文章編號(hào)：1672-5913(2008)10-0067-02

摘要：本文論述了在計(jì)算方法課程建設(shè)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行課程的教學(xué)改革，使學(xué)生更好地了解計(jì)算方法各種數(shù)值算法的背景、概念和設(shè)計(jì)，提高他們的探究和自學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法；課程建設(shè)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

計(jì)算方法是以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具，研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，是與計(jì)算機(jī)發(fā)展密切相關(guān)的一門(mén)課程。隨著計(jì)算機(jī)硬件性能的不斷升級(jí)和軟件工具的不斷更新以及計(jì)算應(yīng)用的日益普及和深入，促使計(jì)算方法課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法也需要“與時(shí)俱進(jìn)”的進(jìn)行調(diào)整和改革。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)的理論和方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)而使用理論分析或科學(xué)汁算的手段解決問(wèn)題的過(guò)程。近年來(lái)，隨著素質(zhì)教育改革的深入和汁算機(jī)應(yīng)用的普及，繼數(shù)學(xué)建模課得到普遍開(kāi)設(shè)之后，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程升設(shè)成為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的—個(gè)探索方向。

在計(jì)算方法課程建設(shè)中，需重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段，從而培養(yǎng)學(xué)生探究能力。本文就應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想改革計(jì)算方法課程提幾點(diǎn)建議。

1運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生了解算法背景

目前的計(jì)算方法課程，一般是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同而分門(mén)別類(lèi)的介紹各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法。對(duì)于各種數(shù)值方法，按照嚴(yán)密的邏輯體系，從方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程、幾何意義、計(jì)算公式和收斂情況、誤差分析及應(yīng)用例題循序漸進(jìn)的逐一討論。在學(xué)生眼里，計(jì)算方法就是教材中用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)表示的計(jì)算公式和收斂定理的證明，其應(yīng)用就是計(jì)算在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等課程中的數(shù)學(xué)題目，這樣一來(lái)計(jì)算方法的來(lái)源和背景在教學(xué)過(guò)程中很容易被掩蓋。但是，借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段對(duì)實(shí)際問(wèn)題在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行編程、模擬、數(shù)據(jù)分析，可以了解數(shù)值算法的工程背景，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，從而能夠更好地設(shè)計(jì)算法。

例如，運(yùn)行數(shù)學(xué)軟件matlab程序

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set(gcf，'menubar'，'none')

axes('position'，[0 0 1 1])

[x，y]=ginput

然后將你的手直接放在彈出窗口中，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊選取需要的插值點(diǎn)，最后回車(chē)得到所有插值點(diǎn)的坐標(biāo)。但是怎樣才能根據(jù)幾個(gè)坐標(biāo)在屏幕上“顯現(xiàn)”出你的手呢？如果學(xué)過(guò)計(jì)算方法中插值的知識(shí)，通過(guò)這個(gè)例子可以了解到插值的工程背景，分析該問(wèn)題，可用構(gòu)造“參數(shù)曲線”的方法，即在參數(shù)區(qū)間上選取 個(gè)插值點(diǎn)，然后用三次樣條插值構(gòu)造逼近函數(shù)在 個(gè)點(diǎn)上的值，最后以這 個(gè)點(diǎn)作出圖形。如下圖所示。

上例中，從模擬人手的形狀進(jìn)行探索試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)少量數(shù)據(jù)的分析，找出更多數(shù)據(jù)的求值方法，從而確定各種數(shù)值方法所適應(yīng)的問(wèn)題背景，這整個(gè)過(guò)程便是應(yīng)用了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想，可見(jiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是培養(yǎng)學(xué)生探索能力的有力載體。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有直觀性、操作性、反復(fù)性、探索性等特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中。在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段，可以使學(xué)生直接地觀測(cè)、親自動(dòng)手操作、深入思考分析、反復(fù)探索研究。因此在計(jì)算方法課程的教學(xué)過(guò)程中，充分重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生探索能力自然會(huì)得到不斷提升．

2運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生形成算法概念

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思維，但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式求解。往往打不開(kāi)思維，形成不了思路，借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，能幫助我們?cè)竭^(guò)或繞過(guò)問(wèn)題的障礙，克服思維上的困難，逐步形成解決問(wèn)題的新思路、新途徑。

