摘要：本論文對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分類(lèi)：按線(xiàn)性性分，時(shí)間序列可以分為線(xiàn)性時(shí)間序列和非線(xiàn)性時(shí)間序列；非線(xiàn)性時(shí)間序列模型又可分為參數(shù)非線(xiàn)性模型和非參數(shù)非線(xiàn)性模型。并簡(jiǎn)單的介紹了重要的幾個(gè)模型，分析它們的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。闡述了處理不同類(lèi)型的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，要用不同的模型。

關(guān)鍵詞：時(shí)間序列；AR模型；MA模型；ARMA模型；ARCH模型；門(mén)限模型

一、引言

時(shí)間序列模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過(guò)程中既考慮了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在時(shí)間序列上的依存性，又考慮了隨機(jī)波動(dòng)的干擾性，對(duì)于經(jīng)濟(jì)運(yùn)行趨勢(shì)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率較高，是應(yīng)用比較廣泛的方法之一。

以往的經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，往往依靠傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)分析預(yù)測(cè)法或簡(jiǎn)單的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析預(yù)測(cè)法，如相關(guān)分析、回歸分析等。這些方法的優(yōu)點(diǎn)是：簡(jiǎn)便，易實(shí)現(xiàn)；但是缺點(diǎn)也比較明顯，那就是精確度不高。為了提高預(yù)測(cè)精度，人們引進(jìn)線(xiàn)性時(shí)間序列分析方法對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。而且信息技術(shù)以及計(jì)算機(jī)工業(yè)的發(fā)展無(wú)疑給統(tǒng)計(jì)學(xué)家?guī)?lái)更多的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

本文主要介紹線(xiàn)性時(shí)間序列模型和非線(xiàn)性時(shí)間序列模型，下面簡(jiǎn)略介紹這幾種模型：

二、線(xiàn)性時(shí)間序列模型

時(shí)間序列是按照時(shí)間順序取得的一系列觀察值。很多數(shù)據(jù)是以時(shí)間序列的形式出現(xiàn)的：一個(gè)工廠裝船貨物的周度序列，謀化工過(guò)程產(chǎn)出的按小時(shí)觀測(cè)，等等。時(shí)間序列典型的一個(gè)本質(zhì)特征就是相鄰觀察值的依賴(lài)性。若把時(shí)間序列的當(dāng)前觀察值看作過(guò)去時(shí)刻觀察值和當(dāng)前沖擊值與過(guò)去沖擊值的線(xiàn)性函數(shù)，就是所謂的混合的自回歸和滑動(dòng)平均模型：

yt-φt-1yt-1-…-φt-p=at-θt-1at-1-…-θt-qat-q(1)

使用后移算子記號(hào)，則上式可寫(xiě)成

(1-φ₁B-…-φpBp)yt=(1-θ₁B-…-θqBq)at

其中Bmyt=yt-m，令φ(B)=1-φ₁B-…-φpBp，θ(B)=1-θ₁B-…-θqBq，at獨(dú)立同分布于期望為0，方差為σ²的正態(tài)分布(高斯分布)，簡(jiǎn)記為at~iidN(o，σ²)下面的記法雷同。

則(1)式可以寫(xiě)成

φ(B)yt=θ(B)at(2)

上述模型(1)簡(jiǎn)稱(chēng)為線(xiàn)性平穩(wěn)模型ARMA(p，q)模型。

若(1)式中的q=0，則模型變?yōu)?/p>

yt-φ₁(yt-1-…-φpyt-p=at(3)

該模型稱(chēng)為p階自回歸模型，簡(jiǎn)稱(chēng)AR(p)模型。

若(1)式中的p=0，則模型變成

yt=at-θqat-1-…-θq(at-q(4)

該模型稱(chēng)為q階的滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)稱(chēng)MA(q)模型。不難看出，AR(p)和MA(q)模型是ARMA(p，q)模型的特例。

利用上述模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，若不滿(mǎn)足，要對(duì)序列進(jìn)行差分。當(dāng)序列滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件后，就可以對(duì)序列進(jìn)行模型識(shí)別，然后是確定階數(shù)，接著就是在某個(gè)準(zhǔn)則下求出參數(shù)的估計(jì)值，把參數(shù)的估計(jì)值求出來(lái)后，還要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，若模型通過(guò)了檢驗(yàn)，我們就可以利用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)了。

