宋　波

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題，是數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的一種重要途徑，其主要思想是把問(wèn)題“模型化”、“實(shí)物化”.通過(guò)模型的構(gòu)建，能將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從一種抽象關(guān)系轉(zhuǎn)化成一種具體關(guān)系，因而便于整體性與創(chuàng)造性的處理.而平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、直線的斜率、縱截距、點(diǎn)到直線的距離，圓錐曲線及其性質(zhì)等內(nèi)容是平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，有其特殊的幾何意義，同時(shí)也容易求解，是“數(shù)形”轉(zhuǎn)換的有效途徑.中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多問(wèn)題，用常規(guī)方法較難解決，但通過(guò)構(gòu)造相關(guān)的平面解析幾何模型，凸現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，易于解決.下面筆者就有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分類導(dǎo)析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，起到拋磚引玉的作用.

一、求集合運(yùn)算關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題

例1 設(shè)集合M={(x,y)|y=16-x2},N={(x,y)|y=x+a},若M∩N=I，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 集合M表示圓x2+y2=16在x軸上方的部分，集合N表示平行直線系y=x+a，若M∩N=I，即半圓與直線沒(méi)有公共

點(diǎn)，則構(gòu)造如圖1的模型求解.當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由切線性質(zhì)可求得，a=42，當(dāng)直線過(guò)A(4,0)時(shí)，a=-4，所以a的取值范圍 是(-∞,-4)∪(42,+∞).

點(diǎn)評(píng) 將兩集合之間的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩曲線之間的關(guān)系，借助圖形求解，既簡(jiǎn)單又直觀.

二、求無(wú)理函數(shù)的值域(最值)

例2 求函數(shù)f(x)=1-x2+2x-3的最大值和最小值.

解析 易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1］，設(shè)

u=x,v=1-x2,則u2+v2=1(0≤v≤1)，

函數(shù)變?yōu)閒(x)=v-(-2)u-3,從而函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化成了圓心為O(0，0)、半徑為1的上半圓上的動(dòng)點(diǎn)P(u,v)與定點(diǎn)Q(3,-2)連線的斜率最值，則構(gòu)造如圖2的模型求解.由平面解析幾何知識(shí)可知，A(-1,0),k〢Q=-2-03-(-1)=-12,設(shè)切線BQ的方程為y+2=k(x-3)，即kx-y-3k-2=0，而圓心O(0，0)到半圓的切線BQ的距離為1，即|3k+2|k2+1=1，解得k=-3+34,k=3-34(舍去).

根據(jù)圖2可知，k〣Q≤k㏄Q≤k〢Q,

所以f┆玬ax(x)=k〢Q=-12,

f┆玬in(x)=k〣Q=-3+34.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于形如f(x)=

ax2+bx+c-nx-m的函數(shù)最值(值域)，通過(guò)構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為二次曲線(圓或圓錐曲線上的部分曲線)上的任一點(diǎn)與定點(diǎn)(m,n)連線的斜率最值，借助平面解析幾何知識(shí)求出邊界直線的斜率，使問(wèn)題得以解決.

例3 (2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)求函數(shù)y=x+x2-3x+2的值域.

解析 易知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1，或x≥2}，設(shè)u=x，v=x2-3x+2=(x-32)2-14,則(u-32)2-v2=14(v≥0)，函數(shù)變?yōu)閥=u+v,從而函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成了過(guò)位于橫軸上方的雙曲線上任一點(diǎn)P(u,v)的平行直線l:v=-u+y的縱截距的取值范圍，則構(gòu)造如圖3的模型求解.直線l有三個(gè)邊界位置：過(guò)點(diǎn)(1，0)的l1、過(guò)點(diǎn)(32，0)的l2、過(guò)點(diǎn)(2，0)的l3，由平面解析幾何知識(shí)可知，直線l1的縱截距為1、l2的縱截距為32、l3的縱 截距為2，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,32)∪［2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于形如f(x)=kx+m±ax2+bx+c或f(x)=ax+b±cx+d的函數(shù)值域(最值)，通過(guò)構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為過(guò)二次曲線(圓或圓錐曲線上的部分曲線)上任一點(diǎn)的平行直線的縱截距最值，借助平面解析幾何知識(shí)求出邊界直線的縱截距，使問(wèn)題得以解決.

