摘要：課堂討論是體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的重要方式，它為學(xué)生思維和能力的發(fā)展提供了廣闊的空間，但實際教學(xué)中仍有“討而不論”的現(xiàn)象。本文針對一個案例進行商榷，提出了讓課堂討論“既開花，又結(jié)果”，真正講求討論實效性的建議。

關(guān)鍵詞：教學(xué)商榷；課堂討論

中圖分類號：G623.42 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-4289（2009）02-0059-03

課堂討論是現(xiàn)代教學(xué)改革中體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的重要手段。它可以活躍課堂氣氛，改革和優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在相互討論中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，為學(xué)生思維和能力的發(fā)展提供廣闊的空間。同時，對教師的教學(xué)境界、教學(xué)智慧也能起到很好的發(fā)展作用。但縱觀目前的課堂教學(xué)，尤其是一些公開課中，我們?nèi)阅芸吹讲簧僬n堂討論“只開花不結(jié)果”的現(xiàn)象。下面就筆者最近聽到的一堂公開課，同大家進行商榷。

【案例實錄】

1.呈現(xiàn)問題

（教師投影，學(xué)生閱讀）研究簡諧振動中的很多運動關(guān)系都涉及到數(shù)學(xué)三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。其中，質(zhì)子的位置關(guān)系就涉及到振幅問題。而怎樣求任意質(zhì)子運動的振幅，就曾經(jīng)難倒過一大批物理學(xué)家。曾經(jīng)有一位物理學(xué)家在研究振動質(zhì)子位移y與時間x的關(guān)系時，得到關(guān)系式y(tǒng)=2sin(x+)cosx，他想求出當(dāng)時間x為何值時，振幅y取得最大值。同學(xué)們能否發(fā)揮聰明才智，解決這個問題呢？

2.探究問題

師：可以看書，可以相互研究。

（同學(xué)們閱讀后，討論很激烈，躍躍欲試。）

生1：可以直接利用積化和差公式進行求解。

師：這位同學(xué)領(lǐng)悟的很快，把我們這節(jié)課的結(jié)果都說出來了，不錯，請坐。

生2：我猜想，當(dāng)x=+2k時，y的最大值是2，因為函數(shù)y=2sin(x+)的最大值問題我們就是這樣解決的。

生3：他的猜想不正確，因為這兩個函數(shù)是不一樣的。

生2：以往我們解決這類問題都轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+)+B來處理，但現(xiàn)在我轉(zhuǎn)化不了，所以就把它看作y=2sin(x+)來處理了，就得到了剛才的結(jié)論。

師：很好，大家都開動了腦筋。還有什么其他解決方法嗎？

生4：我的思路和生2的相同，但我是這樣處理的：

y=2sin(x+)cosx

=2（sinxcos+cosxsin)cosx

=sin2x+cos2x

=sin2x+cos2x+

轉(zhuǎn)化到這一步，就無法繼續(xù)進行下去了。

（此時，不少學(xué)生表現(xiàn)出和生4同樣的困惑。）

師：思路很好，如能繼續(xù)進行下去就更好了！同學(xué)們還有什么新發(fā)現(xiàn)，說出來大家共同欣賞一下。

生5：我發(fā)現(xiàn)y=2sin(x+)cosx中的兩個角有關(guān)系：x++x=2x+，而x+-x=，如能用這兩個角的和或差的三角函數(shù)來表示y=2sin(x+)cosx，問題就可以轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+)+B來處理了，可是我不知道如何進行這一轉(zhuǎn)化。

師：想法很妙！我們來共同探求如何用x+與x的和與差的三角函數(shù)來表示y。

教師投影：

(1)sin(+)=sincos+cossin

(2)sin(-)=sincos-cossin

(3)cos(+)=coscos-sinsin

(4)cos(-)=coscos+sinsin

師：物理學(xué)家遇到的問題較為復(fù)雜，我們先來研究類似的簡單問題。

投影：求2sin75cos15的值。

生6：通過查表進行求值。

生7：根據(jù)投影上的公式(1)和(4)，得：

2sin75cos15=2sin(45+30)cos(45-30)

