王　卜

1 試題統(tǒng)計(jì)分析

隨著國家新課程改革標(biāo)準(zhǔn)對(duì)加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和能力要求的確認(rèn)，在高考中以體現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的應(yīng)用問題，現(xiàn)已成為全國高考試題不可或缺的內(nèi)容，分值基本穩(wěn)定在10％-15％左右，且呈上升趨勢(shì)，然而，從歷年發(fā)布的高考試卷分析中不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用問題一直是難以克服的制造得分率最低問題的“頑疾”.教學(xué)中，如果僅僅靠生搬硬套套題型或猜題、壓題的僥幸，不僅于學(xué)生的實(shí)際能力無補(bǔ)，而且可能會(huì)作繭自縛.在教學(xué)中如何有效培養(yǎng)和提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和建模能力，怎樣把握對(duì)各個(gè)部分知識(shí)考查的要求、明確應(yīng)用問題命題的形式及基本規(guī)律？本文擬在對(duì)部分高考數(shù)學(xué)試題中概率與統(tǒng)計(jì)部分應(yīng)用題分析的基礎(chǔ)上，闡述自己的一些認(rèn)識(shí).以下是近3年的部分高考（理科）概率與統(tǒng)計(jì)部分應(yīng)用問題的統(tǒng)計(jì).

試題出處時(shí)間題量及分值題型知識(shí)背景

全國卷Ⅰ(理科)

20061題；分值：12解答題相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、離散型隨機(jī)變量分布列、期望

20071題；分值：12解答題離散型隨機(jī)變量分布列、期望

20081題；分值：12解答題離散型隨機(jī)變量分布列

全國卷Ⅱ(理科)

20062題；分值：4+12解答題統(tǒng)計(jì)抽樣（分層抽樣）；重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生次數(shù)的概率、離散隨機(jī)變量分布列、期望

20072題；分值：4+12填空+解答題正態(tài)分布；二項(xiàng)分布及隨機(jī)變量分布列

20082題；分值：5+12選擇+解答題古典概率；二項(xiàng)分布及互斥事件概率

廣東卷(理科)

20061題；分值：12解答題離散隨機(jī)變量分布列

20073題；

分值：5+5+12選擇+填空+解答題統(tǒng)計(jì)圖與算法；相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率、線性回歸分析（最小二乘法）

20082題；

分值：5+13選擇+解答題統(tǒng)計(jì)抽樣（分層抽樣）；離散型隨機(jī)變量分布列、期望及應(yīng)用

福建卷

(理科)

20061題；分值：4選擇題古典概率

20071題；分值：4填空題離散型隨機(jī)變量期望

20081題；分值：12解答題相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、離散型隨機(jī)變量分布列、期望

從試題研究中不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用問題的命題至少有以下特點(diǎn)：1、題材的廣泛性，命題的知識(shí)范圍涉及排列組合、概率、統(tǒng)計(jì)、回歸分析等；2、考查的基礎(chǔ)性與靈活性，對(duì)知識(shí)的考查以基本知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，而又不是生搬硬套所能奏效，往往需要學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)深入理解，解法上有很大的靈活性.3、體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)用意識(shí)和建模能力的要求，高考中的應(yīng)用問題現(xiàn)實(shí)背景涉及社會(huì)生活的各個(gè)方面，特別是突出的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如環(huán)保、決策、資源優(yōu)化、災(zāi)害預(yù)測(cè)（評(píng)估）、就業(yè)、保險(xiǎn)、疾病檢測(cè)等，既體現(xiàn)了學(xué)以致用的大眾數(shù)學(xué)教育理念，同時(shí)對(duì)學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力提出了綜合性的測(cè)評(píng)，要求學(xué)生具備一定的建模經(jīng)驗(yàn)和能力，此外，不少試題是源于課本習(xí)題或例題的改編或深化，這些特征，都對(duì)我們?nèi)绾螒?yīng)對(duì)高考以深刻的啟示.

基于以上分析，本文認(rèn)為，應(yīng)用問題的教學(xué)不應(yīng)是權(quán)宜之計(jì)，不是數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的點(diǎn)綴品，切實(shí)提高學(xué)生應(yīng)用能力的關(guān)鍵是，日常教學(xué)中要注重知識(shí)的抽象性與背景回歸的良性結(jié)合，使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)在學(xué)中用、在應(yīng)用中升華.同時(shí)要指出的是，準(zhǔn)確把握高考大綱考試要求，應(yīng)成為我們應(yīng)考的著眼點(diǎn)，例如對(duì)正態(tài)分布，由于在正常條件下，電子產(chǎn)品壽命、零件尺寸、電容器容量、纖維的纖維度等都基本服從正態(tài)分布，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值；相關(guān)分析在情況預(yù)報(bào)、資料補(bǔ)充方面有廣泛的應(yīng)用，雖然尚未在高考中出現(xiàn)，但事實(shí)表明，那些被過去冷落的知識(shí)點(diǎn)，往往可能成為下一次高考命題的突破點(diǎn).我們要在高考大綱的指導(dǎo)下，既有重點(diǎn)又不留死角，這樣才不至于功虧一簣.

