摘要：以有效市場假說為基礎(chǔ)的現(xiàn)代資本市場理論被越來越多的實(shí)踐證明與現(xiàn)實(shí)情況不符，而分形理論考慮到資本市場的復(fù)雜性和EMH的缺陷，以非線性范式為分析基礎(chǔ)，解釋了有效市場理論無法解釋的許多市場現(xiàn)象，為我們更為深入地分析資本市場提供了新的思路和方法。

關(guān)鍵詞：有效市場；非線性；分形市場；R/S分析

一、引言

作為現(xiàn)代金融理論基石的有效市場假說(EMH)，一直是分析資本市場的理論前提。EMH理論認(rèn)為，資本市場的當(dāng)前價格充分反映了所有的公開信息，投資者是理性的，以線性的方式對信息做出反應(yīng)，且資產(chǎn)收益率則是相互獨(dú)立的、呈正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且其波動具有布朗運(yùn)動的特征。然而，近年來國內(nèi)外許多有關(guān)資本市場的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，EMH理論不能解釋資本市場的許多現(xiàn)實(shí)情況，其根本原因是現(xiàn)實(shí)資本市場是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，并不是以EMH理論為基礎(chǔ)的線性范式對信息做出反映，而是非線性反應(yīng)，而且價格收益率并非相互獨(dú)立，其變化并不遵循隨機(jī)游走模式，概率分布近也非正態(tài)分布，而是一種有偏分布，呈現(xiàn)出尖峰、厚尾、有偏等特征。作為研究復(fù)雜系統(tǒng)的分形理論，可以較為準(zhǔn)確地描述資本市場的這種特性。本文對資本市場的分形市場分析進(jìn)行理論探討。

二、EMH理論

有效市場假說(EMH)是由美國的芝加哥大學(xué)的法瑪博士提出的，他于1970年5月在《金融月刊》上發(fā)表了《效率資本市場：對理論實(shí)證工作的評價》，標(biāo)志著EMH的確立。該理論前提是，資本市場上的有關(guān)信息對每個投資者都是均等的，而且每個投資者都能根據(jù)所掌握的信息及時進(jìn)行理性的投資決策，任何投資者都不能獲得超額收益，則資本市場是有效的。因此，有效市場假說理論又稱為隨機(jī)游走理論。根據(jù)所掌握的信息不同，有效市場假說可分為：(1)弱式有效市場假說，價格包含所有的歷史信息，在此情況下，技術(shù)分析無效；(2)半強(qiáng)式有效市場假說，價格不僅包含歷史價格的信息，還包含了所有的公開信息，投資者無法利用基本分析來獲得超額利潤；(3)強(qiáng)式有效市場假說，價格不僅包含了所有的公開信息，還包含了所有可能獲得的有關(guān)信息，在此情況下，任何信息包括‘內(nèi)幕信息’對專業(yè)分析都毫無用處。

EMH理論是現(xiàn)代金融理論的基石，Harry Markowitz的現(xiàn)代證券組合理論、William Sharp的資本資產(chǎn)定價模型、Stephen Ross的套利定價理論、Black-Scholes的期權(quán)定價模型等均在EMH基礎(chǔ)上發(fā)展起來或與之密切相關(guān)，這些理論模型建立在如下基礎(chǔ)上：(1)理性投資者。投資者追求均值-方差有效性，需要在給定風(fēng)險水平上期望收益率最高的資產(chǎn)，方差是有限的，能有效度量投資風(fēng)險。(2)價格反映了所有公開信息，價格的變化相互獨(dú)立，對未來價格變化是不可預(yù)測的，符合馬爾科夫過程。(3)價格收益率遵循隨機(jī)游走，概率分布近似于正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)，其波動具有布朗運(yùn)動的特征。雖然EMH在資本市場中得到廣泛的應(yīng)用，并得到一定的支持，但是，隨著理論的發(fā)展和許多學(xué)者的實(shí)證研究，EMH理論受到了巨大的挑戰(zhàn)。在現(xiàn)實(shí)中，資本市場作為復(fù)雜的相互依賴的系統(tǒng)，理性投資者模型可能并非切合實(shí)際情況，人們并不按理性預(yù)期理論的方式來行事，投資者也許并不知道如何理解已知的信息，而是結(jié)合過去的信息來決定現(xiàn)在的行動，收益率也可能不遵循隨機(jī)游走，概率分布不再近似為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。其中在早期對正態(tài)分布提出了質(zhì)疑的例子很多，如1964年Osborne在繪制股票收益率的概率密度函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)概率密度函數(shù)具有厚尾的特征，即其尾部比正態(tài)分布下的形狀要肥胖。Fama(1965)在對股票日收益率作了實(shí)證研究后發(fā)現(xiàn)，收益率分布呈偏態(tài)，即概率密度曲線的左尾比右尾部有更多的觀測值，故認(rèn)為非正態(tài)分布實(shí)際上能更好地描述股票收益率的變化。因此，在資本市場中存在著許多無法用EMH理論解釋的異象情況下，分形市場假說理論進(jìn)入了資本市場。

