摘要：本文根據(jù)筆者實際教學(xué)經(jīng)驗，從組織教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方式、啟發(fā)式教學(xué)、類比法和增加舉例等方面對如何提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)效果進(jìn)行了一些有益的探索。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；啟發(fā)式教學(xué)；類比法；多媒體

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

1現(xiàn)狀分析

離散數(shù)學(xué)課程的特點就如其名字一樣，一是“離散”，二是“數(shù)學(xué)”。

“離散”是指這門課程不論從知識結(jié)構(gòu)上看，還是從教學(xué)內(nèi)容上看都非常“離散”。首先，這門課程總共分成四大部分：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論，這里面的每一部分似乎都可以獨立成為一個體系。在具體組織教學(xué)時可以按照“數(shù)理邏輯→集合論→代數(shù)系統(tǒng)→圖論”的順序教學(xué)，也可以按照“集合論→數(shù)理邏輯→圖論→代數(shù)系統(tǒng)”的順序教學(xué)。其次，在每一個部分的教學(xué)內(nèi)容中往往又是首先列出一大堆由抽象邏輯符號、字母、圖形等建立起來的基本概念，最后才給出相應(yīng)的理論結(jié)果。學(xué)生初次學(xué)習(xí)是往往抓不住重點，找不出各個概念和理論之間的關(guān)聯(lián)，因而感到學(xué)習(xí)非?？菰?。甚至有些老師在講課時對于成堆的概念也只是簡單地羅列出來，而對于其中的關(guān)聯(lián)講解不清楚。

同時，離散數(shù)學(xué)也是一門很“數(shù)學(xué)”的課程，具有嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性、廣泛的應(yīng)用性，但學(xué)生對短時間內(nèi)由大量抽象概念建立起來的數(shù)學(xué)理論框架體系不適應(yīng)，對由抽象邏輯符號、字母、圖形等建立起來的邏輯理論感到很茫然、不知所措，不習(xí)慣抽象思維，總想在現(xiàn)實中找到實際事物與之對應(yīng)，從而阻礙了離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。同時，大多數(shù)學(xué)生在開始學(xué)時不知道要學(xué)習(xí)什么，學(xué)完之后也不知道怎么應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣不高。因此，如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，是一個非常值得研究課題。

2教學(xué)方法改革的探索

2.1精心組織教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容非常多，但大部分高校離散數(shù)學(xué)的教學(xué)課時卻越來越少，筆者所擔(dān)任本門課程只有51學(xué)時。當(dāng)然，這也是減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的一種手段。那么在這么有限的學(xué)時內(nèi)，一方面，要求老師要把課程講好講透，另一方面，要求學(xué)生聽進(jìn)聽懂，同時提高了教與學(xué)的難度。另外，離散數(shù)學(xué)課程作為一些學(xué)校的公共課，班級人數(shù)較多，這就要求我們教師作為教學(xué)過程的主體發(fā)揮出更大的主導(dǎo)作用，必須在講授過程中認(rèn)真剖析課程內(nèi)容的難點和重點，注意合理安排教學(xué)內(nèi)容，對教學(xué)內(nèi)容作適當(dāng)?shù)膭h減。對于那些對后繼課程影響不大，而學(xué)生又不容易理解的內(nèi)容索性刪除不講，保證學(xué)生學(xué)一部分、會一部分、理解一部分，打好理論基礎(chǔ)，為后繼課程打好理論基礎(chǔ)。防止學(xué)生出現(xiàn)學(xué)了很多，但什么都不能深入理解的情況。

2.2采用多媒體教學(xué)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)方法主要以板書教學(xué)為主，而在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，筆者積極嘗試將傳統(tǒng)板書教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段相結(jié)合?！半x散數(shù)學(xué)”課程中概念抽象、內(nèi)容多，傳統(tǒng)的教學(xué)方式有助于展示數(shù)學(xué)思維的過程，但信息量受限；多媒體教學(xué)信息量大，但不利于展示數(shù)學(xué)思維的過程。因此，在“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)中，傳統(tǒng)板書教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段相結(jié)合，對于敘述性內(nèi)容，采用多媒體演示，對于思維性內(nèi)容，采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，一步步推導(dǎo)，展示數(shù)學(xué)思維的全過程。這種傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)手段相結(jié)合的教學(xué)方法，很受學(xué)生的歡迎。