2 試題評(píng)析

這部分是新課程改革后歷年考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其考查知識(shí)要點(diǎn)為：加法原理、乘法原理、古典概率計(jì)算、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生次數(shù)的概率、互斥事件至少有一發(fā)生的概率、離散隨機(jī)變量分布列及期望、統(tǒng)計(jì)抽樣、回歸分析、正態(tài)分布等，其特點(diǎn)是形式靈活，填空、選擇、大題均有出現(xiàn)，近幾年的試題中，以隨機(jī)變量的分布列為核心的綜合考查基本是必考大題，常包含互斥事件（至少有一發(fā)生）概率、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.試題通常以考查基礎(chǔ)知識(shí)、綜合應(yīng)用及建模能力為主，有著豐富的時(shí)代背景，充分體現(xiàn)了概率運(yùn)用的廣泛性.

例1 （2006福建卷）在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于（ ）.

分析 該題為古典概率問題，基本公式為：P(A)=mn，其中n為一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，m為事件A的包含的所有結(jié)果.

從排列的角度求m、n，設(shè)A=“從袋中摸3個(gè)球，其中至少摸到2個(gè)黑球”，該事件可分為兩類：一、A1=“摸到2個(gè)黑球1個(gè)白球”，對(duì)應(yīng)把8個(gè)小球排成一排，其中前3個(gè)球?yàn)?黑1白，共有3種形式：黑黑白、黑白黑、白黑黑，則有利與條件的事件總數(shù)為3×5種，而把3黑5白排成一排的種數(shù)為A88A33A55=56種，則摸到2個(gè)黑球的概率為1556；A2=“摸到3個(gè)都是黑球”，對(duì)應(yīng)把8個(gè)球排成一列，前3個(gè)為黑球，則排列方式僅有1種，概率為156，所以至少取到2個(gè)黑球的概率為1556+156=27.（亦可從其互斥事件出發(fā)，考慮前3個(gè)球只摸到1個(gè)黑球與只摸到白球的情形，即得：1556+156=27.）

方法二、從組合的角度求m、n，可將每個(gè)小球編上1-8號(hào)，有利于事件發(fā)生總數(shù)為C23C15+C33,而抽取3個(gè)球的事件總數(shù)為C38,所以事件發(fā)生的概率為C23C15+C33C38=27，

方法三、從每個(gè)球被摸到的可能性考慮，該事件可分為A=“2黑1白”與B=“3黑”，

則

A=38×27×56+38×57×26+58×37×26 =1556,

B=38×27×16=156,

所以事件發(fā)生的概率為1556+156=27（當(dāng)然亦可考慮其對(duì)立事件）.比較而言方法二更加簡(jiǎn)潔，要讓學(xué)生注意總結(jié)，以取到高效的解題模式.

點(diǎn)評(píng) 本題的解法的多樣性正是高考試題的普遍特點(diǎn)，體現(xiàn)了對(duì)乘法原理、加法原理（分類思想）、及排列組合知識(shí)的考查，教學(xué)中需要注重學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，啟發(fā)學(xué)生思維的多樣性，學(xué)會(huì)從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，并獲得最佳的解題途徑的能力.

例2 （2006全國理科Ⅰ）A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B，然后觀察療效.若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為23，服用B有效的概率為12.

（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；

（Ⅱ）觀察3個(gè)實(shí)驗(yàn)組，用ξ表示這3個(gè)實(shí)驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列.

