趙　輝

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)三大函數(shù)之一，與生活聯(lián)系緊密，是每年中招考試的必考內(nèi)容.本文從三個(gè)方面對反比例函數(shù)進(jìn)行總結(jié)，幫助同學(xué)們將知識系統(tǒng)化，夯實(shí)基礎(chǔ)知識，提高解決實(shí)際問題的能力.

一、反比例函數(shù)的基本概念題

例1 （2008年新疆建設(shè)兵團(tuán)）我們學(xué)習(xí)過反比例函數(shù)，例如，當(dāng)矩形的面積S一定時(shí)，長a是寬b的反比例函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式可以寫成a= （S為常數(shù)，S≠0）．請你仿照上例另舉一個(gè)在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實(shí)例，并寫出它的函數(shù)關(guān)系式．

解：三角形的面積S一定時(shí)，三角形的底邊長y是高x的反比例函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式為y= （S為常數(shù)，S≠0）．

注意：將實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題抽象成函數(shù)關(guān)系式時(shí)，一要注意題中所給條件的限制，即自變量的取值范圍；二要清楚哪個(gè)量是自變量，哪個(gè)量是常數(shù)，哪個(gè)量是因變量.

例2 （2008年云南?。┖瘮?shù)y= 中，自變量x的取值范圍是______．

解：要使反比例函數(shù)有意義，必須分母不為0，故x-1≠0，x≠1.

二、確定反比例函數(shù)的解析式

例3 （2008年安徽省）函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，－2），則k的值為（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：將點(diǎn)（1，－2）代入函數(shù)y= ，得-2= ，k=-2.故選D.

例4 （2008年襄樊市）在一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖象如圖1所示.當(dāng)V=10 m3時(shí)，氣體的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為ρ= （V>0）.觀察到函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)（5，2），將其代入反比例函數(shù)ρ= 中，得k=10.

函數(shù)解析式為ρ= （V>0）.將V=10代入ρ= ，得ρ=1，故選D.

注意：（1） 這道題的解題思路是求出函數(shù)解析式，然后利用解析式求密度.這道題雖然簡單，但這種解題思路應(yīng)用很廣.

（2） 這道題圖象只有第一象限一個(gè)分支，說明自變量大于零，列解析式時(shí)不要忘記注明取值范圍.

例5 （2008年寧波市）如圖2，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數(shù)y= 過點(diǎn)A，則k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的邊長為2，可知正方形ABOC的面積為4.

又由反比例函數(shù)中k的幾何意義，可知｜k｜=4.

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象在第二象限，所以k<0，則k=-4.故選D.

三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

例6 （2008年仙桃市）對于反比例函數(shù)y= （k≠0），下列說法不正確的是（）.

A. 它的圖象分布在第一、三象限?搖?搖?搖B. 點(diǎn)（k，k）在它的圖象上

C. 它的圖象是中心對稱圖形?搖?搖?搖D. y隨x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，A，B，C成立，故選D.

例7 已知反比例函數(shù)y= （a≠0）在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小，則一次函數(shù)y=-ax+a的圖象不經(jīng)過（）.

Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限

Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限

解：由反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小，可知a>0，則-a<0.根據(jù)性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象過第一、二、四象限，故選C.

注意：反比例函數(shù)圖象的位置、k值的正負(fù)、函數(shù)的增減性（在每一象限內(nèi)），這三者的關(guān)系是：其中一個(gè)確定，其他兩個(gè)也確定；k>0?圳圖象在一、三象限?圳減函數(shù)；k<0?圳圖象在二、四象限?圳增函數(shù).

四、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例8 （2008年杭州市）為了預(yù)防流感，某學(xué)校用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時(shí)間t（h）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y= （a為常數(shù)），如圖3所示．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題.

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量的取值范圍.

（2） 據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25 mg以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？

解：（1） 將點(diǎn)P3， 代入y= ，解得a= .則y= .

將y=1代入y= ，得t= .反比例函數(shù)的解析式為y= t≥ .

將 ，1代入y=kt，得k= .所求正比例函數(shù)為y= t0≤t< .

（2） 解不等式 <0.25，得t>6.所以至少需要經(jīng)過6 h后，學(xué)生才能進(jìn)入教室.

責(zé)任編輯/趙良河

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。