郭旭炯
圓錐曲線的很多性質(zhì)都和其焦點(diǎn)有關(guān),在此我們不妨稱準(zhǔn)線和對(duì)稱軸交點(diǎn)為準(zhǔn)點(diǎn);以焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線為例,定義點(diǎn)(±m(xù),0)、(±a2m,0)為類焦點(diǎn)、類準(zhǔn)點(diǎn),本文試圖對(duì)它們之間的聯(lián)系作些思考.
定理1 已知圓錐曲線C的焦點(diǎn)為F,A為其對(duì)應(yīng)準(zhǔn)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點(diǎn),R為圓錐曲線C上異于P、Q的點(diǎn),則直線RQ過(guò)準(zhǔn)點(diǎn)A的充要條件是P、R關(guān)于x軸對(duì)稱.
證明:不妨以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例,設(shè)焦點(diǎn)F(c,0),對(duì)應(yīng)準(zhǔn)點(diǎn)A(a2c,0).
若把上述性質(zhì)中的焦點(diǎn)換成類焦點(diǎn),則可以把性質(zhì)推廣到更一般的情形.
定理2 已知圓錐曲線C的類焦點(diǎn)F′,A′為其對(duì)應(yīng)類準(zhǔn)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F′的直線交圓錐曲線C于P、Q兩點(diǎn),R為圓錐曲線C上異于P、Q的點(diǎn),則直線RQ過(guò)類準(zhǔn)點(diǎn)A′的充要條件是P、R關(guān)于x軸對(duì)稱.
略證:不妨以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)為例,設(shè)類焦點(diǎn)F′(m,0),對(duì)應(yīng)類準(zhǔn)點(diǎn)A′(a2m,0),則上述證明過(guò)程中以m代c即證.
參考文獻(xiàn)
[1]陳天雄.一道高考解析幾何試題的引申及推廣.數(shù)學(xué)通報(bào),2002年第6期.
[2]蘇立標(biāo).橢圓的“類準(zhǔn)線”的性質(zhì)初探.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2007年第3期.