盧定波

菱形是特殊的平行四邊形,具有平行四邊形的所有性質(zhì).另外,菱形還具有特別的性質(zhì):菱形的四條邊都相等,對(duì)角線互相垂直,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

例1(2008年·宜賓)如圖1,菱形ABCD中,E?F分別是BC?CD上的點(diǎn),且BE = DF.求證:AE = AF.

證明:由“菱形的四條邊都相等”可知AB = AD.由“菱形對(duì)角相等”可得∠B = ∠D.再由已知BE = DF,運(yùn)用SAS可判定△ABE≌△ADF.從而可證明AE = AF.

點(diǎn)評(píng):解本題主要運(yùn)用了菱形的四條邊都相等和對(duì)角相等的性質(zhì),并結(jié)合全等三角形來證明線段相等.也可連接AC,由SAS證△AEC≌△AFC.

例2(2008年·廣州)如圖2,在菱形ABCD中,∠DAB =60°.過點(diǎn) C作CE⊥AC,且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.求證:AD = CE.

證明:由于AC為菱形的對(duì)角線,可知∠CAB = ∠DAC = 30°.因?yàn)镃E⊥AC,所以∠E = 60°.由AD∥BC,可知∠CBE = ∠DAB = 60° = ∠E,所以BC = CE.再由AD = BC,從而可得AD = CE.

點(diǎn)評(píng):本題還可連接BD,由BD⊥AC知BD∥CE.易知四邊形BDCE為平行四邊形.AD = BD = CE.

例3(2007年·嘉興)如圖3,在菱形ABCD中,不一定成立的是().

A. 四邊形ABCD是平行四邊形

B. AC⊥BD

C. △ABD是等邊三角形

D. ∠CAB = ∠CAD

解析:由菱形的定義,可知菱形也是平行四邊形,故選項(xiàng)A是正確的.由“菱形的對(duì)角線互相垂直”,可知選項(xiàng)B是正確的.由“菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角”,可知選項(xiàng)D也是正確的.由“菱形的四條邊都相等”可知, △ABD是等腰三角形,但對(duì)角線BD與菱形的四條邊不一定相等,因此△ABD不一定是等邊三角形.只有當(dāng)BD與菱形的邊相等時(shí), △ABD才是等邊三角形.因此,選項(xiàng)C不一定成立.

點(diǎn)評(píng):本題要求同學(xué)們能夠熟練地將“文字語(yǔ)言”(定義?性質(zhì)等)結(jié)合具體的圖形轉(zhuǎn)化為“幾何語(yǔ)言”.

例4如圖4,菱形ABCD的周長(zhǎng)為40,點(diǎn) O是兩條對(duì)角線AC?BD的交點(diǎn),且AC ∶ BD = 3 ∶ 4.求AC和BD的長(zhǎng).

解析:由“菱形的四條邊都相等”,可知AB =× 40 = 10.根據(jù)“菱形的對(duì)角線互相垂直平分”,可得∠AOB = 90°,OA = AC, OB=BD.因AC ∶ BD = 3 ∶ 4,所以有OA ∶ OB = 3 ∶ 4.不妨設(shè)OA= 3x,則OB = 4x.在Rt△OAB中,由勾股定理,可知OA2 + OB2 = AB2,即(3x)2 + (4x)2 = 102,解得x = 2.因此OA = 3x = 6, OB = 4x = 8,所以AC = 2OA = 12,BD = 2OB = 16.

點(diǎn)評(píng):求菱形的邊長(zhǎng)或?qū)蔷€長(zhǎng)的問題,都是利用菱形的性質(zhì),在由邊長(zhǎng)和兩條對(duì)角線的一半組成的直角三角形中,運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)(如30°角所對(duì)的邊長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半)或勾股定理求解的.

例5(2008年·大連)如圖5,菱形ABCD和菱形QMNP中,∠NMQ= ∠ABC,點(diǎn)M是菱形ABCD的對(duì)角線AC?BD的交點(diǎn), MN交AD于點(diǎn)F,MQ交AB于點(diǎn)E.試探究ME與 MF有何關(guān)系.請(qǐng)說明你的理由.

解析: ME =MF.理由如下.

過點(diǎn)M分別作MH⊥AB于點(diǎn)H,MR⊥AD于點(diǎn)R,如圖6.

由“菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角”,可知點(diǎn)M在∠BAD的平分線上.又因?yàn)镸H⊥AB, MR⊥AD,可得MH = MR.又∠HME + ∠EMR = ∠HMR = ∠ABC(想想為什么),∠RMF+∠EMR = ∠NMQ = ∠ABC,所以∠HME = ∠RMF.根據(jù)ASA可判定△HME ≌△RMF,所以ME = MF.

點(diǎn)評(píng):本題是一道結(jié)論探究題,運(yùn)用了“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”等相關(guān)知識(shí),是一道綜合性較強(qiáng)的好題.

菱形的性質(zhì)較多,在解題中,要根據(jù)解題的需要,選用菱形的相關(guān)性質(zhì).另外,要注意菱形對(duì)角線與等腰三角形?直角三角形的緊密聯(lián)系.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。