三、分形市場分析

(一)分形市場假說(Fractal Market Hypothesis，F(xiàn)MH)

分形市場假說是埃德加.E.彼得斯(Edgar E.Peter1991，1994)提出的，該假說是在有效市場假說解釋現(xiàn)實(shí)的資本市場價格行為走勢出現(xiàn)一定的難于調(diào)和的爭議情況下發(fā)展起來的一種新假說。FMH強(qiáng)調(diào)流通性和投資期限結(jié)構(gòu)對投資者市場行為的影響，目的在于給出更加符合實(shí)際情況的描述投資者行為和資本市場價格運(yùn)動的模型。FMH認(rèn)為市場存在著為交易提供了穩(wěn)定的、流通的環(huán)境，投資者希望買或賣個好價格，但未必是經(jīng)濟(jì)意義上的‘公平’價格，當(dāng)市場有許多具有不同投資期限的投資者參與時，保證了市場的流動性，使得市場處于穩(wěn)定狀態(tài)。因?yàn)椴煌顿Y期限的投資者承擔(dān)相同的風(fēng)險水平，所以，不同期限尺度上的收益率具有類似的頻率分布，即時間尺度上的不變性或稱為自相似。當(dāng)所有投資者的投資期限相同時，市場將出現(xiàn)價格序列變化的不連續(xù)性，在高斯假定(即正態(tài)性假定)的情況下，巨大的變化是由許多細(xì)小的變化累加而成的，然而，在市場出現(xiàn)恐慌時，價格經(jīng)常出現(xiàn)巨大的跳躍，這種不連續(xù)性，導(dǎo)致巨大的變化和收益率分布的肥尾現(xiàn)象。

(二)R/S分析(the range over standard deviation，重標(biāo)極差分析)

R/S分析是英國著名的水文學(xué)家赫斯特(H.E.Hurst，1990-1978)提出的，它為分形市場假說提供了有力的分析工具。在R/S分析中，Hurst指數(shù)(H)可用來估計時間序列的分形維以及持久性或反持久性的程度，其滿足下列關(guān)系式：

R/S=C*NH(1)

其中，R是時間序列的極差，S是時間序列的標(biāo)準(zhǔn)差，R/S是重標(biāo)極差，N是觀察次數(shù)，C是常數(shù)，H是Hurst指數(shù)。

Hurst指數(shù)分為三種類型：

(1)H=0.5時，時間序列是一個隨機(jī)游走，序列中不同時間的值是隨機(jī)的和不相關(guān)的，即現(xiàn)在不會影響將來。

(2)0≤H≤1時，這是一種反持久性的時間序列，常被稱作“均值回復(fù)”。如果一個序列以前是向上走的，那么它在下一個時期多半是向下走，反之亦然。這種反持久性的強(qiáng)度依賴于H離零有多近，越接近于零，這種時間序列就具有比隨機(jī)序列更強(qiáng)的突變性或易變性。

(3)0.5≤H≤1表明一個持久或趨勢增強(qiáng)的序列，即前一個時期序列是向上(下)走的，那下一個時期將繼續(xù)是向上(下)的。趨勢增強(qiáng)行為的強(qiáng)度或持久性隨H接近于1而增加。

為了更直觀地反映現(xiàn)在對于未來的影響程度，Mandelbrot引入相關(guān)性度量指標(biāo)C：

CM=22H-1-1(2)