三、求三角函數(shù)的值域(最值)

例4 求函數(shù)y=玞osθ2玞osθ+1的值域.

解析 令u=玞osθ(-1≤u≤1，且u≠-12)，則原函數(shù)可變?yōu)閥=12v,且v=uu+12，從而函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成了過(guò)線段v=u(-1≤u≤1,且u≠-12)上任一點(diǎn)P(u,u)與定點(diǎn)C(-12，0)連線斜率的取值范圍問(wèn)題，則構(gòu)造如圖4的模型求解.由平面解析幾何知識(shí)可知，v≥k〢C=2,v≤k〣C=23,所以y≤13或y≥1.

例5 求函數(shù)f(x)=1+玸in玿3+玞os玿的最值.

解析 函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為過(guò)單位圓u2+v2=1上任一點(diǎn)P(-玞os玿,-玸in玿)與定點(diǎn)C(3，1)連線斜率的最值，則構(gòu)造如圖5的模型求解.由切線性質(zhì)可求得k〢C=0,k〣C=34，根據(jù)圖5可知，k〢C≤k㏄C≤k〣C，所以f┆玬ax(x)=k〣C=34,f┆玬in(x)=k〢C=0.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于形如f(x)=a玸in玿+bc玸in玿+d或ゝ(x)=猘玸in玿+bc玞os玿+d或f(x)=a玸in玿+b玞os玿+c的三角函數(shù)值域(最值)，通過(guò)構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為過(guò)線段或圓上任一點(diǎn)的動(dòng)直線在邊界位置時(shí)的斜率或縱截距最值，借助平面解析幾何知識(shí)，使問(wèn)題得以輕松解決.

四、求約束條件下二元代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題

例6 若a,b∈R,a2+b2=0，則a+b的范圍是().

(A)［-25,25］

(B)［-210,210］

(C)［-10,10］

(D)［0,10］

解析 令a+b=t，則問(wèn)題變?yōu)檫^(guò)圓a2+b2=10上任一點(diǎn)的平行直線系b=-a+t的縱截距的范圍問(wèn)題，可構(gòu)造如圖6的模型求解.由切線性質(zhì)可求得-25≤t≤25，故選A.

例7 已知f(x)=ax2-c，且-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.

解析 本題的實(shí)質(zhì)是：已知實(shí)數(shù)a,c滿足不等式組-4≤a-c≤-1,

-1≤4a-c≤5.求9a-c的最值，此即線性規(guī)劃問(wèn)題，因此可以用線性規(guī)劃的方法求解.又目標(biāo)函數(shù)為f(3)=9a-c，即c=9a-f(3)，作出可行域，如圖7所示.由圖7可知，目標(biāo)函數(shù)c=9 a-ゝ(3)分別在A、C處取得最小值和最大值.由

4a-c=-1,

a-c=-1得

A(0，1)，由a-c=-4,

4a-c=5得C(3，7)，所以ゝ(3)┆玬in=9×0-1=-1,f(3)┆玬ax=9×3-7=20，故-1≤f(3)≤20.

點(diǎn)評(píng) 此類問(wèn)題既可以用代數(shù)方法解，也可以用平面解析幾何知識(shí)去解，但用平面解析幾何模型求解具有直觀、簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn).

五、解決三角函數(shù)中的求值問(wèn)題

例8 已知玸in獳+玸in(A+B)+玞os(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.

