[摘 要] 本文探討了將GARCH模型與方差-協(xié)方差方法相結(jié)合的VaR風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法，并用VaR風(fēng)險(xiǎn)替代Markiwitz組合投資模型中的方差風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)求解非線性規(guī)劃問(wèn)題，得到最小化股票投資組合VaR風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資策略。

[關(guān)鍵詞] VaR 方差風(fēng)險(xiǎn) Markowitz組合投資模型

一、引言

1993年G30研究小組在《衍生產(chǎn)品的實(shí)踐和規(guī)則》的報(bào)告中首次提出VaR模型，之后在巴塞爾銀行監(jiān)管委員會(huì)和國(guó)際證券委員會(huì)的推動(dòng)下，VaR模型逐漸成為金融風(fēng)險(xiǎn)管理的主流方法。關(guān)于VaR模型在股票組合投資決策中的應(yīng)用，國(guó)外學(xué)者做了大量研究。例如，Alexander，Baptista(2002)對(duì)比研究了均值-方差模型和均值-VaR模型對(duì)于股票組合投資決策的經(jīng)濟(jì)意義。Campbell，Huisman，Koedijk（2001）在VaR模型框架下研究了最優(yōu)證券組合投資問(wèn)題。Consigli(2002)應(yīng)用均值-VaR模型研究了不穩(wěn)定金融市場(chǎng)中的證券投資組合選擇問(wèn)題。

關(guān)于VaR模型在金融風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量和管理中的應(yīng)用，我國(guó)學(xué)者也作了一些研究。例如，戴國(guó)強(qiáng)、徐龍炳、陸蓉(2000)探討了VaR模型對(duì)我國(guó)金融風(fēng)險(xiǎn)管理的借鑒意義及其應(yīng)用方法。寧云才、王紅衛(wèi)(2002)探討了Markowitz投資組合有效邊界的程序化解法。

本文首先探討了基于GARCH模型的股票投資組合VaR風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法，然后將VaR風(fēng)險(xiǎn)替代Markowitz投資組合模型中的方差風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)求解非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題得到股票投資組合的另一種最優(yōu)投資策略。

二、模型與方法

1.VaR的定義

根據(jù)Jorion的定義VaR指給定置信區(qū)間下金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在持有期內(nèi)的最壞預(yù)期損失。若用V表示資產(chǎn)組合在持有期末的價(jià)值，E(V)表示資產(chǎn)組合在持有期末的期望價(jià)值，表示給定置信區(qū)間c下資產(chǎn)組合的最低價(jià)值，則VaR值如(1)式所示。

（1）

其中，V*滿(mǎn)足(2)式所示的條件。

P(V|V>V*)=c 或（2）

其中，f(v)表示持有期末資產(chǎn)組合價(jià)值的概率密度函數(shù)。

計(jì)算VaR需先確定以下三個(gè)因素:資產(chǎn)組合持有期的長(zhǎng)短、置信區(qū)間c的水平和持有期內(nèi)資產(chǎn)組合價(jià)值的分布特征。VaR值計(jì)算通常有三種方法:歷史模擬法、方差-協(xié)方差法和蒙特卡洛模擬法。本文的研究采用方差-協(xié)方差法。

2.計(jì)算VaR值的方差-協(xié)方差方法

假設(shè)投資組合由n只股票組成，記為第i只股票的價(jià)值在投資組合總價(jià)值中所占的比例，并滿(mǎn)足(3)式所示的約束條件。

令S表示投資組合收益率的方差-協(xié)方差矩陣，表示股票投資組合的投資策略向量，則投資組合收益率的方差可由(4)式計(jì)算得到。

(4)

假定資產(chǎn)組合的收益率服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的分位數(shù)進(jìn)一步計(jì)算得到投資組合的VaR值，如(5)式所示。

(5)

其中，表示投資組合的初始投資額，表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在置信水平c下的分位數(shù)。

由于根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的收益率方差不能準(zhǔn)確反映未來(lái)持有期內(nèi)收益率的波動(dòng)性，為克服這一的缺點(diǎn)，本文應(yīng)用GARCH模型對(duì)股票未來(lái)持有期內(nèi)的波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，在波動(dòng)率預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)上計(jì)算投資組合在未來(lái)持有期內(nèi)的VaR值。

3.GARCH模型及其對(duì)股票收益波動(dòng)率的預(yù)測(cè)方法

對(duì)金融時(shí)間序列收益波動(dòng)率的研究一直是金融研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一，1982年Engle提出了ARCH模型，即自回歸條件異方差模型，1986年Bollerslev在此基礎(chǔ)上提出了GARCH模型，即廣義自回歸條件異方差模型，用以對(duì)金融時(shí)間序列收益波動(dòng)率進(jìn)行建模。對(duì)股票收益波動(dòng)率的建模經(jīng)常采用GARCH(1，1)模型，例如宋逢明、江婕(2003)對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)率特征的實(shí)證研究，趙留彥、王一鳴(2004)在對(duì)中國(guó)股市收益率的時(shí)變方差與周內(nèi)效應(yīng)的研究，本文的研究采用GARCH(1，1)模型。

