孟　坤

有些求值或確定字母系數(shù)的題，看似與方程組無(wú)關(guān)，但仔細(xì)觀察其特征后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)構(gòu)造方程組來(lái)解會(huì)更加簡(jiǎn)單、方便.現(xiàn)分類舉例如下.

一、利用同類項(xiàng)的定義構(gòu)造方程組

例1 如果單項(xiàng)式-3x2a-by2與x3a+by5a+8b的和仍是單項(xiàng)式，那么這個(gè)和為（）.

A． -x5y2B． -x10y4C． -x10y2D． -x5y2

分析：兩個(gè)單項(xiàng)式的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，說(shuō)明這兩個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng).根據(jù)同類項(xiàng)的定義，可知相同字母的指數(shù)分別相等，由此列出關(guān)于字母a、b 的二元一次方程組.

解：由同類項(xiàng)定義，得2a-b=3a+b，5a+8b=2.解得a=2，b=-1.所以這兩個(gè)單項(xiàng)式分別為-3x5y2和x5y2.由于-3x5y2+x5y2=-x5y2，故選D.

二、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組

例2 已知 |a+b-5|+（2a-b-1）2=0，則（a-b）2 008的值為_(kāi)___.

分析：任意一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和平方都是非負(fù)數(shù).當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.由此得到關(guān)于字母a、b的二元一次方程組.

解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+b-5=0，2a-b-1=0.解得a=2，b=3.

所以（a-b）2 008=（2-3）=（-1）2 008=1.

三、利用函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造方程組

例3 在函數(shù)y=ax2+bx+1中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4；當(dāng)x=-1時(shí)，y=2.則當(dāng)x=時(shí)，y的值為（）.

A． B． C． 2D． 1

分析：把a(bǔ)、b當(dāng)做未知數(shù)，將x=1，y=4及x=-1，y=2分別代入關(guān)系式，即可得到一個(gè)關(guān)于字母a、b的二元一次方程組，進(jìn)而可求出關(guān)系式.

解：由題意，得a+b+1=4，a-b+1=2.解得a=2，b=1.所以函數(shù)關(guān)系式為y=2x2+x+1.

當(dāng)x=時(shí)，y=2x2+x+1=2×2++1=2.故選C.

四、利用方程的定義構(gòu)造方程組

例4 已知2xa+b-3+3ya-2b=-1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則a+3b的值為.

分析：由二元一次方程的定義可知，x、y的次數(shù)應(yīng)均為1，于是可以得到一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組.解這個(gè)方程組，求出a、b的值即可.

解：根據(jù)二元一次方程的定義，得a+b-3=1，a-2b=1.解得a=3，b=1.

所以a+3b=3+3=6.

五、利用方程解的定義構(gòu)造方程組

例5 已知x=1，y=1和x=-1，y=-2是關(guān)于x、y的二元一次方程2ax-by=2的兩個(gè)解，則4a-3b的值為_(kāi)___.

分析： 二元一次方程的解是指適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，所以可把x=1，y=1和x=-1，y=-2分別代入方程2ax-by=2中，即可得到關(guān)于a、b的方程組.

解：將方程的解代入方程，得2a-b=2，-2a+2b=2.解得a=3，b=4.

所以4a-3b=4×3-3×4=0.

六、利用方程組解的定義構(gòu)造方程組

例6 關(guān)于x、y的方程組ax+by=4，bx+ay=5的解是x=2，y=1，則=.

分析：當(dāng)含有字母系數(shù)的方程組的解直接給出時(shí)，可先把給出的解代入原方程組，得到關(guān)于字母系數(shù)的新方程組，然后解這個(gè)新方程組即可.

解：由方程組解的定義，得2a+b=4，2b+a=5.解得a=1，b=2.所以==-3.

七、利用方程組解的關(guān)系構(gòu)造方程組

例7 若關(guān)于x、y的方程組2x+3y=4，3x-2y=2m-3的解滿足x+2y=1，求m的值.

分析：當(dāng)方程組的解滿足一個(gè)確定的關(guān)系式時(shí)，可把方程組中不含字母系數(shù)的方程與這個(gè)關(guān)系式組成新的方程組，求出未知數(shù)的值后，再代入含有字母系數(shù)的方程，從而求出待定字母的值.也可以將解所滿足的關(guān)系式視為一個(gè)方程，與原來(lái)的方程組聯(lián)立，得到一個(gè)三元一次方程組，利用代入消元法等去解.這是最一般的解法.

解：由題意，得2x+3y=4，x+2y=1. 解得x=5，y=-2.把x=5，y=-2代入方程3x-2y=2m-3中，得3×5-2×（-2）=2m-3，解得m=11.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。