=2××=1+

將75、15拆成45和30的和與差。

生8：直接利用75、15的正弦、余弦值代入，可求出同樣的答案。

2sin75cos15

=(sin75cos15+cos75sin15)

+(sin75cos15-cos75sin15)

=sin(75+15)+sin(75-15)

=1+

生9：我發(fā)現(xiàn)sin(75+15)與sin(75-15)的展開式相加正好是2sin75cos15。

3.解決問題

師：同學(xué)們的解法都很好，都抓住了角的特點解題，請大家比較一下，誰的解法最好？

學(xué)生又一次展開熱烈的討論，最終達成一致：生9的解法最好。生7的解法雖然與生9的解法類似，但生9逆用了公式(1)(2)，不僅簡單解決了求2sin75cos15的值，而且具有一般性，可以把

y=2sin(x+)cosx轉(zhuǎn)化為y=sin(x++x)+sin(x+-x)，使問題得到解決。

學(xué)生練習(xí)：求2sin52.5cos7.5的值。

（學(xué)生很快利用上述思想得到了答案。）

教師再次啟發(fā)學(xué)生：從運算形式上來看，這種方法有什么獨到之處？

生10：這個過程把積的運算轉(zhuǎn)化為和的運算。

師：對，很好！這個過程把二級運算轉(zhuǎn)化為一級運算，簡化了計算過程，如2sincos也能轉(zhuǎn)化為和的運算，就更有意義了，能實現(xiàn)這個目標(biāo)嗎？

教師再次把公式(1)～(4)投影，有了前面的鋪墊，學(xué)生馬上想到公式(1)+(2)就得到公式：

2sincos=sin(+)+sin(-)

仿照同樣的辦法，學(xué)生很快將cossin，coscos，sinsin的公式都推導(dǎo)出來了。

4.拓展問題

反思研究的過程與結(jié)果，梳理并加深學(xué)生的認識。

適度拓展，引發(fā)學(xué)生進一步思考：

（1）能用三角函數(shù)的積化和差公式推導(dǎo)出三角函數(shù)的二倍角公式嗎？

（2）在以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識中，哪些知識可以把積的運算轉(zhuǎn)化為和差的運算？

【案例商榷】

總體來說，這節(jié)課基本體現(xiàn)了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的新理念：主體思維、過程教學(xué)、交流互動、啟發(fā)引導(dǎo)、情感體驗、課堂氣氛活躍，學(xué)生的思維參與程度高。這里既有值得我們借鑒和汲取的有益經(jīng)驗，但不可否認也存在一些不當(dāng)之處值得我們進一步商榷。我想，做這樣的課后商榷工作，對實際教學(xué)的有效開展會有很大幫助的。

1.教師在問題情境呈現(xiàn)之后，直接讓學(xué)生看書、閱讀，這樣做是否合適？既然讓學(xué)生探究，本就是從未知向已知的探索過程。學(xué)生經(jīng)過看書，就會在探究之前知道結(jié)論，就會用已有的結(jié)論來解答教師開始提出的問題（如生1的回答），那么后面的探究設(shè)計顯然顯得“多余”了。這顯然與探究學(xué)習(xí)的初衷相背。因此，課前不預(yù)習(xí)、課上不看書是值得商榷的?；蛟S，有的教師會說，課上可以不讓學(xué)生看書，但誰能保證學(xué)生課前不預(yù)習(xí)呢？不可否認，這是非常實際而尖銳的問題。由此想到，史寧中教授講過的，“我們要尊重教育，要站在受教育者的立場思考?！彼f：“知識分三種：一種是教了也不會的知識，一種是不教也會的知識，一種是教了就會的知識。我們做教師的，應(yīng)該選擇教了就會的知識?！倍嗝淳俣羁痰恼Z言。就這節(jié)課而言，如果說有的學(xué)生在課前預(yù)習(xí)了積化和差公式，使教師在呈現(xiàn)問題之后，直接利用公式給出答案，也即學(xué)生“不教就會”，教師該怎么辦？我想，這倒是個很好的機會，教師要善于應(yīng)變，變被動為主動，繼續(xù)對學(xué)生進行啟發(fā)誘導(dǎo)：你知道這個公式是怎么來的嗎？它有什么特點嗎？適用于什么問題？怎樣去記憶這個公式？等等。通過這些問題，教師仍能繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進行思維發(fā)展與解決問題的預(yù)設(shè)和生成，教學(xué)目標(biāo)仍可以很好地達成。

