葛梅芳

江蘇版高中數(shù)學(xué)選修1-1課本第４５頁(yè)，有這樣一道例題：

已知點(diǎn)P(x, y)到定點(diǎn)Ｆ（c,0）的距離與它到定直線(xiàn)Ｌ：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca(a>c>0),求點(diǎn)Ｐ的軌跡.

解 由題意得（x-c)2+y2|a2c-x|=ca

化簡(jiǎn)得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2,則化為x2a2+x2b2=1(a>b>0)

所以Ｐ點(diǎn)軌跡為橢圓.

從例題可以得到結(jié)論：平面上到定點(diǎn)的距離與它到定直線(xiàn)的距離的比為常數(shù)（小于１的正常數(shù)）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

其實(shí)，古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在失傳的幾何著作《面軌跡》中就已給出這一命題但未證明：

“到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離之比等于給定的比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線(xiàn).當(dāng)給定比小于１時(shí)，它是橢圓；當(dāng)給定比等于１時(shí)，它是拋物線(xiàn)；當(dāng)給定比大于１時(shí)，它是雙曲線(xiàn).”

后來(lái)是亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus, 約公元290-350）給出了如下證明.（注，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家還沒(méi)有提出直角坐標(biāo)系和坐標(biāo)及方程的概念）

古代數(shù)學(xué)家帕普斯對(duì)上述命題的證明：(以橢圓為例)

圖1

如圖1: 設(shè)F為定點(diǎn)，F(xiàn)B為定直線(xiàn)的垂線(xiàn)，P為動(dòng)點(diǎn)，已知PFBN=e （e為常數(shù)，且e<1），求P的軌跡.

分析BN即P到定直線(xiàn)的距離.

解 作PN垂直于FB, 在FB上取點(diǎn)K，使得FNNK=PFBN=e，在NF或其延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)K′，使得NK′=NK (如圖2).于是PF=e·NB，

圖2

FN=e·NK

PN2=PF2-FN2

=e2·NB2-FN2

=e2·NB2-e2·NK2

=e2(NB+NK)·(NB-NK)

=e2·BK′·BK①

設(shè)A和A′是FB上滿(mǎn)足已知條件的點(diǎn)，

即FAAB=FA′A′B=e，則

FAAB=FNNK=FNNK′=FA′A′B=e

所以FA+FNAB+NK=e,即ANAB+NK′=ANBK′-AN=e，所以ANBK′=e1+e

FA′-FNA′B-NK=e, 即A′N(xiāo)BK+A′N(xiāo)=e,所以A′N(xiāo)BK=e1-e,

所以AN·A′N(xiāo)BK′·BK=e21-e2②

由①和②得：PN2AN·A′N(xiāo)=1-e2③

因此，根據(jù)古代數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯已經(jīng)在它的《圓錐曲線(xiàn)》中的定義，可知最后一個(gè)方程表明點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓.

阿波羅尼奧斯是古代的研究圓錐曲線(xiàn)最有名的數(shù)學(xué)家，按照他的結(jié)論：

設(shè)L為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)L作ED的垂線(xiàn)交

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