羅建宇

函數(shù)關(guān)系是變量與變量之間一種特殊的對(duì)應(yīng)、映射與變換，方程是從算術(shù)方法到代數(shù)方法的過(guò)程中尋找等量關(guān)系的一種質(zhì)的飛躍.函數(shù)與方程思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，在各知識(shí)中蘊(yùn)涵著深刻的內(nèi)涵，它是高中數(shù)學(xué)最基本的卻又是最重要的思想方法之一.

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題，方程思想是指從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)來(lái)使問(wèn)題獲解.函數(shù)與方程思想的實(shí)質(zhì)是提取問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)研究數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)量特征，以建立函數(shù)關(guān)系.很明顯，只有在對(duì)問(wèn)題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過(guò)程中，具備深刻、獨(dú)特的思維品質(zhì)，才能構(gòu)造出函數(shù)模型，化歸為方程的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.本文例析函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用.

一、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式可看作定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要.用方程思想處理數(shù)列問(wèn)題，就是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為待定字母的確定，而這些字母的確定又通過(guò)方程(組)的研究來(lái)完成.

例1 若在數(shù)列{a璶}中，a1=15，以后各項(xiàng)由a﹏+1=a璶-23確定，則{a璶}的前 項(xiàng)之和最大.

解析：由題意知，{a璶}是以15為首項(xiàng)，以-23為公差的等差數(shù)列，故S璶=15n+n(n-1)2?(-23)=-13(n-23)2+5293，當(dāng)n=23時(shí)，S璶最大，故答案填23.

也可由a璶=-23n+473得知a璶是n的單調(diào)遞減函數(shù)，所以僅有前若干連續(xù)項(xiàng)為正數(shù)，它們的和為S璶的最大值，由a璶≥0,a﹏+1<0得n=23.

二、函數(shù)與方程思想在三角中的應(yīng)用

例2 已知△ABC三內(nèi)角A，B，C的大小成等差數(shù)列，且玹an獳玹an獵=2+3,又知頂點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)邊c上的高等于43，求△ABC的三邊a,b,c及三個(gè)內(nèi)角.

解析：由題設(shè)玹an獳玹an獵=2+3聯(lián)想到△ABC中的恒等式玹an獳+玹an獴+玹an獵=玹an獳玹an獴玹an獵，于是有玹an獳+玹an獵=玹an獴?(玹an獳玹an獵-1)，又A，B，C的大小成等差數(shù)列，故B=π3,所以玹an獳+玹an獵=3(1+3).

則玹an獳,玹an獵是方程x2-(3+3)x+2+3=0的兩根，不妨令A(yù)

由此得：a=8,b=46,c=43+4.

評(píng)注：本題逆用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，解出角的三角函數(shù)值從而求得相應(yīng)的角與邊的大小.

三、函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

函數(shù)、方程與不等式之間有著密不可分的聯(lián)系，在不等式問(wèn)題中，應(yīng)重視以函數(shù)為橋梁，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，用函數(shù)思想分析，解決問(wèn)題.

例3 求證不等式：x1-2瑇

證明：令f(x)=x1-2瑇-x2(x≠0)，

由f(-x)=-x1-2-x+x2=-x(2瑇-1)2瑇-1+-x2瑇-1+x2=x1-2瑇-x2=f(x),所以f(x)=x1-2瑇-x2是偶函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，2瑇>20，即1-2瑇<0，可知ゝ(x)<0;

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(x)=f(-x)<0,

故當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)=x1-2瑇-x2<0，

即x1-2瑇

評(píng)注：本題運(yùn)用函數(shù)奇偶性證明不等式，說(shuō)明在用函數(shù)方法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意充分利用函數(shù)性質(zhì).

四、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何即用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，其中的曲線解析式看作方程，通過(guò)解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯?，使?wèn)題得以解決.對(duì)于曲線上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參數(shù)之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.上述思想方法在解析幾何中經(jīng)常被使用.

例4 設(shè)雙曲線C：x2a2-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且㏄A=512㏄B.求a的值.

解析：(1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組x2a2-y2=1,

x+y=1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得

(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①

所以1-a2≠0，

4a4+8a2(1-a2)>0.解得0

雙曲線的離心率e=1+a2a=1a+1.

∵062且e≠2,

即離心率e的取值范圍為(62,2)∪(2,+∞).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),

∵㏄A=512㏄B,∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1).由此得x1=512x2.

由于x1、x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2.消去x2，得-2a21-a2=28960,由a>0，所以a=1713.

五、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用

立體幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)、角度、面積及體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.