解析 由已知可得(玸in獴+玞os獴)玞os獳+(1+玞os獴-玸in獴)玸in獳-3=0,構(gòu)造直線(玸in獴+玞os獴)x+(1+玞os獴-玸in獴)y-3=0和圓x2+y2=1，顯然點(diǎn)(玞os獳,玸in獳)既在直線上又在圓上，所以圓心(0，0)到直線的距離小于等于半徑，即|0-0-3|(玸in獴+玞os獴)2+(1+玞os獴-玸in獴)2≤1，得玞os獴≥玸in獴,又B∈［π4,π］，所以玞os獴≤玸in獴,得玞os獴=玸in獴，故B=π4.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)各量關(guān)系不明確的問(wèn)題，創(chuàng)造性地構(gòu)造與之相關(guān)的平面解析幾何模型，凸現(xiàn)各元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了.

六、求含參方程的有解問(wèn)題

例9 已知|x|=ax+1有一個(gè)負(fù)根，而且無(wú)正根，那么a的取值范圍是().

(A)a>1 (B)a=1

(C)a≥1 (D)非上述答案

解析 分別作出折線y=|x|和直線l:y=ax+1的圖象，當(dāng)a=1時(shí)，得l1與y=x平行且與y=|x|交點(diǎn)在第二象限，如圖8所示，直線l繞定點(diǎn)P(0，1)轉(zhuǎn)動(dòng)且?jiàn)A在l1與y軸之 間時(shí)滿足題意，此時(shí)a≥1，故選C.

例10 (1989年全國(guó)高考題)當(dāng)k在什么范圍取值時(shí)，方程玪og璦(x-ka)=玪og゛2(x2-a2)有解.

解析 原方程等價(jià)變形為：x-ka=x2-a2(a>0且a≠1)，分別作出平行直線系y=x-ka(y>0)與雙曲線y=x2-a2(y>0)的圖形，如圖9所示，直線與雙曲線要有交點(diǎn)，應(yīng)滿足：-ka>a或-a<-ka<0，即k<-1或0

點(diǎn)評(píng) 含參方程的有解問(wèn)題是一類比較復(fù)雜的問(wèn)題.用代數(shù)方法，一方面所涉及的情形較為多樣，另一方面，過(guò)程和運(yùn)算又可能很煩瑣，需分類討論.構(gòu)造相應(yīng)的平面解析幾何模型，可能會(huì)直觀明了，大大減少運(yùn)算步驟和解題量.

七、證明不等式

例11 求證：

x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

解析 因x2-2x+5=

(x-1)2+(0-2)2可看作點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1，2)的距離，x2-4x+5=(x-2)2+(0-1)2可看作點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)B(2，1)的距離，于是對(duì)此問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為求證x軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x,0)與兩定點(diǎn)A(1，2)、B(2，1)距離差的絕對(duì)值小于等于2，則構(gòu)造如圖10的模型求解.利用三角形兩邊之差小于第三邊知，﹟|PA|-|PB||≤|AB|=2，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(3，0)，即x=3時(shí)，上式取等號(hào)，所以x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于涉及x2+px+q±

x2+mx+n或x4+px2+qx+r±

x4+mx2+nx+k形式的不等式證明問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x軸或拋物線上)與兩定點(diǎn)距離和(差)的最值，利用三角形三邊關(guān)系定理證得.

例12 設(shè)x,y,z為實(shí)數(shù)，且0

解析 只需證玸in玿玞os玿+玸in珁玞os珁+玸in珃玞os珃<π4+玸in玿玞os珁+玸in珁玞os珃，則構(gòu)造平面解析幾何模型求證，如圖11所示，A(玞os玿,玸in玿),B(玞os珁,玸in珁),C(玞os珃,玸in珃)為單位圓x2+y2=1上三點(diǎn)，設(shè)圖中三個(gè)矩形面積分別為S1，S2，S3，則玸in玿(玞os玿-玞os珁)+玸in珁(玞os珁-玞os珃)+玸in珃玞os珃=S1+S2+S3<π4，所以原不等式成立.

點(diǎn)評(píng) 如能充分挖掘三角問(wèn)題中所具有的圖形特征，正確有效地構(gòu)造平面解析幾何模型，明確反映各量之間的關(guān)系，就能準(zhǔn)確快速地作出解答.

八、解含參不等式

例13 解關(guān)于x的不等式x2+4≤2+ax(a>0).

