摘 要:積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分。熟練掌握積分學(xué)的相關(guān)內(nèi)容是非常有必要的。主要論述無窮積分和瑕積分這些特殊積分的計算。由于無窮積分和瑕積分在知識結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關(guān)系，而是并列存在的關(guān)系，因此在討論無窮積分和瑕積分的計算問題時，將無窮積分的相關(guān)內(nèi)容歸為一項，將瑕積分的相關(guān)內(nèi)容歸為一項。指出無窮積分和瑕積分是并列存在的，但它們之間也有一定的聯(lián)系。論述了求解特殊積分的若干方法。

關(guān)鍵詞:無窮積分 瑕積分 方法

一、研究現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課程之一，也是這類專業(yè)的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后最早面對的課程之一。許多數(shù)學(xué)工作者都曾從事這方面的研究，并取得了豐碩的成果。20世紀(jì)初年勒貝格開創(chuàng)了可列可加測度的積分論，即實變函數(shù)，也稱實分析。復(fù)變函數(shù)論繼續(xù)向縱深發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論，開始了泛函分析的歷程。三角級數(shù)論發(fā)展成的各種各樣的傅立葉分析。20世紀(jì)分析學(xué)的另一個特征是處理高維空間中曲線曲面，多變量函數(shù)的整體特征，這需要拓展學(xué)生知識和代數(shù)工具，形成流形上的積分。它使微分幾何學(xué)，偏微分方程，多復(fù)變函數(shù)論等學(xué)科相綜合，形成當(dāng)代數(shù)學(xué)中的主流方向。與此同時，研究多元函數(shù)的反函數(shù)，多元積分的外微分形式，逐漸成為分析學(xué)中的基礎(chǔ)知識。

20世紀(jì)的分析學(xué)基本上解決了線性空間上的線性算子(線性微分方程)的課題，目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一。微積分的基礎(chǔ)雖已嚴(yán)密化，但是無窮小量卻不再是一個量，而是一個變化過程。為了使無窮小和無窮大作為一個量重返數(shù)壇，羅賓遜在1960年將實數(shù)系R擴(kuò)充為超實數(shù)系R*，無窮小量作為實數(shù)系R*的數(shù)，使極限過程的表示更為簡單，這稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析。

而積分學(xué)作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，是數(shù)學(xué)專業(yè)及物理、化學(xué)、建筑等其他相關(guān)專業(yè)的學(xué)生必備的基礎(chǔ)知識。所以，研究無窮積分、瑕積分的計算具有十分重要的意義。我國的數(shù)學(xué)工作者在這個方向也做出許多成績。比如蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院的許軍保老師于2004年在《商洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報》上發(fā)表了《瑕積分計算的簡化》。另外，還有許多從事這方面研究的數(shù)學(xué)工作者也取得了不少的成績。由于本人水平有限，在這里只是淺談無窮積分、瑕積分的計算方法。

二、無窮積分的求解方法

1.基本概念與性質(zhì)

(1)定義

注:本道例題中，所求積分轉(zhuǎn)化為了一個瑕積分和一個無窮積分的和。

四、結(jié)論

無窮積分與瑕積分統(tǒng)稱廣義積分，是積分理論中的重要內(nèi)容。深刻認(rèn)識無窮積分與瑕積分的關(guān)系，對正確把握常義積分與廣義積分的區(qū)別和聯(lián)系具有十分重要的作用。而廣義積分又可以看作是定積分與函數(shù)極限的結(jié)合，因此有關(guān)定積分的計算公式和技巧幾乎都能應(yīng)用于廣義積分。其中最典型的就是分部積分法。

前面已經(jīng)說過無窮積分和瑕積分在知識結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關(guān)系，而是并列存在的關(guān)系。因此本文討論了幾種有關(guān)無窮積分的計算方法，討論了幾種有關(guān)瑕積分的計算方法。其中定義法、分部積分法是計算廣義積分最根本的方法。但是，對于那些有一定難度的題目，就需要一些解題技巧，這需要讀者自己去不斷總結(jié)。

參考文獻(xiàn):

1.華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社

2.鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社

3.裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社

4.費定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985.419

5.孫清華，孫昊.復(fù)變函數(shù)內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，1985.298

6.李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析(上，第二版)[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2000.273

7.宋國棟等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題題解(單變量部分)[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2002.254

8.林益等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解(上)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002

9.謝惠民等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義(上)[M].北京:高等教育出版社，2001.390

10.錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].北京:崇問書局.2003:316

作者單位:四川省萬源市萬源中學(xué)