分析 第Ⅰ個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型，由題目對(duì)甲類組的定義設(shè)A=“一個(gè)實(shí)驗(yàn)組中服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用B有效的小白鼠只數(shù)多”,該事件為復(fù)合事件，可分解為兩種情形：A1=“實(shí)驗(yàn)組中服用A藥的小白鼠1只有效另1只無效，而服用B藥的小白鼠都無效（有效為0只）”；A2=“實(shí)驗(yàn)組中服用A藥有效的小白鼠為2只，而服用B藥有效的小白鼠為1只或2只都無效（有效為0只）”.顯然A1、A2為互斥事件，所求問題為

P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2),

P(A1)=2×23×13=49

P(A2)=23×23×12×12+23×23×12×12×2

=13(A2分為2個(gè)互斥事件)，

所以P(A)=P(A1)+P(A2)=49+13=79（當(dāng)然亦可考慮A的對(duì)立事件A,通過P(A)=1-P(A)即可）；

問題Ⅱ，所求問題為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，由Ⅰ容易得到ξ的分布列

ξ0123

P(ξ=i)87295624398243243729

Eξ=0×8729+1×56243+2×98243+243729×3=1485729.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了在正確建?；A(chǔ)上的互斥事件至少有一發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生次數(shù)概率、隨機(jī)變量概率分布列及分類思想，解決問題的關(guān)鍵是理清題意進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立相關(guān)模型，對(duì)所求的復(fù)合事件（由基本的可求概率的事件組成），分拆為幾組互斥事件（可求概率）的和，通過計(jì)算各組互斥事件的概率，從而解決前面的問題.

例3 （2008年全國卷理科Ⅱ）購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)費(fèi)a元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金，假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險(xiǎn)，且投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999104.

（Ⅰ）求一投保人在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；

（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）.

分析 對(duì)保險(xiǎn)知識(shí)的把握很重要，每一險(xiǎn)種是保險(xiǎn)公司在大量的調(diào)查中作出的對(duì)人在正常情況下的遇險(xiǎn)可能性的統(tǒng)計(jì)分析，是一個(gè)總體的概念，即保險(xiǎn)公司在對(duì)一個(gè)人的遇險(xiǎn)可能性作出判斷時(shí)，用的是一個(gè)不變的概率，那么對(duì)本題來說，所有投保人遇險(xiǎn)的概率是被認(rèn)為相同的，這一點(diǎn)可以從（Ⅰ）所問作出判斷，據(jù)此，本題事件對(duì)每個(gè)人說是獨(dú)立的同分布的，一年內(nèi)遇險(xiǎn)發(fā)生人數(shù)的概率即可看作模型為重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)生次數(shù)的概率，保險(xiǎn)公司一年內(nèi)賠付金額M的概率為P（ξ=M104）=CM104104PM104(1-p)104-M104（ξ為一年內(nèi)遇險(xiǎn)人數(shù)），

本題“至少賠償10000元的事件”即“至少1人遇險(xiǎn)事件”，直接考慮顯然不現(xiàn)實(shí)，考慮其對(duì)立事件即“沒有1人遇險(xiǎn)的事件”，P（“至少1人遇險(xiǎn)事件” ）=P(ξ≥1)

=1-P(ξ≤0)=1-C0104p0(1-p)104=1-0.999104，得p=0.001；

（Ⅱ）抽象模型，盈利η=所交保險(xiǎn)金-成本-賠付金=10000a-50000-10000ξ ,所以

Eη=E(10000a-50000-E(10000ξ))

=10000a-50000-E(10000ξ)≥0,

10000a≥10000×10000×0.001+50000,得a≥15,

因此，每人至少交15元保費(fèi).

點(diǎn)評(píng) 本題不僅考查了概率部分（重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)生次數(shù)概率、期望）的知識(shí)，而且把應(yīng)用與不等式相聯(lián)系，綜合考查了學(xué)生建模的能力，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)準(zhǔn)確把握，（Ⅱ）較好地體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的交叉綜合應(yīng)用的考查，在今年的廣東卷（理科）17題、全國卷理科Ⅰ第20題都有體現(xiàn)，很大程度預(yù)示了今后對(duì)這類問題考查的方向，這要求教學(xué)中加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系，加大對(duì)應(yīng)用問題數(shù)學(xué)原形廣度和深度的把握.

例4 （2007年全國理科卷Ⅱ）、在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ

在（0，1）取值的概率為0.4，則ξ在（0，2）內(nèi)的取值概率為（）.

分析 對(duì)正態(tài)分布N(a,σ2)，其圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，因此N(1,σ2)關(guān)于x=1對(duì)稱，顯然，ξ在（0，2）內(nèi)的概率分布圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，需要學(xué)生掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性，正態(tài)分布在高考試題中出現(xiàn)次數(shù)極少且分值不大，容易被復(fù)習(xí)中忽視，鑒于其應(yīng)用價(jià)值，不排除今后對(duì)這類問題考查分量加大的可能，正態(tài)分布的考查，使我們認(rèn)識(shí)到，既要關(guān)注熱點(diǎn)問題，也要對(duì)大綱要求有明確的認(rèn)識(shí)，不能留有死角，如2007年廣東理科17題考查了回歸分析，統(tǒng)計(jì)抽樣（分層抽樣）出現(xiàn)在2006年全國卷理科Ⅱ第16題（填空）、2008年廣東卷理科第3題（填空），在形式上也可能作為綜合題出現(xiàn)在解答題中.