從Yule(1927)關(guān)于太陽(yáng)黑子數(shù)的AR建模的開(kāi)拓性工作到Box和Jenkins(1970)標(biāo)志著ARMA建模的理論和方法成熟的工作，線(xiàn)性高斯時(shí)間序列模型研究得到極大的發(fā)展，支配著理論探索和實(shí)際應(yīng)用。雖然最初的ARMA框架已經(jīng)被推廣到包括具有結(jié)合分式的ARMA的長(zhǎng)范圍相依(Granger和Joyeux1980以及Hosking1981)，多變量VARMA和VARMAX模型(Hannan和Deistler1988)，利用協(xié)整(co-integration)所得的隨機(jī)游動(dòng)非平穩(wěn)性(Engle和Granger1987)，但是，ARMA建模長(zhǎng)達(dá)四十年的持續(xù)普及足以說(shuō)明這一點(diǎn)。毫不夸張地說(shuō)，由于其簡(jiǎn)單性、可行性和靈活性，ARMA模型及其變種在將來(lái)仍將在分析時(shí)間序列中繼續(xù)發(fā)揮積極的作用。

然而，早在上世紀(jì)50年代，P.A.P.Moran在對(duì)加拿大山貓數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的經(jīng)典文章(Moran1953)中就暗示了線(xiàn)性模型的局限性。他注意到了數(shù)據(jù)中的“怪異”特征，即大于均值的樣本點(diǎn)的殘差顯著地小于那些小于均值的樣本點(diǎn)的殘差。正如現(xiàn)在知道的那樣，這正好能夠解釋為在種群波動(dòng)的不同階段有所謂的“控制效應(yīng)”(Tong1990的§7.2；Stenseth等1990).建?？刂菩?yīng)或者含別的非標(biāo)準(zhǔn)特征的模型超出了高斯時(shí)間序列模型的范圍。由此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家想用非線(xiàn)性模型代替線(xiàn)性模型。

三、非線(xiàn)性時(shí)間序列模型

線(xiàn)性范圍之外，尚有無(wú)窮多的非線(xiàn)性形式有待挖掘。非線(xiàn)性時(shí)間序列分析的早期發(fā)展的重點(diǎn)是在各種非線(xiàn)性參數(shù)模型。成功的例子包括金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)波幅性的ARCH模型和生態(tài)及經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的門(mén)限模型。另一方面，非參數(shù)回歸方法的最新發(fā)展為建模非線(xiàn)性時(shí)間序列提供了另一種手段。這種方法的一個(gè)既得的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)模型結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息要求很少，而且為進(jìn)一步的參數(shù)擬合提供有用的感性認(rèn)識(shí)。此外，近幾年來(lái)隨著計(jì)算能力的增強(qiáng)，存取和試圖分析海量的和復(fù)雜的時(shí)間序列數(shù)據(jù)已變成平凡之事。隨著這些變化而來(lái)的是對(duì)那些能夠識(shí)別內(nèi)在結(jié)構(gòu)和按照新的精度標(biāo)準(zhǔn)預(yù)報(bào)將來(lái)的非參數(shù)和半?yún)?shù)分析工具的需求日益增大。對(duì)時(shí)間分布過(guò)長(zhǎng)的大的實(shí)際數(shù)據(jù)集合，參數(shù)模型的有效性總是值得懷疑的。所有這些因素導(dǎo)致了通過(guò)探索局部低維結(jié)構(gòu)來(lái)識(shí)別復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)輔助方法的迅速發(fā)展。下面簡(jiǎn)單介紹幾個(gè)非線(xiàn)性時(shí)間序列模型：

1.ARCH模型

自回歸條件異方差(ARCH)模型定義如下

Xt=σtεt，和α²t=a₀+b₁X²t-1+…+bqX²t-q(5)

其中a₀≥0，bj≥0，{εt}~iidN(0，1)

ARCH模型由Engle(1982)為建模英國(guó)的通貨膨脹的預(yù)報(bào)方差而引進(jìn)。從此這個(gè)模型被廣泛地用來(lái)建模金融和經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的波動(dòng)率，或者用于建模一般時(shí)間序列變化的(條件)方差或波動(dòng)性。時(shí)間序列較大的值可能導(dǎo)致較大的不穩(wěn)定性(即大的方差)，這一現(xiàn)象經(jīng)常在經(jīng)濟(jì)和金融中發(fā)現(xiàn)。這種現(xiàn)象稱(chēng)為(條件)異方差性。

Bollerslev(1986)通過(guò)下式代替(5)的第二個(gè)方差而引進(jìn)了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型

σ²t=a₀+a₁σ²t-1+…+apσ²t-p+b₁X²t-1+…+bqX²t-q(6)

其中aj≥0，bj≥0。

2.門(mén)限模型

由H.Tong提出的門(mén)限自回歸(Tar)模型假定在狀態(tài)空間的不同區(qū)域，模型有不同的線(xiàn)性形式。狀態(tài)空間的劃分通常由一個(gè)門(mén)限變量來(lái)描述，比如，對(duì)某個(gè)d≥1，Xt-d就是一個(gè)門(mén)限變量。模型具有如下的形式

d≥1，Xt=b(i)₀+b(i)₁Xt-1+…+b(i)pXt-p+ε(i)t，若Xt-d∈Ωi(7)