例5 已知正四面體ABCD，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，幾何中心為O，求∠AOB的大小.

解析：由題意，取△BCD的中心H，連AH，則AH通過(guò)點(diǎn)O且AH⊥面BCD，故AH⊥HB，如圖所示，由正四面體ABCD邊長(zhǎng)為a，

則AB=a，底面△BCD為正三角形，H為其中心，∴BH=33?a，由∠AHB=90°,故△AHB為直角三角形，則AH=63a，O為正四面體幾何中心，設(shè)AO=BO=x，由OH2+BH2=OB2，得(AH-x)2+BH2=x2,即(63a-x)2+(33a)2=x2，解得x=64a.

在△AOB中由余弦定理知

玞os∠AOB=AO2+OB2-AB22AO?OB

=(64a)2+(64a)2-a22?64a?64a=-13,

所以∠AOB=玜rccos(-13)=π-玜rccos13.

六、函數(shù)與方程思想在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用

函數(shù)f(x)=(a+bx)琻(n∈N*)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題.

例6 設(shè)f(x)=(1+x)琺+(1+x)琻(m,n∈N*)展開式中x的系數(shù)和為19，求f(x)中x2項(xiàng)系數(shù)的最小值.

解析：由題意m+n=19，即m=19-n，則f(x)中x2項(xiàng)系數(shù)為C2璵+C2璶=m(m-1)2+n(n-1)2=(n-192)2+3234,由n∈N*，故n=9或n=10時(shí)，f(x)中x2項(xiàng)系數(shù)取最小值，最小值是81.

評(píng)注：通過(guò)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，將x與x2項(xiàng)的系數(shù)表示成m,n的關(guān)系式，進(jìn)而將x2項(xiàng)的系數(shù)轉(zhuǎn)化成m或n的二次函數(shù)，求出定義域?yàn)檎麛?shù)集時(shí)的最小值.

七、函數(shù)與方程思想在概率中的應(yīng)用

函數(shù)與方程思想也是解決概率問(wèn)題的基本思想，結(jié)合題意，引入?yún)⒆兞?，建立目?biāo)函數(shù)或適當(dāng)?shù)姆匠蹋煤瘮?shù)與方程的性質(zhì)可將問(wèn)題解決.

例7 某中學(xué)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組共有10名同學(xué)，其中男生n名(3≤n≤9)，現(xiàn)從學(xué)習(xí)小組中選出3人參加一項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，若至少有一名女生選中的概率為f(n),求f(n)┆玬ax.

解析：由題意f(n)=1-C3璶C310=1-1720n(n-1)(n-2),3≤n≤9,n∈N*,設(shè)g(x)=1-1720x(x-1)(x-2),3≤x≤9，則g′(x)=

-1720［3(x-1)2-1］,由3≤x≤9，有g(shù)′(x)<0，因此g(x)在［3，9］上單調(diào)遞減，故ゝ(n)┆玬ax=f(3)=119120.

評(píng)注：建立滿足題意的目標(biāo)函數(shù)后，利用函數(shù)的研究方法即可將問(wèn)題解決.f(n)的定義域內(nèi)是一些孤立的點(diǎn)，直接求導(dǎo)數(shù)則無(wú)意義，因此構(gòu)造相同的連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后進(jìn)而得到原問(wèn)題的答案.

八、函數(shù)與方程思想在多元問(wèn)題中的應(yīng)用

面對(duì)含二元及二元以上的多元未知問(wèn)題時(shí)往往會(huì)令我們束手無(wú)策，但方程思想為我們指明了一條通往成功的光明大道.

例8 已知x+y+z=0,xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值.

解析：由條件x+y+z=0,xyz=2知，x,y,z三者中必定兩負(fù)一正，不妨設(shè)x<0,y<0,z>0,M=|x|+|y|+|z|，則M=-x-y+z=-(x+y+z)+2z=2z，因?yàn)閤+y=

-z,xy=2z，所以x,y可看作t2+zt+2z=0的兩根，其判別式△=z2-8z≥0，又z>0，可得z≥2，故M=|x|+|y|+|z|≥4，即其最小值為4.

點(diǎn)評(píng)：本題題量不大，但包含的知識(shí)點(diǎn)不少，其中有符號(hào)問(wèn)題，絕對(duì)值問(wèn)題，消元問(wèn)題等，在已知兩數(shù)的和與積時(shí)，一般構(gòu)造一元二次方程來(lái)解決(類似于例2)，本題題設(shè)是等量問(wèn)題，而結(jié)論卻是不等式問(wèn)題，因而利用判別式是很好的橋梁.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>