[摘 要] 我們分析了當(dāng)借貸利率不等的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)存在時(shí)的投資機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問題，分不同情況討論給出了該規(guī)劃問題的解析解，對(duì)現(xiàn)實(shí)的投資決策具有一定的參考價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 投資機(jī)會(huì)約束模型 解析解

在現(xiàn)實(shí)生活中，投資決策者進(jìn)行投資決策時(shí)，有時(shí)會(huì)首先根據(jù)個(gè)人的實(shí)際情況確定一定的目標(biāo)，要求實(shí)際收益率比某一期望收益率要大，并以該目標(biāo)為約束制定相應(yīng)的最優(yōu)策略使風(fēng)險(xiǎn)最小。Charnes和Cooper提出，在不利情況發(fā)生時(shí)，可允許所作的決策在一定程度上不滿足約束條件，但該決策應(yīng)使約束條件成立的概率不小于某一置信水平。這被稱之為投資機(jī)會(huì)約束。

假設(shè)在一個(gè)不確定的資本市場(chǎng)上，存在n種可交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種既可借入，同時(shí)也可貸出的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率記為x1，x2…xn，將其表示為隨機(jī)向量X，X的期望為μ＝μ1，μ2，…μn，方差 cov(X)記為Σ＝(σij)，X□N(μ，Σ)分布。同時(shí)，我們?cè)O(shè)該無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貸出收益Rf1小于該無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的借入成本Rf2。以n維向量ω＝(ω1，ω2，…ωn)T記在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資結(jié)構(gòu)，即在x1，x2…xn上分配的資產(chǎn)比例。則整個(gè)的投資結(jié)構(gòu)可以記為(ωl0，ωb0，ω1，ω2，…ωn)T=(ωl0，ωb0，ωT)T。其中ωl0，ωb0分別指在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的貸出和借入。滿足以下約束：

ωl0-ωb0+eTω=1，其中e=(1，1，…1)T

ωl0≥0，ωb0≥0

這時(shí)的期望收益率為：

，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)用方差ωTΣω表示。存在借貸利率不等的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，投資機(jī)會(huì)約束可表示為：

prob(XTω+ωl0Rf1-ωb0f2>R)≥a

若在指定的收益率r下使投資風(fēng)險(xiǎn)ωTΣω最小，從而形成以下的規(guī)劃問題：

因?yàn)椋?/p>

而服從N(0，1)，所以上式等于:，由，并記 φ-1(a)=a，則有:即投資機(jī)會(huì)約束等價(jià)于：

所以規(guī)劃問題(P1)等價(jià)于：

令A(yù)=eTΣ-1e，B=μTΣ-1e，C=μTΣ-1μ，△＝AC-B2>0，

下面我們求解規(guī)劃問題P2：

記E=ωTμ＝(ωl0Rf1-ωb0Rf2)，，機(jī)會(huì)約束意味著點(diǎn)(E，σ)與(0，R)連線的斜率不小于a，規(guī)劃問題P2的解取決于機(jī)會(huì)約束線RF同有效邊界Rf1M1M2N的交點(diǎn)。如圖:

記點(diǎn)(0，R)，連線的斜率為：

，

點(diǎn)(0，R)，連線的斜率為：

，顯然k2>k1，

若a∈，沒有交點(diǎn)

若a∈交點(diǎn)由

E=R+aσ，

的解給出：

為:

若a∈[k1，k2]，交點(diǎn)由

E=R+aσ，

在E∈上的解給出：

為：

因?yàn)閍≥0，所以當(dāng)k1≥0時(shí)，若a∈[0，k1]，交點(diǎn)由

E=R+aσ，的解給出

為：

利用上述討論結(jié)果，即可得到規(guī)劃問題P2的解。

本文將借貸利率不等的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)引入投資機(jī)會(huì)約束模型，給出了該模型解的解析表達(dá)式，對(duì)現(xiàn)實(shí)的投資決策具有一定的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓其恒 唐萬生 李光泉:機(jī)會(huì)約束下的投資組合問題.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2002，17(1):87～92

[2]唐小我 曹長(zhǎng)修:組合證券投資有效邊界的研究.預(yù)測(cè).1993，12(4):35～38

[3]Merton R C. An analytic derivation of the efficient frontier. Journal of Finance and Quantitative Analysis， 1972， (9):1851～1872