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        方程助你求角度

        2008-12-24 05:48:34
        關(guān)鍵詞:補角三角板平分

        劉 頓

        學(xué)習(xí)了角的知識以后,我們就會經(jīng)常遇到求解有關(guān)角的大小的問題,有些同學(xué)雖然已經(jīng)掌握了角的有關(guān)概念,但還是難以下筆.事實上,對于一些比較復(fù)雜的角的計算問題,若能適當(dāng)引入未知數(shù),巧妙地運用方程,往往會使求解變得簡捷.現(xiàn)舉例說明.

        例1 一個角的補角是這個角的余角的4倍,求這個角的大小.

        分析:題設(shè)條件中既包含補角,又包含余角,這樣就可以綜合運用補角、余角的知識求解.

        解:設(shè)這個角為x°,則這個角的補角為(180-x)°,它的余角為(90-x)°.

        根據(jù)題意,得180-x=4(90-x).

        解得x=60.

        所以這個角是60°.

        說明:互余和互補是角的重要知識,學(xué)習(xí)時一定要注意理解與運用.

        例2 如圖1,BD平分∠ABC,BE將∠ABC分為兩部分,∠ABE ∶ ∠CBE = 2 ∶ 5,∠DBE=21°,求∠ABC的大小.

        分析:已知兩個角的度數(shù)之比,可先設(shè)出這兩個角,再由BD平分∠ABC,可列出方程求解.

        解:設(shè)∠ABE=2x°,∠CBE=5x°,則∠ABC=7x°.

        因為BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.

        根據(jù)題意,得2x+21=5x-21.

        解得x=14.所以∠ABC=14° × 7=98°.

        說明:利用方程研究幾何圖形問題與利用方程解決實際問題一樣,也要從中找到等量關(guān)系.如本題中就是根據(jù)∠ABE+∠DBE=∠CBE-∠DBE來列方程的.

        例3 以∠AOB的頂點O為端點作射線OC,使∠AOC ∶ ∠BOC=5 ∶ 4.

        (1)若∠AOB=18°,求∠AOC與∠BOC的大小.

        (2)若∠AOB=m°,求∠AOC與∠BOC的大小.

        分析:題中顯然沒有明確交待射線OC是在∠AOB的內(nèi)部還是外部,所以必須分情況討論.

        解:(1)分兩種情況.

        若射線OC在∠AOB的外部,可設(shè)∠AOC=5x°,∠BOC= 4x°,則∠AOB=x°,即x=18.

        所以∠AOC=90°,∠BOC= 72°.

        若射線OC在∠AOB的內(nèi)部,可設(shè)∠AOC=5x°,∠BOC= 4x°,則∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x°,所以9x=18,即x=2.

        所以∠AOC=10°,∠BOC=8°.

        說明:利用方程求解幾何問題時,若題中沒有提供必要的圖形,應(yīng)考慮畫出圖形分情況討論,這樣才能避免錯誤.

        下面有兩道題目供同學(xué)們自己練習(xí):

        1. 已知一個角是它的余角的4倍,求這個角的大小.

        2. 如圖2,△OAB代表含有45°角的三角板,△OCD代表含有30°角的三角板,兩塊三角板的直角頂點重疊在一起.

        (1)若∠DOB ∶ ∠AOD = 2 ∶ 11,求∠BOC的大小.

        (2)若疊合而成的∠BOC=n°(0 < n < 90),則∠AOD的補角與∠BOC的度數(shù)之比是多少?

        (答案在本期找)

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