在計(jì)算方法課程的眾多算法中，許多概念或知識(shí)都來(lái)源于工程、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?？梢酝ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中抽象出數(shù)值算法的概念和過(guò)程，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)各種算法進(jìn)行探索、比較，然后將得到的結(jié)論歸納整理成一個(gè)有意義的整體，繼而對(duì)算法的思想產(chǎn)生頓悟、理解，逐步形成新的概念或新的知識(shí)．

例如，計(jì)算方法的截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算中誤差的重要來(lái)源，然而不是唯一的！學(xué)生對(duì)這個(gè)概念理解起來(lái)還是有些困難的，但是如果在實(shí)驗(yàn)中確定已將 取道足夠小的話，特別在高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng) 小到一定程度之后，數(shù)值計(jì)算結(jié)果的誤差不但不再減小，反而會(huì)變大！(見(jiàn)下圖)事實(shí)上，當(dāng)步長(zhǎng) 過(guò)小時(shí)，計(jì)算結(jié)果的誤差變大就是由于舍入誤差的緣故。利用這一生動(dòng)直觀的實(shí)驗(yàn)展開(kāi)探索，使學(xué)生對(duì)“截?cái)嗾`差”的概念以及它與舍入誤差的關(guān)系有了一個(gè)感性上較為明確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生主動(dòng)探索問(wèn)題的能力．

可見(jiàn)，在課程的教學(xué)過(guò)程中，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)軟件，大膽的去編程、試驗(yàn)、探討，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成為一種主動(dòng)的探究過(guò)程。

3運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生更好地設(shè)計(jì)算法

應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)技術(shù)中的具體問(wèn)題時(shí)，首先要將具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立能描述等價(jià)代替實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，其次是為該數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇合適的計(jì)算方法，然后再應(yīng)用程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編程或應(yīng)用數(shù)學(xué)工具軟件在計(jì)算機(jī)上計(jì)算并分析計(jì)算結(jié)果。在進(jìn)行程序設(shè)計(jì)時(shí)，必須要先將具體的計(jì)算方法描述為算法。算法設(shè)計(jì)是程序設(shè)計(jì)的核心和關(guān)鍵，只要算法是正確的，由程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言去實(shí)現(xiàn)算法就不會(huì)有太多困難。同時(shí)，用流程圖表示的算法具有直觀性，當(dāng)由抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表示的各種計(jì)算方法一旦描述成算法，就變成了非常直觀和淺顯的東西，借助算法，學(xué)生可以“看到“計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上是怎樣實(shí)現(xiàn)的，能夠幫助學(xué)生更深刻的理解計(jì)算方法。

雖然在程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言課程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些算法設(shè)計(jì)方法，并掌握了一些最基本、最常用的算法，但是，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于計(jì)算方法所解決問(wèn)題的復(fù)雜性和專(zhuān)業(yè)性，將其設(shè)計(jì)為算法并不是一件容易的事。以解線性方程組的高斯主元素消去法為例，將選主元素、消元、回代的計(jì)算過(guò)程設(shè)計(jì)為算法，需要綜合應(yīng)用選擇矩陣最大值、矩陣運(yùn)算、循環(huán)、遞推等基本算法。而計(jì)算方法課程如果不解決算法設(shè)計(jì)問(wèn)題，那么這些數(shù)值計(jì)算方法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然是“紙上談兵”。但是，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段，我們可以更好地總結(jié)出不同算法之間的區(qū)別，各自的優(yōu)缺點(diǎn)以及它們的重要性質(zhì)，從而能夠更好地設(shè)計(jì)出適合的數(shù)值算法。

例如，用y=xfrac12;在x=0，1，4，9，16產(chǎn)生5個(gè)節(jié)點(diǎn)P₁，…P₅。用幾種不同的節(jié)點(diǎn)(如用P₃，P₄構(gòu)造，或用P₁，P₂，P₄，P₅構(gòu)造或用 構(gòu)造)構(gòu)造拉格朗日插值公式來(lái)計(jì)算x=5處的插值，學(xué)生通過(guò)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用幾種不同的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值，最后得出結(jié)論當(dāng)選取x=5附近的點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的數(shù)值結(jié)果較精確。

所以，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生借助特例，通過(guò)不完全歸納，自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、然后再論證。在這里通過(guò)編制程序、觀察分析、歸納猜想的過(guò)程。不僅是一項(xiàng)很有意義的“思考性實(shí)驗(yàn)”，更是錘煉探索能力的有效途徑。

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