同時，對于數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)課程在采用多媒體教學(xué)方式時，一定要注意的問題就是千萬不要認(rèn)為用多媒體教學(xué)手段就可以大大加快教學(xué)進(jìn)度。根據(jù)本人對著門課程的教學(xué)經(jīng)驗，我們應(yīng)該把因利用多媒體演示而節(jié)省下來的板書時間，用于反復(fù)強調(diào)解釋所講內(nèi)容的理解方法以及增加舉例的數(shù)量。數(shù)學(xué)概念和定理的理解往往需要反復(fù)強調(diào)，反復(fù)舉例，以加深學(xué)習(xí)印象。

2.3啟發(fā)式教學(xué)

在課堂教學(xué)中，我們堅持采用啟發(fā)式教學(xué)，以知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的思維方式和方法。在教學(xué)內(nèi)容中，注意強化基礎(chǔ)，拓寬知識，注重及時將科學(xué)前沿和工程技術(shù)的最新發(fā)展引入教學(xué)，拓展學(xué)生的視野和增加學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和“終身”學(xué)習(xí)能力；在課堂教學(xué)形式上，注意不拘一格，重在師生交流啟發(fā)式地“教”，重點講思路、講方法，引導(dǎo)學(xué)生思考、理解、歸納、總結(jié)，多方位、多角度地發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，提高學(xué)生解決問題的能力，將傳統(tǒng)的以教師為中心的課堂教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為主體的教學(xué)模式，活躍了課堂氣氛，既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的能力。

2.4類比方法的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容龐雜，包含了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的多個分支，而且各個部分之間看起來很“散”，聯(lián)系不大，甚至在同一部分內(nèi)部，前后章節(jié)之間的關(guān)聯(lián)看起來也不明顯，簡直像個大雜燴。但是有些看起來不相干的東西，實際上它們之間卻有著許多驚人的相似之處。在教學(xué)中，筆者采用類比的方法，揭示出它們相同的內(nèi)涵，找出它們之間的聯(lián)系，從而減少了學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難，使得學(xué)生可以觸類旁通，舉一反三。例如：

命題與數(shù)學(xué)函數(shù)的類比。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)是由自變量加上數(shù)學(xué)運算符組合而成，自變量取定一個常量后，代入函數(shù)可以計算出該函數(shù)的函數(shù)值，并且每個函數(shù)的自變量都有一定的定義域。命題公式的定義與數(shù)學(xué)上的函數(shù)十分相似，命題公式有命題變元加上命題聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，命題變元取定某個命題常元代入命題公式即可得到一個公式的真值，每個命題公式都有一定的論語，即命題變元的取值范圍。將新的知識與以學(xué)過的知識類比，有利于學(xué)生更好的掌握。

命題邏輯與謂詞邏輯的類比。命題邏輯和謂詞邏輯的體系機(jī)構(gòu)非常相似，都是先介紹公式的定義：命題公式和謂詞公式，再介紹公式的性質(zhì)：永真蘊含公式、邏輯等價公式等，然后介紹公式的范式：命題邏輯中的析取范式、合取范式和謂詞邏輯中的前束范式，最后介紹推理過程。講解時從體系結(jié)構(gòu)上類比，可以促進(jìn)學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的整體把握。

命題邏輯與集合論的類比。命題邏輯和集合論中的很多內(nèi)容可以類比。例如，(1)命題聯(lián)結(jié)詞否定(not;)、合取(∧)、析取(∨)與集合運算補集(ˉ)、交集(∩)、并集(∪)的定義類比；(2)命題公式的邏輯等價公式與集合運算的性質(zhì)類比，如命題邏輯的DeMorgan公式：

形式上非常相似，在課堂講學(xué)時，可以把這些相似的內(nèi)容列成一張表格，讓學(xué)生對比著理解記憶；(3)在命題邏輯中每個命題公式都可以構(gòu)造一個與之等價的主析取范式(由合取式的析取構(gòu)成)，而在集合運算表達(dá)式中我們也可以構(gòu)造類似的由集合的交、并、補運算構(gòu)成的范式(由交集的并構(gòu)成)。

圖與二元關(guān)系的類比。一個二元關(guān)系可以用關(guān)系圖和關(guān)系矩陣的方式來表示，圖論中圖本質(zhì)上就是一個二元關(guān)系，表示了圖中各個頂點之間的關(guān)系，因此圖也可以用矩陣來表示(鄰接矩陣)。這樣圖論中關(guān)于路徑和循環(huán)的概念和性質(zhì)也可以反過來解釋二元關(guān)系合成時所碰到的循環(huán)重復(fù)的問題。

