在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)、合理的變式，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，探求“不變”的規(guī)律，不僅能鞏固知識(shí)，形成技能，而且能完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)應(yīng)變能力，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)與創(chuàng)新意識(shí).本文根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧诹?xí)題課的變式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力.

一、對(duì)例題、習(xí)題由表及里，培養(yǎng)思維的深刻性

心理學(xué)研究表明:人的認(rèn)識(shí)總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的.因而所設(shè)計(jì)的嘗試學(xué)習(xí)問(wèn)題必須遵循人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，采取低起點(diǎn)、小步子、多訓(xùn)練、快反饋的方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)劃分為由易到難、由簡(jiǎn)到繁的若干遞進(jìn)層次，使學(xué)生逐步地多次獲得成功，保護(hù)學(xué)生旺盛的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在教學(xué)“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，我設(shè)計(jì)如下題組:

1. 在△ABC中，已知其周長(zhǎng)為18，B(-4，0)，C(4，O)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是.

2. 在△ABC中，已知B(-4，0)，C(4，0)，若AB-AC=8時(shí)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是;若AB-AC=6時(shí)， 則頂點(diǎn)A 的軌跡方程是 ;

3. 在平面上， 已知點(diǎn)P(x，y)，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，PF1-PF2=2a，若a=c時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡方程是;若a>c時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡方程是;若a

上面的題組中，從橢圓的定義引入，同時(shí)通過(guò)計(jì)算，讓學(xué)生由特殊到一般類比歸納出雙曲線的定義，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的計(jì)算能力，也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的類比、歸納、抽象和概括能力.

二、探索例題的非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的批判性

教師應(yīng)注意深挖細(xì)琢例題，尋找機(jī)會(huì)展示自己的思維過(guò)程，提出新假設(shè)、新論斷，通過(guò)探求問(wèn)題的非常規(guī)解法，帶給學(xué)生意外的驚喜，以訓(xùn)練學(xué)生思維的批判性.

例如，求證:+<2.

常規(guī)解法是:因?yàn)?和2都是正數(shù)，所以要證明+<2，只需要證明(+)2<(2)2，展開得10+2<20，即<5.因?yàn)?1<25成立，所以(+)2<(2)2，即證明了+<2.

很多學(xué)生對(duì)該解法只知其然，不知其所以然，甚至在獨(dú)立完成如-<2時(shí)容易犯將該式兩邊平方的錯(cuò)誤，為了避免這種情況，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用新的方法，獨(dú)立地組織自己的思維進(jìn)程，訓(xùn)練學(xué)生的思維.

非常規(guī)解法是:

+==<== 2.

學(xué)生驚喜之至，問(wèn)題得到巧解，既補(bǔ)充和延伸了課堂教學(xué)，消除了學(xué)生的疑慮，排除了干擾，又培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神、科學(xué)的批判精神和鍥而不舍的學(xué)習(xí)精神，何樂(lè)而不為?

三、精選變式習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

教材往往只是研究問(wèn)題的最基本形式，即使把有關(guān)問(wèn)題弄清了，也只能是把握問(wèn)題的某個(gè)方向，因此，教師要挖掘習(xí)題深層次的知識(shí)，縱橫聯(lián)系，多角度地考慮問(wèn)題，使學(xué)生思維呈現(xiàn)輻射狀.

教材中關(guān)于焦點(diǎn)弦有這樣一道題:過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證:y1y2=-p2.

筆者啟發(fā)學(xué)生，對(duì)此題進(jìn)行變式.在師生的共同努力下便得到了如下一系列的結(jié)論.

1. 拋物線的通徑是最短的焦點(diǎn)弦.

2. 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，求證:x1x2=.

3. 一條直線與拋物線y2=2px相交于Q、P，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果坐標(biāo)滿足y1y2=-p2(或x1x2=)，那么這條直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

4. 拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦的傾斜角為α(α≠0)，則焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為.

5. 如果拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則+=.

6. 以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與其準(zhǔn)線相切.

7. 拋物線的焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直.

8. A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，是拋物線y2=2px上的三點(diǎn)，如果FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C成等差數(shù)列(F為焦點(diǎn))，那么①x1，x2，x3成等差數(shù)列;②y12，y22，y32成等差數(shù)列.

9. 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦，則以此兩弦為對(duì)角線的內(nèi)接四邊形的面積的最小值是8p2.

10. 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線的割線ABC，過(guò)焦點(diǎn)F與ABC平行的弦PQ，則AB·AC=FP·FQ.

上述10個(gè)變式源于課本而又高于課本，變式過(guò)程逐步深入，環(huán)環(huán)相扣，將與拋物線的焦點(diǎn)弦相關(guān)的問(wèn)題研究得一覽無(wú)余，如果指導(dǎo)學(xué)生把拋物線改寫成圓、橢圓、雙曲線，又可以得到一系列新的結(jié)論.這樣，能提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，使之達(dá)到熟一類，通幾類的效果.

四、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題探究和猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

每個(gè)人都希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者.教師應(yīng)該認(rèn)真研究教學(xué)要求，以學(xué)生為本，精心設(shè)計(jì)習(xí)題，給學(xué)生一片自主探索的天空，使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到培養(yǎng).

例如，在教學(xué)“已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程”這一問(wèn)題時(shí)，作如下變式.

變式1:已知點(diǎn)M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ;

變式2:當(dāng)點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2+y2=r2外時(shí)，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么?

變式3:當(dāng)點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2+y2=r2內(nèi)(非圓心)時(shí)，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么?

學(xué)生利用平面幾何的知識(shí)，會(huì)很快得到切線方程是x0x+y0y=r2;但對(duì)于變式1，比較多的學(xué)生受到原題的影響，看到直線方程是x0x+y0y=r2，就想到直線與圓相切，于是填上1，也有不少學(xué)生看到M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點(diǎn)，于是斷定直線與圓必相交填上2，其實(shí)只須利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可得到公共點(diǎn)是0的標(biāo)準(zhǔn)答案;對(duì)于變式2，引導(dǎo)學(xué)生探索:過(guò)點(diǎn)M可作圓的兩條切線P1M，P2M，設(shè)切點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由原來(lái)例題的結(jié)論，得切線P1M的方程為x1x+y1y=r2，切線P2M的方程為x2x+y2y=r2，因點(diǎn)M(x0，y0)在直線P1M，P2M上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，由此可得P1，P2在直線x0x+y0y=r2上，而過(guò)兩點(diǎn)的直線有且只有一條，所以x0x+y0y=r2為弦P1P2的方程;對(duì)于變式3，可引導(dǎo)學(xué)生探索:過(guò)點(diǎn)M作圓的動(dòng)弦P1P2，過(guò)P1，P2作兩切線，并相交于點(diǎn)P3(x3，y3)，由變式2的結(jié)論可得動(dòng)弦P1P2的方程是x3x+y3y=r2，又因點(diǎn)M(x0，y0)在P1P2上，則x3x0+y3y0=r2，以x，y分別代替x3，y3，則直線x0x+y0y=r2是以動(dòng)弦P1P2的兩端P1，P2為切點(diǎn)的兩切線的交點(diǎn)P的軌跡方程.

這樣，通過(guò)對(duì)問(wèn)題層層遞進(jìn)，逐步挖掘、深化，不僅使學(xué)生產(chǎn)生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且讓學(xué)生始終處于愉快的探索狀態(tài)，學(xué)習(xí)積極性高，思維活躍.

責(zé)任編輯 羅 峰