房延華

菱形是一種特殊的平行四邊形,也是一種近乎“完美”的四邊形,因?yàn)樗哂泻芏嗵厥獾男再|(zhì).如何識(shí)別菱形呢?我們可以從以下幾個(gè)方面考慮.

一?從菱形的定義考慮

例1(2007年·婁底)如圖1,已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,DF∥AB交AC于點(diǎn)F.

(1)試說(shuō)明:AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,試判斷四邊形AEDF的形狀,并說(shuō)明理由.

分析: 由平行四邊形的性質(zhì)容易得出AE = DF.由DE∥AC,DF∥AB,可知四邊形AEDF為平行四邊形,再利用AD平分∠BAC可得出AF = DF,故由定義可判定四邊形AEDF為菱形.

解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四邊形AEDF為平行四邊形.

∴AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形.理由如下.

由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形.

∴∠BAD =∠ADF.

∵ AD平分∠BAC,∠BAD =∠DAF,

∴∠DAF =∠ADF.

∴AF = DF.

∴AEDF為菱形.

例2(2007年·青島)將平行四邊形紙片ABCD按如圖2的方式折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落到點(diǎn)D′ 處,折痕為EF.

(1)求證:△ABE ≌△AD′F.

(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結(jié)論.

分析: 由邊角關(guān)系易證△ABE ≌△AD′F.猜想四邊形AECF是菱形.由軸對(duì)稱性質(zhì)知AE = EC,從而只需再判定四邊形AECF是平行四邊形即可.

解:(1)由折疊的性質(zhì)可知∠D = ∠D′,CD = AD′,∠BCD = ∠D′AE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠B = ∠D,AB = CD,∠BCD = ∠BAD.

∴∠B = ∠D′.AB = AD′.∠D′AE = ∠BAD,即∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.

∴∠1 = ∠3.

∴△ABE ≌△AD′F(ASA).

(2) 猜想四邊形AECF是菱形,證明如下.

由折疊的性質(zhì)可知AE = EC,∠4 = ∠5.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC.∠5 = ∠6.

∴∠4 = ∠6. AF = AE.

∵AE = EC,

∴AF = EC.

又AF∥EC,

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∴四邊形AECF是菱形.

點(diǎn)評(píng):利用定義判定菱形時(shí),一般先證明四邊形是平行四邊形,再利用條件找出一組鄰邊相等.如果已知一組鄰邊相等,則只需讓四邊形為平行四邊形即可.總之,兩個(gè)條件缺一不可.

二?從四條邊的數(shù)量關(guān)系考慮

通過(guò)判定四邊形的四條邊相等,來(lái)說(shuō)明四邊形為菱形.

例3(2007年·巴中)在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 60°.點(diǎn)E?F分別在AB?AC上.把∠A沿著EF對(duì)折,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處,且使ED⊥BC,如圖3.試說(shuō)明四邊形AEDF是菱形.

分析: 由折疊的性質(zhì)和等邊三角形可得出很多相等的邊,所以可利用四邊相等來(lái)證明四邊形AEDF是菱形.由軸對(duì)稱性質(zhì)知AF = DF,AE = DE.從而只需再判定AE = AF即可.

解:由折疊的性質(zhì)可知AF = DF,AE = DE,∠AEF = ∠DEF.

∵∠C = 90°,∠A = 60°,

∴∠B = 30°.

又 ED⊥BC,

∴∠BED = 60°.

∴∠AEF = ∠DEF = (180° - ∠BED) = 60°.

∴△AEF為等邊三角形.AE = AF.

∴AF = DF = AE = DE.四邊形AEDF為菱形.

點(diǎn)評(píng):利用四邊相等證明菱形,一般是利用軸對(duì)稱或三角形全等等知識(shí).另外值得注意的是兩個(gè)全等的等邊三角形可以“拼成”菱形.

三?從對(duì)角線的角度考慮

通過(guò)判定四邊形的對(duì)角線互相垂直平分,來(lái)判定四邊形為菱形.

例4(2006年·張家界)如圖4,已知ABCD的對(duì)角線AC?BD相交于點(diǎn)O.BD繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),交AB?DC于點(diǎn)E?F.

(1)試說(shuō)明:四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多大角度時(shí),四邊形BFDE為菱形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析: 根據(jù)題目的特點(diǎn),本題應(yīng)把握與對(duì)角線有關(guān)的兩個(gè)判定:(1)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形; (2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴OB = OD.AB∥CD.∠OBE = ∠ODF.

又∠BOE = ∠DOF,

∴△BOE ≌△DOF(AAS).OE = OF.又OB = OD,

∴四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°時(shí),四邊形BFDE是菱形.

理由:因?yàn)椤螪OF = 90°,所以EF⊥BD.又因?yàn)樗倪呅蜝FDE是平行四邊形,所以四邊形BFDE為菱形.

點(diǎn)評(píng):通過(guò)對(duì)角線互相垂直平分判定菱形,其實(shí)質(zhì)是先利用對(duì)角線互相平分判定平行四邊形,再利用對(duì)角線垂直判定菱形.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。