GARCH(1，1)模型的具體設(shè)定如公式(6）、(7)所示。

(6)

(7)

其中，rt表示股票在第t期的收益率，u表示股票收益率的均值，εt表示第t期股票收益率偏離均值的殘差，σt表示第t期股票收益的波動(dòng)率。α0 、α1和β為待估參數(shù)。

GARCH(1，1)模型實(shí)際上包含了一個(gè)遞推公式。根據(jù)rt和公式(6)可計(jì)算得到εt ，將εt 和σt代入公式(7)，可對(duì)σt+1進(jìn)行預(yù)測(cè)，依次類(lèi)推。預(yù)測(cè)使用的第一期的收益波動(dòng)率通常由歷史波動(dòng)率法計(jì)算得到。

4.基于VaR的最優(yōu)股票組合投資策略

令Θ表示投資組合各成分股票收益率的相關(guān)系數(shù)矩陣，s表示由各成分股票收益率方差預(yù)測(cè)值構(gòu)成的列向量，其中收益率方差的預(yù)測(cè)值由GARCH模型得到，則投資組合在預(yù)測(cè)期內(nèi)收益率的方差可由(8)式計(jì)算得到。

（8）

在股票收益率服從正態(tài)分布的假定下，將代入公式(5），可計(jì)算出投資組合的VaR值。將投資組合的VaR風(fēng)險(xiǎn)值替代Markowitz組合投資模型中的方差風(fēng)險(xiǎn)值，可得下述非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。

(9)

(10)

求解上述非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，可得到最小化投資組合VaR風(fēng)險(xiǎn)值的最優(yōu)投資策略向量和最優(yōu)投資組合的VaR值。

三、實(shí)證算例

本文選取上海證券交易所上市交易分屬不同行業(yè)的6只股票構(gòu)成樣本股票投資組合，這6只股票的名稱(chēng)見(jiàn)表1。本文收集了上述股票2006年9月7日至2007年4月30日的日收盤(pán)數(shù)據(jù)，根據(jù)日收益率數(shù)據(jù)應(yīng)用Eviews5.0軟件估計(jì)各成分股票GARCH模型的參數(shù)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

應(yīng)用GARCH模型預(yù)測(cè)各成分股票在下一個(gè)交易日里的收益波動(dòng)率，預(yù)測(cè)結(jié)果列示于表2。

根據(jù)樣本股票日收益率數(shù)據(jù)可計(jì)算成分股票間收益率相關(guān)系數(shù)矩陣。在給定各成分股票投資比重的條件下，應(yīng)用公式(8)計(jì)算投資組合收益波動(dòng)率的預(yù)測(cè)值， 再根據(jù)公式(5）計(jì)算投資組合在下一個(gè)交易日里的VaR風(fēng)險(xiǎn)值。利用Excel中的規(guī)劃求解功能求解公式(9）、（10)所示的非線性規(guī)劃問(wèn)題，得到各成分股票的最優(yōu)投資比重，求解結(jié)果列示于表2。

為比較上述最優(yōu)投資策略降低投資組合VaR風(fēng)險(xiǎn)值的程度，本文同時(shí)計(jì)算了等比例投資策略下投資組合的VaR風(fēng)險(xiǎn)值，計(jì)算結(jié)果列示于表3。

表3顯示，如果投資者的初始投資為1000000元，則在下一個(gè)交易日里，在5%的置信水平下，最優(yōu)投資組合的最壞損失約為36443元，等比例投資組合的最壞損失約為39748元。在1%的置信水平下，最優(yōu)投資組合的最壞損失約為51462元，等比例投資組合的最壞損失約為56130元。在兩種置信水平下，等比例投資組合的最壞損失均大于最優(yōu)投資組合的最壞損失。

參考文獻(xiàn):

[1]Alexander G. J.Baptista A. M.2002，Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection:A comparison with mean-variance analysis [J]，Journal of Economic Dynamics Control 26，1159～1193

[2]Campbell R.Huisman R.Koedijk K.2001，Optimal portfolio selection in a Value-at Risk framework[J]，Journal of Banking Finance 25，1789～1804

[3]Consigli G.2002，Tail estimation and mean～VaR portfolio selection in markets subject to financial instability [J]，Journal of Banking Finance 26，1355～1382

[4]戴國(guó)強(qiáng) 徐龍炳 陸 蓉:2000，VaR方法對(duì)我國(guó)金融風(fēng)險(xiǎn)管理的借鑒及應(yīng)用[J]，金融研究，第7期

[5]寧云才 王紅衛(wèi):2003，Markowitz組合投資模型的程序化求解方法[J]，數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，第10期

[6]Jorion P.2000，VaR:風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值——金融風(fēng)險(xiǎn)管理新標(biāo)準(zhǔn)[M]，張海魚(yú)譯，中信出版社

[7]宋逢明 江 婕:2003，中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)性特性的實(shí)證研究[J]，金融研究，第4期

[8]趙留彥 王一鳴:2004，中國(guó)股票收益率的時(shí)變方差與周內(nèi)效應(yīng)[J]，世界經(jīng)濟(jì)，第1期

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”