2.案例中，學(xué)生4轉(zhuǎn)化到y(tǒng)=sin2x+cos2x+后無法繼續(xù)化下去，教師對此只是說“思路很好，如能繼續(xù)進行下去就更好了。”就這樣輕輕帶過，繼而話鋒一轉(zhuǎn)，問其他同學(xué)有什么新發(fā)現(xiàn)。我認為，此處的處理有些草率了。既然教師讓學(xué)生討論了，學(xué)生也激烈地討論了，可討而不論，使學(xué)生因討論而生的“思維的火花”即刻被“撲滅”了。這對課堂討論的實效性大打折扣。教師回避學(xué)生思路，可能是怕偏離了預(yù)先規(guī)劃好的設(shè)計主線，尤其是公開課中更是“不敢放開手腳”，所以很多“討”得的問題，“討”而“不論”。其實，教師缺乏的是教學(xué)機智，對于課堂中出現(xiàn)的“界外球”，教師不應(yīng)回避。我們不妨順著學(xué)生的思路繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生完全可以利用已經(jīng)學(xué)過的兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用，得到：

y=sin2x+cos2x+

=sin2xcos+cos2xsin+

=sin(2x+)+，

從而使問題得以解決。

3.對于學(xué)生5的回答，教師也肯定其“想法很妙”，同時順著學(xué)生5的思路，提出“我們來共同探求如何用x+與x的和與差的三角函數(shù)來表示y”，在投影上給出四個和角、差角公式，至此，只要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算，學(xué)生就很快會想到：

sin(x++x)=sin(x+)cosx+cos(x+)sinx，

sin(x+-x)=sin(x+)cosx-cos(x+)sinx，

兩式相加，容易得到：2sin(x+)cosx=sin(x++x)+sin(x+-x)=sin(2x+)+，再因勢利導(dǎo)，不難得到2sincos=sin(+)+sin(-)。這樣，不僅開始的問題得以解決，而且還“意外”地發(fā)現(xiàn)了積化和差公式，教學(xué)過程逐漸走向高潮，顯得合理、自然。但此案例中教師的處理顯得有些牽強，投影公式之后，話鋒再次一轉(zhuǎn)，“物理學(xué)家的問題比較復(fù)雜，我們先研究類似的簡單問題——求的值?！苯處煹谋疽饪赡苁窍朐诮虒W(xué)中體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，但在此處是不合適的。教師這樣“一轉(zhuǎn)”，學(xué)生的思路被打斷了，而對這個解法多樣的問題又得重新思考。這極大地影響了學(xué)生解題的目的性。事實上，求的值的方法有很多，并有更簡捷的方法，可教師的處理使積化和差的公式變得更不容易，變得更費周折，學(xué)生的思維也被擾亂了。

從以上的三個方面看，表面上教師發(fā)揮學(xué)生的主體性和主動性，讓學(xué)生自由討論，可當(dāng)學(xué)生討論出問題或思路之時，教師采取的是回避等消極應(yīng)對策略，一味地按照自己預(yù)設(shè)好的思路往下走。這使我們在聽課之時內(nèi)心產(chǎn)生“課堂討而不論，教學(xué)焉得實效”的疑問。所以，在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如何在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)充分調(diào)動學(xué)生的討論熱情、切實提高討論的實效性，關(guān)鍵在于教師課前的多費思量、課上的靈活機智，真正使課堂上的師生對話、學(xué)生交流成為一道有內(nèi)涵的亮麗風(fēng)景。

（作者單位：淄博師范高等?？茖W(xué)校，山東，淄博 255100）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。