[摘 要] 指出有效市場理論的缺陷，利用具有良好時空變換特征的小波分析研究股票市場，闡述上證指數(shù)和深成指數(shù)序列所具有的分形性質(zhì)，并進行實證研究。

[關(guān)鍵詞] 有效市場 小波分析 分形

一、引言

股票市場是一個自由度極大的信息系統(tǒng)。傳統(tǒng)的有關(guān)證券市場運行規(guī)律的理論都是基于有效市場假說（efficient Market Hypothesis，以下簡稱為EMH)做出的研究，得出概率分布近似服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的結(jié)論。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了正態(tài)收益率假設(shè)與實際之間的偏差越來越多的異常現(xiàn)象，如:EMH無法解釋的證券市場中的規(guī)模效應(yīng)、季節(jié)效應(yīng)、小公司元月效應(yīng)等。

有效市場理論的核心是價格對于信息反應(yīng)的程度和速度。在EMH 所作的諸多假設(shè)中， 都采用了一種線性的范式來刻畫市場， 這正是所有關(guān)于EMH 爭論的癥結(jié)所在， 而社會經(jīng)濟系統(tǒng)， 包括金融市場， 從本質(zhì)上講是非線性的， 我們需用一種新的經(jīng)濟機理來解釋市場復(fù)雜的波動特性。Edgar E. Peters從非線性的觀點出發(fā)，提出了更符合實際的資本市場基本假設(shè)一分形市場假說[2](Fractal Market Hypothesis，以下簡稱為FMH)，從而為人們準確刻畫證券市場結(jié)構(gòu)特征開辟了新的視角，為解釋EMH等傳統(tǒng)資本市場理論所不能解釋的異?，F(xiàn)象提供了新的理論框架。

二、分形市場理論

分形市場理論認為，只用隨機的觀點和方法來研究金融時間序列，必然會損失金融市場中包含的豐富信息。金融時間序列具有其內(nèi)在的相關(guān)性，并且這種相關(guān)性是長期的，也就是說金融時間序列不是隨機的而是分形的，叫做分維時間序列，它不服從隨機游走模型和正態(tài)分布規(guī)律，而是服從分形分布，在均值處有高峰和厚尾等非線性現(xiàn)象。Mandelbrot認為，從隨機分布到分形分布是由整數(shù)維時間序列向分數(shù)維時間序列擴展，布朗運動向分數(shù)布朗運動擴展。分形的外在表現(xiàn)形式是自相似，分形的內(nèi)在生成機理是迭代函數(shù)系統(tǒng)（Interated Function System，IFS)。

定義1FBM(分數(shù)布朗運動)令H滿足0

其中，(·)為函數(shù)，B(s)為布朗運動，H為hurst指數(shù)。

分數(shù)布朗運動是布朗運動的推廣。分數(shù)布朗運動的特征是具有持久性或者說“長程相關(guān)性”。Hurst指數(shù)值決定了時間序列的性質(zhì)，即若H＝1/2，則BH(t)=B(s)，分數(shù)布朗運動退化為布朗運動。在離散情況下，F(xiàn)BM成為分數(shù)差分噪聲。

整數(shù)維時間序列的局限性使其未能揭示市場真實的波動特性，分維時間序列包含并且擴展了整數(shù)維時間序列， 因此， 它具有整數(shù)維時間序列所不具有的諸多非線性特性， 如長記憶性、自相似性、IFS 生成機理等等， 從而可以更加準確地刻畫金融市場的波動特性。

如果信號具有自相似性，則在分解后會發(fā)現(xiàn)小波系數(shù)的圖形在許多尺度上看上去很相似。因此，如果某個信號的連續(xù)小波變換系數(shù)在很多尺度上相似，那么該信號就具有自相似性，從而可用自相似或分形的知識研究。若對某一股票價格的數(shù)據(jù)每天采樣一次，然后做出價格關(guān)于時間變化的曲線，與每星期采樣一次做出的曲線，在統(tǒng)計學意義上是相似的，因此可求其分數(shù)維。

在實際應(yīng)用中計算分形維數(shù)的方法有很多，如相似維、容量維、盒子維(Minkowski維)、信息維、關(guān)聯(lián)維、廣義分形維等。而小波分析被譽為數(shù)學的顯微鏡，十分適合分析具有自相似性股價指數(shù)曲線。

股價指數(shù)序列｛X(t)∶t=1，2，…｝具有統(tǒng)計自相似性，即自相似的隨機過程是在概率分布意義下滿足自相似性，即對任意a＜0，X(t)∶=a-HX(at)，H為自相似指數(shù)，D=2-H，（D為分形維）， 為依概率分布相等。對X(t)有

1.均值自相似性：E(X(t))=a-HE(X(St));（1）

2.自相關(guān)函數(shù)自相似性：

Rx(t1，t2)=E(X(t1)X(t2))=a-2HE(X(at1)X(at2))=a-2HRx(at1，at2)，若是平穩(wěn)的，則Rx(t1-t2)=a-2HRx(at1-at2)；（2）

3.功率譜自相似性:且。（為X(t)的方差） （3）

若自相似過程的功率譜具有特點:，=2H+1，稱為分維譜特性或1/f譜。一般來說，1

對分形噪聲進行小波分解，其小波系數(shù)在尺度j時的方差有如下特征：

Rf2=var(dnj)=R2Vφ（)2i（4）

var(dnj)為小波系數(shù)在尺度j的方差，R2為噪聲方差，Vφ（)是依賴于φ（t)，的常數(shù)，對上式兩邊同時取對數(shù)得1og2(R2f)=1og2[R2Vφ（y)]+j (5）

令Yj=1og2R2f，β＝1og2[R2Vφ（)]

參數(shù)可由以下線性回歸估計:Yj=β+、i，j=1，2，…，m

應(yīng)用最小二乘法估計得

小波系數(shù)在尺度j的方差有無偏估計：

則（6）

三、應(yīng)用及結(jié)論

十多年來，我國股票市場已經(jīng)取得了長足的發(fā)展，但由于經(jīng)濟環(huán)境的復(fù)雜性，以及我國經(jīng)濟體制在許多方面不斷發(fā)生變化，許多難以度量的結(jié)構(gòu)性因素和其它難以預(yù)料的因素都對股市產(chǎn)生影響，直接表現(xiàn)為股指似乎無規(guī)律的波動。下面應(yīng)用小波理論對上證股指、深證股指數(shù)據(jù)進行分析。

選取上證180指數(shù)與深圳100指數(shù)20004年1月3日至2006年12月26日的原始數(shù)據(jù)作為研究對象。利用Matlab中的小波工具箱，采用Daubechies D6小波基對原始數(shù)據(jù)直接進行6層正交小波變換可以得到一系列的小波系數(shù)，由(6)我們可以得到下列結(jié)果：上證指數(shù)的分形維是1.141，深證指數(shù)的分形維是1.109。

另外，還可以根據(jù)赫斯特提出的另一統(tǒng)計量進行穩(wěn)定性檢驗或周期長度的估計。對于獨立的隨機過程系統(tǒng)，統(tǒng)計量Vn關(guān)于1og(n)是平坦的。而對于具有狀態(tài)持續(xù)性的過程來說， Vn關(guān)于1og(n)是向上傾斜的。當Vn圖形形狀發(fā)生改變時，就發(fā)生突變，短期記憶消失。我們發(fā)現(xiàn)我國股票價格持久性周期大約是20周，即股票現(xiàn)在的價格會對以后20周左右時間內(nèi)的價格產(chǎn)生影響，而20周以后的股票價格與現(xiàn)在的價格是相互獨立的。

參考文獻：

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