二元關(guān)系性質(zhì)的類比。二元關(guān)系有五種性質(zhì)：自反性、反自反性、對稱性、反對稱性和傳遞性。除了給出各個性質(zhì)在關(guān)系圖和關(guān)系矩陣中的特點以外，筆者還給出了兩方面的類比。第一，滿足某種性質(zhì)的二元關(guān)系R和S，如果經(jīng)過某種運算(交、并、補運算)后還是否滿足原來的關(guān)系，這個對比可以形成一個表格(如表1)讓學(xué)生一一判斷。把二元關(guān)系的性質(zhì)理解透了，后面再理解二元關(guān)系閉包的概念和性質(zhì)就簡單多了。

第二，除了給出各個性質(zhì)的定義外，再根據(jù)二元關(guān)系的運算給出各個性質(zhì)判斷的充分必要條件，如：設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，則：

其中： 表示空關(guān)系， 表示恒等關(guān)系，讓學(xué)生在證明各個充分必要條件的同時，更深刻地理解判斷性質(zhì)的方法。

二元關(guān)系閉包的類比。二元關(guān)系的閉包是學(xué)生覺得比較難學(xué)理解的內(nèi)容，閉包分成三種：自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包，首先可以將它們的定義作一個類比，三者定義都是包含原關(guān)系的，滿足某種性質(zhì)(自反、對稱、傳遞)的最小的二元關(guān)系。其次，對于二元關(guān)系閉包的求法作類比，用集合法、關(guān)系矩陣法和關(guān)系圖法三種方法對比著求一個關(guān)系的三個閉包，加深學(xué)生對閉包概念的理解。

2.5舉例趣味問題和小故事

離散數(shù)學(xué)是一門“離散”的數(shù)學(xué)課，其中有很多的公理、定理、公式，而這些定理往往建立在一大堆的數(shù)學(xué)概念之上。如果每次講課時老師總是先給基本概念，然后給出定理、公式，那么整個課堂就會非常枯燥乏味，這也是很多學(xué)生覺得離散數(shù)學(xué)難學(xué)的一個重要原因。在講課過程中適當(dāng)插入一些趣味問題和小故事，這樣可以讓學(xué)生了解所學(xué)知識的實際應(yīng)用背景，提高學(xué)習(xí)興趣。尤其在對離散數(shù)學(xué)的各部分作概述介紹時，多舉例子有助于學(xué)生從整體上了解這部分知識的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用，這樣避免出現(xiàn)學(xué)生學(xué)過的東西卻不知道如何使用、在什么地方使用的尷尬局面。筆者就經(jīng)常在介紹一個知識點之前，先舉一些實例來說明這些知識的應(yīng)用背景或發(fā)展歷史，從而達(dá)到激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效果的目的。例如：

在介紹離散數(shù)學(xué)概述時，列舉在計算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的離散現(xiàn)象來解釋離散數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性。

在介紹數(shù)理邏輯時，首先拋出一個觀點：學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯就相當(dāng)于做一次大腦體操，因為大腦中所有的推理過程和數(shù)理邏輯所研究的推理過程是等價的。并且用“蘇格拉底論證”這個例子作為貫穿整個數(shù)理邏輯部分的線索，在命題邏輯中提出“蘇格拉底論證”，但命題符號化結(jié)果不符合實際情況；在謂詞邏輯中用謂詞對其進(jìn)行符號化；在謂詞推理中證明“論證”的正確性。

在集合論中，用集合的方法給出自然數(shù)的定義，以此來說明集合論在整個數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性。

在圖論中，用哥尼斯堡七橋問題給出歐拉圖的概念；用哈密爾頓環(huán)游世界的問題給出哈密爾頓圖的概念；用三個居民點向三口水井挖水溝，且水溝不能交叉的問題來解釋平面圖的概念；用“人雞狗米”問題來解釋如何用對實際問題建立圖論模型等等。這些有趣的問題正是來源于生活，貼近于生活，學(xué)生對這類問題總是樂于去思考，找出解決問題的方法。

3結(jié)束語

本文分析了離散數(shù)學(xué)課程的特點和目前教學(xué)中的一些難點，并根據(jù)筆者自身的教學(xué)經(jīng)驗，對如何提高離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行了一些有益的探索?？偟膩碚f，要教好離散數(shù)學(xué)這門課，需要任課教師掌握教學(xué)規(guī)律，并且合理組織教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，啟發(fā)學(xué)生思維。同時教師也要在教學(xué)實踐中不斷思索探討，且要經(jīng)常交流，吸取其他老師好的教學(xué)經(jīng)驗，從而改進(jìn)自己的教學(xué)效果，提高自己的教學(xué)質(zhì)量。

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