張央林

一、一次測試引發(fā)的思考

三年級下學(xué)期末，筆者為了解學(xué)生解決問題的能力，對自己教學(xué)的兩個班進(jìn)行了一次解決問題能力非正式前測，以作為復(fù)習(xí)的依據(jù)。

問題1：爸爸買了兩盒一樣的巧克力豆，明明和媛嬡每人一盒。媛媛每天吃9顆，可以吃4天；明明每天吃18顆，可以吃幾天?

問題2：明明在東京旅游，媽媽給了他525日元零用，他買了4張紀(jì)念卡，這時他發(fā)現(xiàn)自己只剩下25日元了。紀(jì)念卡的單價是多少日元?

問題3大型拖車送火箭從制造廠到發(fā)射場，每小時行9千米，用了4小時：從發(fā)射場返回到制造廠，每小時行18千米，需要幾小時?

問題4：叔叔進(jìn)行汽車?yán)愑?xùn)練，從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程是525千米，行了4小時，發(fā)現(xiàn)到終點(diǎn)還有25千米。汽車平均每小時行多少千米?

兩個班在解答題3和題4上差異明顯。(正確率見下表所示)

在沒有學(xué)習(xí)路程、速度和時間數(shù)量關(guān)系之前(四年級上學(xué)期才學(xué))，A班解答問題‘3和問題4的正確率已經(jīng)比較好了(至少是正常的)。而B班則特別出色。兩班的差異讓我眼前一亮：兩個班是隨機(jī)分班，B班二年級開始是筆者執(zhí)教，A班從二年級下學(xué)期起是筆者執(zhí)教。經(jīng)過一年的教學(xué)，兩個班在包括解決問題能力的各個數(shù)學(xué)能力上看不出差異，但為什么兩個班在解決離散量類型的問題時沒有差異(事實(shí)上，題l和題3、題2和題4是同構(gòu)的，唯一的區(qū)別是，題1和題2問題涉及的量是離散量，而題3和題4問題涉及的量是連續(xù)量)，而在解決連續(xù)量問題的時候B班卻更為優(yōu)異呢?為了確定不是外部因素影響了測試的信度，隨后筆者又對兩個班同時進(jìn)行了20分鐘小測驗(yàn)，還在復(fù)習(xí)過程中多次針對數(shù)學(xué)成績后30％的學(xué)生進(jìn)行了專項(xiàng)對比觀察，證實(shí)了前面的測試有較高的信度：解題失敗的幾個同學(xué)在解決同類問題時依然表現(xiàn)不佳，于是我作出了這樣的判斷：長度單位教學(xué)策略對連續(xù)量類型的實(shí)際問題解決(特別是路程、速度、時間關(guān)系問題解決)有直接影響；或者說長度單位概念建構(gòu)的失敗是導(dǎo)致學(xué)生解決連續(xù)量問題困難的原因。

二、得出此判斷的依據(jù)

筆者很早就開始關(guān)注學(xué)生解決連續(xù)量問題不如離散量問題的現(xiàn)象，這里舉一個極端的例子，

[牛吃草]一塊草地，每天均勻地生長新草。如果放養(yǎng)6頭牛，8天可以吃完草地里的草。如果放養(yǎng)9頭牛，4天就吃完了草地里的草。如果放養(yǎng)7頭牛，草地的草夠吃多少天?

[吃雞蛋]冰箱里有一些雞蛋，養(yǎng)的雞每天下同樣多的雞蛋。如果每天給熊貓吃6只蛋，8天后雞蛋不夠吃，如果每天吃9只蛋，4天后雞蛋不夠吃。如果每天吃7只蛋，幾天后雞蛋不夠吃?

對于成人來說，“牛吃草”問題也是個棘手的題目，而“吃雞蛋”問題則是個簡單問題。對于沒有經(jīng)過特殊輔導(dǎo)的四年級兒童來說，能解決前一個問題的百里挑一，而能解決后一個問題的學(xué)生則不在少數(shù)?！芭３圆荨焙汀俺噪u蛋”是同構(gòu)的，為什么前者如此困難而后者則相對簡單得多呢?籠統(tǒng)的解釋是：后一個問題容易理解，而前一個問題難以理解。事實(shí)上，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多有經(jīng)驗(yàn)的教師都能注意到連續(xù)量問題相對較難，他們的解釋通常是“學(xué)生不理解題意”。然而，用“不理解題意”來解釋這種現(xiàn)象還過于籠統(tǒng)，什么是“不理解題意”?閱讀障礙嗎?兩者并沒有什么差別!離生活太遠(yuǎn)?沒有理由認(rèn)為牧區(qū)小學(xué)的孩子會比城市的孩子更會解答“牛吃草”問題!那么，不理解題意的原因是什么?

筆者的理解是：“牛吃草”問題困難的原因是沒有一個現(xiàn)成的和熟知的單位來表示牧草的量，而后者表示雞蛋數(shù)量的“個”則是兒童在幼兒期就熟知的單位。對許多兒童來說，感到困難的行程、面積、重量、時間、角度等連續(xù)量問題，如果換成離散數(shù)量問題則容易得多。由此可以推斷，兒童是否正確建立長度(面積、體積、質(zhì)量、角度、時間)等單位概念決定著兒童在解決相應(yīng)量的問題時是否“理解題意”。