例5 （2008年全國卷Ⅰ理科）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)的結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病，下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明患病的動(dòng)物為這3只中的1只，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

（Ⅰ）求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（Ⅱ）ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望.

分析 （Ⅰ）方案甲、乙的次數(shù)均未確定，由甲方案知，可能的次數(shù)為1、2、3、4次；乙方案比較復(fù)雜，首先需要將3只的一組混合血液化驗(yàn)1次，不可能確定（只能確定患病動(dòng)物在哪組），若檢驗(yàn)呈陽性，則患病動(dòng)物在3個(gè)的組中，可能的化驗(yàn)次數(shù)總共為2、3次；檢驗(yàn)呈陰性，則患病動(dòng)物在2只的一組，總共只需2次，因此乙組的化驗(yàn)次數(shù)可能為2、3次.且以上各檢驗(yàn)次數(shù)的概率為古典概率，現(xiàn)在可以建立事件模型，設(shè)Ai=“甲實(shí)驗(yàn)需要i次確定患病動(dòng)物”（i=1、2、3、4），Bk=“乙方案需要k次確定患病動(dòng)物”（k=2、3），顯然，所求事件為：

(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3) ，其中Ai,Bi為相互獨(dú)立事件，(A2∩B2)、(A3∩B2)、(A4∩B2)、(A3∩B3)、(A4∩B3)為互斥事件，則依次解：

P（(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3)）=P(A2∩B2)+P(A3∩B2)+P(A4∩B2)+P(A3∩B3)+P(A4∩B3)

=P（A2）P（B2）+P（A3）×P(B2)+P(A4)P(B2)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B3)

=15×35+15×35+25×35+15×25 +25×25=1825

（顯然，乙方案所需次數(shù)總體上少于甲方案），對(duì)于Ⅱ其實(shí)只需簡(jiǎn)單計(jì)算即可（略）.

點(diǎn)評(píng) 該題對(duì)模型的建立要求較高，題中沒有具體數(shù)字，所需條件均需通過對(duì)題目的理解獲得，如檢驗(yàn)中各次檢驗(yàn)到患病動(dòng)物的概率，要求學(xué)生根據(jù)平時(shí)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)分析得出判斷，需要較高的抽象水平，其次體現(xiàn)了分類思想的應(yīng)用（加法原理），該方法在解決互斥事件至少有一發(fā)生的概率計(jì)算方面，是一種極為有效的手段.

3 小結(jié)

首先，把握高考對(duì)知識(shí)的目標(biāo)要求是備考的前提，在準(zhǔn)確掌握高考大綱的考試要求后，復(fù)習(xí)才能在有限的時(shí)間內(nèi)做到有的放矢，重點(diǎn)突出 .

其次，從考試趨勢(shì)上看，概率（分布）已作為一項(xiàng)必不可少的考查內(nèi)容（解答題），伴隨的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件至少有一發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等，保持了與往屆試題的連續(xù)性、穩(wěn)定性的特點(diǎn)，并且試題越來越注重對(duì)學(xué)生的建模能力及知識(shí)綜合運(yùn)用的考查力度，知識(shí)交叉考查的趨勢(shì)凸顯（函數(shù)、不等式等），要求學(xué)生有一定的建模經(jīng)驗(yàn)與相應(yīng)的知識(shí)綜合運(yùn)用能力，而其中的應(yīng)用問題建模能力可能是常規(guī)教學(xué)中最為薄弱的環(huán)節(jié)，本文認(rèn)為，加強(qiáng)建模能力水平的過程離不開基本應(yīng)用問題題型的講解與演練，從基本知識(shí)和概念出發(fā)，想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)多角度、多層次的問題情境，讓學(xué)生通過自身練習(xí)，反復(fù)體驗(yàn)建模的基本步驟和方法，才能形成應(yīng)用問題解決的基本思維結(jié)構(gòu)，并逐步形成自己的能力.事實(shí)證明，僅靠單純的知識(shí)講解與演練，而忽視可能的現(xiàn)實(shí)問題情境的處理能力的培養(yǎng)，學(xué)生即使解決數(shù)學(xué)本身問題的能力很強(qiáng)，在解決應(yīng)用問題方面也會(huì)捉襟見肘.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文