摘 要:對師范院校的小教專業(yè)開設《初等數(shù)論》課程的必要性，教學現(xiàn)狀等方面進行一些探討，并且提出如何開設好該課程的教學建議，以便更好地培養(yǎng)適應新時期小學教育的教師。本文科學地描述了初等數(shù)論的學與教及其兩者之間的關(guān)系。初等數(shù)論的學與教主要指的是師范院校為學生的培養(yǎng)開設的課程，它能夠培養(yǎng)學生扎實的數(shù)學基礎知識及數(shù)論特有的思想方法。一方面有利于學生進一步探索數(shù)論的未知領(lǐng)域做準備；另一方面有利于將要從事小學數(shù)學教學的教師更好地把握初等數(shù)論的教學。教師要有機地將初等數(shù)論的學與教結(jié)合起來，通過教師和學生的學習，掌握數(shù)論的基礎知識和思想方法，進一步養(yǎng)成科學的人生觀、價值觀。

關(guān)鍵詞:初等數(shù)論; 小學數(shù)學；創(chuàng)造性思維;創(chuàng)造性能力; 數(shù)學思想方法

一、初等數(shù)論概況

數(shù)論是一門古老而基礎的數(shù)學，至今仍有許多沒有解決的問題，一些問題的解決對于現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展起到了重要的推動作用，也產(chǎn)生了一些直接與數(shù)學有關(guān)的新的重要的數(shù)學分支，而且在現(xiàn)代信息技術(shù)中有很重要的應用。在日常生活中，也常常會遇到數(shù)論的一些問題。

初等數(shù)論是研究整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門十分重要的數(shù)學基礎課程，所以高等院校的本科生在可能的情況下學習數(shù)論知識是有益的，一方面通過這些內(nèi)容加深對數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解某些其他鄰近學科；另一方面也許更重要的是可以加深他們的數(shù)學訓練，這些訓練在很多方面是有益的。同時，學習一些數(shù)論的發(fā)展史也是很有好處的，尤其是中國古代和近代對數(shù)論領(lǐng)域的貢獻。

目前大學中的數(shù)論課程教學內(nèi)容比較陳舊，教學方法也比較單一，這對于提高數(shù)論教學質(zhì)量十分不利，為我們培養(yǎng)具有靈活思維能力、具有創(chuàng)造力的適應《小學數(shù)學新課程標準》要求的未來小學數(shù)學教師更沒有益處。

二、初等數(shù)論的基本內(nèi)容和思想方法

初等數(shù)論以整除和同余理論為基礎，主要研究整數(shù)性質(zhì)和不定方程。初等數(shù)論貌似簡單，但真正掌握并非易事。它的內(nèi)容嚴謹簡潔，方法奇巧多變，蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，其數(shù)學思想方法又往往隱含在數(shù)學知識和問題解決的過程中。

從某種程度上可以說，初等數(shù)論是數(shù)學中“理論與實踐”相結(jié)合得最完美的基礎課程，小學數(shù)學中許多重要思想、概念、方法與技巧都是從整數(shù)性質(zhì)的深入研究而不斷豐富和發(fā)展起來的。所以在深入研究數(shù)論過程中，要仔細體會構(gòu)造性和技巧性的證明思想。

三、小學初等數(shù)論初步教學的概況

在小學數(shù)學學習過程中，初等數(shù)論的知識和思想方法是常見的。教師在日常教學中要給予足夠的重視。隨著新課程改革的逐步深入，初等數(shù)論知識和思想方法，一方面出現(xiàn)在日常教學中，另一方面是以競賽的形式出現(xiàn)的，后者更為突出。

對于前者根據(jù)《課標》，它是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生而設置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學思想方法，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎，提高應用意識，有助于學生終身的發(fā)展，有助于擴展學生的數(shù)學視野，有助于提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。

對于后者，初等數(shù)論在奧林匹克競賽中占有愈來愈重要的地位，對提高小學生的數(shù)學素養(yǎng)很有幫助。致力于數(shù)學競賽的教師而言，必須明確數(shù)論的基本結(jié)構(gòu)，它包括整除理論，同余理論和不定方程。整數(shù)集對于加法、減法、乘法運算是封閉的，但對于除法是不封閉的，因而研究整數(shù)之間的除法成了數(shù)論中的重要部分。同余是初等數(shù)論中的一門語言，同余概念的出發(fā)點：考慮它們除以某個不小于2的正整數(shù)所得的余數(shù)，依據(jù)余數(shù)的不同將所有的整數(shù)分類。

值得注意的是，在數(shù)學競賽中，教師主要強調(diào)數(shù)論知識的技巧，而在日常教學中要注意數(shù)論思想方法的教學。

四、初等數(shù)論初步教學的方法和建議

《小學數(shù)學課程標準》教學的總體要求是：力求深入淺出，通俗易懂，進一步提高學生分析和解決問題的能力，讓學生掌握和體會一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會數(shù)學的作用，發(fā)展應用意識。

