沒有信心?

生:有……

(多媒體出示由2005年長沙市中考?jí)狠S題改編的試題）已知：拋物線y=1/3x²-2/3x-1與X軸交于A、B兩點(diǎn),A(x₁,0)、B(x₂,0)，且x₁﹤x₂，與Y軸交于點(diǎn)C（圖7）。

1.若⊙M為△ABC的外接圓，則△MBC是

三角形；

A.等邊三角形 B.等腰直角三角形

2.由⑴可求得⊙M的半徑為 ；

3.過點(diǎn)A作直線AP平行于BC，與拋物線交于點(diǎn)P，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說明理由。

學(xué)生嘗試解答……

最后,師生合作探討,完成解答……

五：學(xué)習(xí)導(dǎo)結(jié)，認(rèn)識(shí)提升

師：通過以上探究活動(dòng)，你認(rèn)為這節(jié)課有哪些收獲？有什么體會(huì)？對(duì)今后的學(xué)習(xí)有什么幫助？

教師針對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行點(diǎn)評(píng)并適當(dāng)鼓勵(lì)。歸納總結(jié)。

六、作業(yè)

根據(jù)最后一個(gè)問題，自行改編，提出一個(gè)新問題，并解答出來。

教學(xué)反思

“二次函數(shù)”和“三角形”都是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，將兩者結(jié)合在一起進(jìn)行探討，則是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)質(zhì)的提升。將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合在一起，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，這是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，也成了中考綜合解答題的出題方向。本節(jié)課，我對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了創(chuàng)造性增補(bǔ)和整理，也意在培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。下面就這節(jié)課的某些特點(diǎn)作如下評(píng)析：

創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，誘導(dǎo)學(xué)生自主探究與合作交流

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！币虼?，在本節(jié)課中，我對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性安排，創(chuàng)設(shè)了一組變式題，為學(xué)生創(chuàng)造了充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)和平臺(tái)，但這些“果實(shí)”并不是讓學(xué)生垂手而得，而是需要思考，需積極參與，在自主探索與合作交流中，去理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法。本節(jié)課的每個(gè)環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了互動(dòng)性特點(diǎn)，給學(xué)生自由學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，從而使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，也培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

精選例題，變式深入，注重?cái)?shù)學(xué)方法的歸納

在本節(jié)課的教學(xué)中，由一個(gè)簡(jiǎn)單問題入手，通過一步步的變式，層層深入， 讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的歸納、綜合、發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會(huì)觀察、猜想、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。讓學(xué)生快速地“讀解”函數(shù)圖象中的有效信息，更好地理解函數(shù)解析式與其圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握在函數(shù)圖象中如何求解三角形的面積，利用平移的方法求函數(shù)解析式以及運(yùn)用三角形相似等方法求得特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，以發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。到問題變式的最后，引出了經(jīng)過改編的往屆中考題，讓學(xué)生再一次體會(huì)到：其實(shí)“難題”也是由一些簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)積淀而成,并不是那么高不可攀。這對(duì)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成有著重要的促進(jìn)作用，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展也有積極影響。

充分發(fā)揮多媒體的輔助功能，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維

為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，使學(xué)生真正達(dá)到本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，在例題變式探究過程中，我巧妙運(yùn)用多媒體進(jìn)行動(dòng)畫演示，讓學(xué)生從幾何畫板的動(dòng)畫演示中，體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展變化的過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了提出問題、解決問題的探究情境。誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索、大膽猜測(cè)、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)他們發(fā)表自己的見解，同時(shí)，為學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律營造了良好的氛圍，并激發(fā)他們的創(chuàng)新思維。

依托變式，啟迪思維

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)和習(xí)慣，注重學(xué)生的個(gè)體差異，靈活運(yùn)用多種教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在探求中運(yùn)用已發(fā)現(xiàn)的規(guī)律試一試，讓學(xué)生在問題探討中各抒已見、開展討論，對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的一些有創(chuàng)見的解法及時(shí)加以肯定，整個(gè)過程，讓學(xué)生充當(dāng)“演員”，這樣的過程，是思想自由的過程。本節(jié)課中，我通過一系列的變式題組的設(shè)計(jì)，給學(xué)生創(chuàng)造了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的“階梯”，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)動(dòng)眼、動(dòng)手、動(dòng)腦的空間和交流探討的平臺(tái)。讓他們始終以探索者、研究者的身份出現(xiàn)，學(xué)生通過自己的感知學(xué)習(xí)、感受學(xué)習(xí)，最終達(dá)到感悟?qū)W習(xí)的目的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力得以質(zhì)的提升，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更具價(jià)值。

（責(zé)任編輯：黃佑生）