對(duì)i=1，2，…，k，其中{Ωi}構(gòu)成理論實(shí)直線(xiàn)的一個(gè)(不重疊的)分割，{ε(i)t}~iidN(0，σ²i)。

最簡(jiǎn)單的門(mén)限模型是Ω₁={Xt-d≤τ}的兩段(即k=2)TAR模型，其中門(mén)限τ是未知的。

該模型的成功部分地在于它的模型擬合，也許更重要的是在模型解釋這兩方面的簡(jiǎn)單性。通過(guò)分割狀態(tài)空間建模非線(xiàn)性，平穩(wěn)性可以被保持。這明顯地不同于變點(diǎn)模型，后者的控制開(kāi)關(guān)按時(shí)間發(fā)生，其結(jié)果導(dǎo)致非平穩(wěn)過(guò)程。TAR模型的缺點(diǎn)是，關(guān)于該模型的知識(shí)仍處于發(fā)展中，我們還沒(méi)有像線(xiàn)性ARMA模型那樣的全面的理論和方法。

3.非參數(shù)自回歸模型

非線(xiàn)性時(shí)間序列有無(wú)窮多的可能形式。我們不能抱有一個(gè)特殊模型族將會(huì)很好地適合我們數(shù)據(jù)的想法。一個(gè)自然的替代想法是采用非參數(shù)的方法。一般地，我們可以假定

Xt=f(Xt-1，…，Xt-p)+σ(Xt-1，…，Xt-p)εt(8)

其中f(·)和σ(·)是未知函數(shù)，{εt}~iidN(0，1)。對(duì)于函數(shù)f和σ，我們不規(guī)定具體形式，而僅作一些定性的假定，比如假定f和σ是平滑的。模型(8)稱(chēng)為非參數(shù)自回歸條件異方差(NARCH)模型，如果σ(·)是常數(shù)，則稱(chēng)為非參數(shù)自回歸(NAR)模型。

顯然，模型(8)是非常一般的，且對(duì)如何生成數(shù)據(jù)所做的假定非常之少。它允許異方差性。然而，僅當(dāng)p=1或2時(shí)，這個(gè)模型是有用的。對(duì)適當(dāng)大的p，這樣一個(gè)有“飽滿(mǎn)”的非參數(shù)形式的函數(shù)很難估計(jì)，除非樣本容量是天文數(shù)字。困難是“本質(zhì)的”，在非參數(shù)回歸中常稱(chēng)為“維數(shù)禍根”。

四、總結(jié)

自從1970年Box和Jenkins在ARMA框架內(nèi)系統(tǒng)建立時(shí)間序列分析后，線(xiàn)性高斯時(shí)間序列模型研究得到極大的發(fā)展，支配著理論探索和實(shí)際應(yīng)用。由于其簡(jiǎn)單性、可行性和靈活性，ARMA模型及其變種在將來(lái)仍將在分析時(shí)間序列中繼續(xù)發(fā)揮積極的作用。然而，自然界的很多現(xiàn)象是以非線(xiàn)性的狀態(tài)存在的，若用線(xiàn)性模型描述非線(xiàn)性現(xiàn)象，則會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，這個(gè)就是線(xiàn)性模型的局限性。因此，提出非線(xiàn)性模型成為必要。

與重點(diǎn)在于給條件一階矩建模的傳統(tǒng)時(shí)間序列分析不同的是，ARCH和GARCH模型主要是考慮條件二階矩的相依性的建模。這很有希望適應(yīng)解釋和建模兼容時(shí)間序列的風(fēng)險(xiǎn)和不確定性方面日益增長(zhǎng)的要求。

對(duì)于TAR模型，雖然還沒(méi)有全面的理論和方法，但是該模型在模型擬合和模型解釋這兩方面的簡(jiǎn)單性，也使得該模型在時(shí)間序列預(yù)測(cè)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列預(yù)測(cè)領(lǐng)域中起到重要作用。

至于非參數(shù)模型，雖然它的理論方法更不完善，但是因?yàn)榉菂?shù)方法對(duì)如何生成數(shù)據(jù)所做的假定非常少，而且還允許異方差性。因此，該方法具有很大的應(yīng)用潛力。

本文簡(jiǎn)單介紹了幾個(gè)重要的時(shí)間序列模型，而這些模型都是基于隨機(jī)假設(shè)前提下的，事實(shí)上，還有基于混沌假設(shè)前提下的時(shí)間序列預(yù)報(bào)，由于篇幅關(guān)系在本論文沒(méi)有作詳細(xì)介紹。

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(作者單位：華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院)

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