教學內(nèi)容的總體要求

本專題學生通過具體問題來學習有關(guān)整數(shù)和整除的知識，探索用輾轉(zhuǎn)相除法求解簡單的一次不定方程、簡單同余方程、同余方程組等，從中體會思想方法，了解我國古代數(shù)學的一些重要成就。

結(jié)合上述目標和內(nèi)容總體要求，給出以下幾點具體的教學建議：

1.由于整數(shù)的整除式是學生在操作上比較熟悉，而在理論上比較生疏的內(nèi)容，教師可以只講一些主要的方法和性質(zhì)，其他的一些性質(zhì)則由學生經(jīng)過討論或自主探索完成。

2.孫子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式是一樣的，因此列入建立插值公式一節(jié)有助于學生加強注意有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系的意識。

3.剩余類環(huán)中會出現(xiàn)零因子，對于開闊學生關(guān)于運算的眼界是有益的，但是理解可能難一點，是否安排探索，教師可以酌情處理。

4.多項式整除的方法和性質(zhì)與整數(shù)的整除性質(zhì)幾乎完全平行，可以安排學生進行探索。多項式的豎式除法是一個實行多項式除法的有效方式，與整數(shù)的豎式除法類似，可以作為附錄列出。

5.介紹數(shù)論領(lǐng)域的名人進行教學。

教學的目的是培養(yǎng)學生對數(shù)論的興趣，樹立正確的人生觀、價值觀。例如：介紹費馬大定理的證明者安德魯#8226;懷爾斯，從科學的態(tài)度對待學習。此類例子還有許多，教師要適當適時介紹給學生。

6.根據(jù)所學內(nèi)容特點和理論知識，對于例子進行探索學習。

例如：（星期的計算）來認識帶余除法，理解同余和剩余類的概念及意義，探索剩余類的運算（加法和乘法），并且理解它的實際意義。體會剩余類運算的異同（會出現(xiàn)零因子）。

探索學習的步驟：問題—假設—結(jié)論—驗證—證明

(1)看一下日歷就能知道今天是星期幾，但是如果問你“中華人民共和國成立的日子”——1949年10月1日是星期幾，你的出生日期是1985年2月4日，是星期幾呢，等等，你就說不出來了。

(2)假設：給日期，D=第“N”年“m”月“d”日；用數(shù)字代表星期：星期日=0，星期一=1，星期二=2，星期三=3，星期四=4，星期五=5，星期六=6；W(D)表示日期D的星期數(shù)。

(3)結(jié)論：根據(jù)所學的理論知識，可求得：W(D)≡d+[(13m-1)/5]+y+[y/4]+[c/4]-2c(mod7)，其中c，y由下式確定：N=100c+y，0≤y<100.

(4)驗證：1991年7月2日，是星期一。這一日期應寫為：D=第“1991”年“7”月“2”日。所以C=19，y=91，m=7，d=2.

當公式得：W(D)≡2+[90/5]+91+[91/4]-38≡2+18+91+22+4-38≡1(mod7).

即由公式也算出是星期一。

(5)證明：證明的途徑是這樣的：先求出第“N”年的“1”月“1”日的星期數(shù)，然后求第“N”年“m”“1”日的星期數(shù)，最后求第“N”年月日的星期數(shù)。證明的具體過程略，有興趣的讀者請參考。這種探索學習有利于貫徹新課程的基本理念，倡導積極主動，勇于探索的學習方式，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識。教師應根據(jù)學生的能力來進行教學，還有許多其他的實際例子來訓練學生的思維和數(shù)學素質(zhì)。

7．將數(shù)論知識和思想方法與其他知識的學習聯(lián)系起來。

例如：勾股定理與費馬大定理，當n≥3時，沒有正整數(shù)解。

進行對比來教學，更有利于學生拓展眼界，增加學習的興趣。還有一些數(shù)論的知識可以與其他知識聯(lián)系起來學習，需要教師去發(fā)現(xiàn)。

8.使學生能成為課堂的主人，在民主、寬松、自由的環(huán)境里體驗數(shù)學。

9．增強學生自信、培養(yǎng)學生自主參與意識、參與能力。

10．生活中充滿數(shù)學，讓學生體驗數(shù)學之樂。

五、結(jié)束語

教師要充分把握好初等數(shù)論的學與教之間的關(guān)系，抓住主要內(nèi)容、基本思想、分清重點和難點進行教學，讓學生體驗到學習的快樂。

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參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.小學數(shù)學課程標準（實驗）.北京：人民教育出版社，2005.

[2]閔嗣鶴，嚴士健編.初等數(shù)論（第三版）.北京：高等教育出版社，1957.

[3]潘子洞，潘承彪著.初等數(shù)論（第二版）.北京：北京大學出版社，1992.