顯然，隨機(jī)游走序列對應(yīng)的CM值為0，不相關(guān)；反持久性序列對應(yīng)的CM值取值范圍是0≤H≤0.5，負(fù)相關(guān)；持久性序列對應(yīng)的CM值取值范圍是0.5

(三)資本市場的分形分布

分形分布又稱Pareto或Pareto-Levy分布。Pareto在19世紀(jì)末在對收入分布的研究中發(fā)現(xiàn)，除了大約3%的富人收入的分布可以用對數(shù)正態(tài)分布來很好地描述外，其余大部分人的收入分布服從逆冪律，在圖形上會導(dǎo)致一個較胖的尾部。Mandelbrot(1964)指出資本市場收益率服從Pareto分布。Pareto分布在均值處有高峰，也有胖尾的特征。我們知道，正態(tài)分布特征函數(shù)的對數(shù)是

Logf(t)=iut-(σ²/2)t²(3)

式中u為均值，σ²為方差。要表達(dá)高峰和胖尾這種Pareto分布的特征形狀，Levy推廣了概率分布的特征函數(shù)，Pareto分布特征函數(shù)的對數(shù)是

Logf(t)=iδt-γ|t|a(1+iβt|t|tana2π(4)

其中，δ是均值的位置參數(shù)，γ是可以調(diào)整的標(biāo)度參數(shù)，比如在日數(shù)據(jù)與周數(shù)據(jù)之間的調(diào)整。β是偏斜度的度量，-1≤β<1，β=0時，分布是對稱的，β>0時分布是右胖尾或向右偏斜，偏斜程度以β=1時最大，β<0時，情形恰好相反。α既度量分布的尖峰程度也度量分布的胖尾程度，0≤α≤2。當(dāng)α=2時，分布等價于正態(tài)分布，實(shí)際上，令α=2，β=0，γ=δ=1，就得到等式(3)，說明正態(tài)分布是分形分布的特例。當(dāng)1≤α≤2時，方差變得無定義或無限，這是一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家不能接受的，但無限方差是可能的且多半是典型的。當(dāng)0<α<1時，穩(wěn)定的均值不存在，但α落在該區(qū)域很少見，這時的α對應(yīng)于分形布朗運(yùn)動，其特點(diǎn)是長期相關(guān)性和統(tǒng)計自相似性。α是時間序列概率空間的分形維，并且α=1/H(H是Hurst指數(shù))，它度量的是概率密度函數(shù)尾部的肥胖性，但若是指時間序列在時間軌跡的分形維D，則D=2-H，它度量的是時間序列的參差不齊。

分形分布在時間方面有足夠的自相似性。比如每日價格的分布有一個均值m及α=a，那么5天收益率的分布就有均值5m，而仍舊有α=a。一旦作了時間標(biāo)度的調(diào)整，序列的概率分布仍然保持同樣的狀態(tài)。這種序列稱為是標(biāo)度不變的。

Mandelbrot指出分形分布有兩個重要特性。一是分形分布傾向于有趨勢和循環(huán)。實(shí)際上經(jīng)濟(jì)發(fā)展總有周期性，二是無限方差特征群，這些系統(tǒng)容易突然和激烈的逆轉(zhuǎn)。正態(tài)分布認(rèn)為定價是連續(xù)的，而分形分布認(rèn)為在的價格變化可以是不連續(xù)和突然的。不斷有證據(jù)表明股票市場的收益率分布是非正態(tài)的，它總是在均值處有更高的峰和更胖的尾部，很像一個典型的Pareto分布。

四、小結(jié)

從以上分析可知，有效市場是分形市場的一種特殊狀態(tài)(H=0.5或α=2)，雖然EMH理論是資本市場理論的基石，在過去得到了廣泛的應(yīng)用，但是由于它嚴(yán)格的假設(shè)條件使它不能準(zhǔn)確地描述市場的現(xiàn)實(shí)情況。而用分形理論研究資本市場解決了有效市場理論中許多前提假設(shè)的局限性和缺陷，考慮了投資者的非理性預(yù)期以及市場對于信息反應(yīng)的非線性關(guān)系，因此用分形市場理論對資本市場特性的研究更為廣泛和深入。

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(作者單位：石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

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