解析 因?yàn)閥=x2+4表示雙曲線y2-x2=4的上半支，y=ax+2表示過(guò)定點(diǎn)(0，2)、斜率為a的直線系，則構(gòu)造如圖12的模型求解.當(dāng)0

例14 關(guān)于x的不等式x

解析 y1=x表示拋物線y2=x在x軸上方的部分，y2=ax+32表示過(guò)定點(diǎn)(0，32)、斜率為a的直線系.

依題意知，當(dāng)4y2，則構(gòu)造如圖13的模型可知，當(dāng)x=4和x=b時(shí)，y1=y2，即4=4a+32和b=ab+32，解得a=18,b=36.

點(diǎn)評(píng) 解含參不等式，用構(gòu)造平面解析幾何模型的方法要比純代數(shù)的方法直觀和簡(jiǎn)練，值得提倡.

九、解三角不等式(組)

例15 解不等式組：12<2玞osθ+玸inθ<1(θ∈R).

解析 考慮到(2玞osθ)24+玸in2θ=1,故可構(gòu)造橢圓模型來(lái)解.

設(shè)x=2玞osθ,y=玸inθ，則原不等式化為x24+y2=1,

12

1+21910

2+195

1-21910

即2-195<玞osθ<0

1+21910<玸inθ<1或

2+1910<玞osθ<45，

1-21910<玸inθ<-35.最后利用正弦線和余弦線可知原不等式的解集為：

(2kπ+π2,2kπ+π-玜rcsin1+21910)∪

(2kπ+玜rcsin1-21910,2kπ-玜rccos45)(k∈Z).

點(diǎn)評(píng) 本題雖可以直接運(yùn)用輔助角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)方法去解決，但構(gòu)造橢圓模型的方法也有其優(yōu)點(diǎn)：直觀.

十、求解含參不等式恒成立問(wèn)題

例16 對(duì)于滿足等式x2+(y-1)2=1的一切實(shí)數(shù)x,y，不等式x+y+c≥0恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是().

(A)(-∞，0］ (B)［2,+∞)

(C)［2-1,+∞)(D)［1-2,+∞)

解析 由題意知：c≥-(x+y)恒成立，令

t=-x-y，由最值原理得：c≥t ┆玬ax,則原問(wèn)題變?yōu)檫^(guò)圓x2+(y-1)2=1上任一點(diǎn)的平行直線系y=-x-t的縱截距的 最值問(wèn)題，構(gòu)造如圖15的模型求解.由切線性質(zhì)可求得，t┆玬ax=2- 1，c≥2-1,故選C.

例17 設(shè)f(x)=x2-2ax+2，當(dāng)x∈［-1,+∞)時(shí)，不等式f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 依題意，原不等式可轉(zhuǎn)化為x2+2≥2a(x+12)對(duì)x≥-1恒成立，則原問(wèn)題變?yōu)椋寒?dāng)x≥-1時(shí)，拋物線y=x2+2的圖像不低于過(guò)定點(diǎn)P(-12，0)的直線系y=2a(x+12)的圖像問(wèn)題，如圖16所示，此時(shí)有兩個(gè)邊界位置：與過(guò)點(diǎn)A(-1,3)的直線PA，拋物線的切線PB，由解析幾何的知識(shí)可得k㏄A=-6,k㏄B=2，于是有-6≤2a≤2,所以-3≤a≤1.

點(diǎn)評(píng) 含參不等式恒成立問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一類常見(jiàn)問(wèn)題，因與最值有關(guān)，有時(shí)可以構(gòu)造平面解析幾何模型來(lái)解決.

綜上，構(gòu)造出合理的平面解析幾何模型解題，是“數(shù)形”轉(zhuǎn)換的有效途徑.一旦運(yùn)用成功， 它呈現(xiàn)的是問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律和數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.具有直觀、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，優(yōu)化了解題過(guò)程，給 人耳目一新的感覺(jué).對(duì)于培養(yǎng)思維的敏捷性和創(chuàng)造性，具有重要的意義.

參考文獻(xiàn)

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”