因此，筆者對前述A班兒童在解決問題3和問題4上的失敗歸因于長度單位概念在他們的大腦里沒有被正確建立起來。二年級兒童理解“厘米”“公畝”“平方米”“立方厘米”“(角)度”與我們成人理解“千克·米”“米/秒”這樣的單位概念有相似的難度。事實(shí)上，在孩子的大腦中，8個，8厘米，8千克，8小時，8度(角)，這些概念完全不一樣，除了“8個”是真實(shí)而清晰的，其他的概念一個比一個模糊，從他們解答這類量的問題常常出錯——不理解題意、胡亂寫名數(shù)、周長與面積不分——可以看出來。

正是基于這個判斷，筆者主張重視兒童對連續(xù)量和測量單位的理解，改變長度(面積、體積、周長、時間、角度等)量和測量單位的教學(xué)策略。

三、長度和長度單位的教學(xué)策略

支配目前長度認(rèn)識和長度單位認(rèn)識的主流觀點(diǎn)是這樣的：①長度測量教學(xué)重點(diǎn)是技能形成；②長度單位教學(xué)的重點(diǎn)是單位之間的轉(zhuǎn)換和實(shí)際運(yùn)用；③長度單位和直尺的認(rèn)識難點(diǎn)是用斷尺測量長度和單位的實(shí)際運(yùn)用；④“比長短”和“直尺的認(rèn)識”不用教，學(xué)生都會；⑤一些教材上安排的用鉛筆、橡皮等一般單位測量被測對象的活動盡管符合知識的邏輯起點(diǎn)，但并不符合兒童的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)(因?yàn)閷W(xué)生100％會使用直尺)。因此，課改前后，長度和長度單位的教學(xué)基本沒有什么改變，依然是技能訓(xùn)練。

7年前，筆者教學(xué)長度和長度單位所采取的策略正好與人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第一單元《長度單位》教材安排的圖2相似，學(xué)生使用的測量長度的“尺子”就是把10個紅黃相間的厘米立方體用透明膠帶粘成的長條。用離散量的表達(dá)方式表達(dá)測量結(jié)果一例如，右邊的數(shù)學(xué)書的寬是“15‘個厘米”“鉛筆盒的長度是25‘個厘米”，用“個”把測量與數(shù)數(shù)統(tǒng)一起來，將學(xué)生數(shù)離散量的經(jīng)驗(yàn)和能力遷移到長度測量上來，再遷移到質(zhì)量、面積、體積、角度測量上去。很明顯的效果是學(xué)生對長度和長度單位表示的對象(概念)認(rèn)識非常清晰，在學(xué)習(xí)周長和面積的時候，混淆周長面積的比例顯著減少。

兩年前，筆者教學(xué)厘米認(rèn)識的時候，基于促進(jìn)學(xué)生對連續(xù)量對象的認(rèn)識和測量單位概念的建立，進(jìn)一步調(diào)整和豐富了教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容。

核心活動如下，給學(xué)生提供如下圖的5個長度單位，用復(fù)制的方法測量。比如文具盒長“大約6個積木”(第4個，上到下，下同)，如果用圓柱體橡皮(第1個)作單位測量，文具盒的長度大約是多少個單位?估計(jì)一下再測出來，交流一下你是怎么估計(jì)的。如果用長方體橡皮(第5個)測量呢?在這種結(jié)構(gòu)化的材料操作中，學(xué)生不僅獲得正確的長度單位概念，更重要的是，學(xué)生在這里獲得了更有用的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不同單位表示同一對象——反比例關(guān)系的模型，這正是前述測試題中問題3的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，前述測試題的問題3，本質(zhì)上是一個測量問題：將拖車1小時移動的距離當(dāng)做一個單位，用兩種不同的單位測量同一個距離——制造廠到發(fā)射場的距離，其測量數(shù)據(jù)與單位大小成反比例。

這種學(xué)習(xí)長度測量的經(jīng)驗(yàn)是A班同學(xué)沒有的，有理由相信，B班學(xué)生在解決問題3和問題4上的優(yōu)異表現(xiàn)，與他們在學(xué)習(xí)長度單位時的不同方式是相關(guān)的。

四、結(jié)論和思考

長度和長度單位概念是后續(xù)學(xué)習(xí)其他計(jì)量單位的基礎(chǔ)，還是日后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、幾何的基礎(chǔ)；長度測量經(jīng)驗(yàn)是倍數(shù)、單位1、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等重要數(shù)學(xué)概念的自然入口，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著特殊重要的地位。用離散的數(shù)數(shù)入手測量長度是幫助學(xué)生建立長度概念的有效策略。面積、體積、角度測量也應(yīng)該使用相似的策略。楊利亞等老師在角度教學(xué)時從離散的單位角度(1度的角)入手，用單位復(fù)制(數(shù)數(shù))的方法測量角度，也印證了這種策略的必要性和有效性。

想不到一個長度單位概念建構(gòu)之初的策略改變競?cè)挥绊懥藢W(xué)生對“速度、路程、時間”關(guān)系的理解。由此想到時下評課的“萬能”流行語數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“清清楚楚一條線”，而不是“模模糊糊一大片”，意思是教學(xué)目標(biāo)要明確、過程要清晰。然而，以筆者的這種策略教學(xué)長度單位顯然是模模糊糊一大片——看不出通常理解的重點(diǎn)和難點(diǎn)!無可非議，某個小片段的數(shù)學(xué)知識和相應(yīng)的教學(xué)或許應(yīng)該是一條線，但應(yīng)該在怎樣的尺度下、怎樣的視野中考察這條線々因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和知識結(jié)構(gòu)決不會是一個線性系統(tǒng)，我們應(yīng)該站得更高，在更大的尺度下、在更廣闊的視野中把握這條線——定位教學(xué)目標(biāo)和選擇教學(xué)策略——以有效促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)生態(tài)和諧的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。