鐘建華

點(diǎn)，用筆在紙上輕輕地一點(diǎn)就成. 但，你可不能小瞧了這“小不點(diǎn)”，在幾何上它是一種圖形，作用大了去了，而且很有趣. 不信，你瞧：

1 點(diǎn)與三角形

例1 已知，等邊△ABC，在其所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形；這樣的點(diǎn)P，你可以找到多少個(gè)？ネ1

解析 如圖1，不難找到等邊△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)P1——三條對(duì)稱軸的交點(diǎn)；

以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交△ABC的對(duì)稱軸MN于P2、P3點(diǎn)；以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交MN于P4點(diǎn)；

所以，對(duì)稱軸MN上共有4個(gè)點(diǎn)符合要求.

等邊△ABC共有3條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸上都有4個(gè)點(diǎn)符合要求，該有12個(gè)點(diǎn)符合要求；但△ABC內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)重合，所以，共有10個(gè)符合要求的點(diǎn)P. 即△ABC內(nèi)部有1點(diǎn)，外部有9個(gè)點(diǎn).

ね2

例2 如圖2，三條直線相交于A、B、C三點(diǎn)，今要在A、B、C三點(diǎn)所在的平面內(nèi)求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三條直線的距離都相等；這樣的點(diǎn)P，你可以找到多少個(gè)？

解析 作△ABC的兩內(nèi)角平分線，交點(diǎn)為P1，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”可知點(diǎn)P1符合要求；

作△ABC的外角平分線，交點(diǎn)分別為P2、P3、P4，那么，點(diǎn)P2、P3、P4同樣符合要求.

所以，符合要求的點(diǎn)共有4個(gè)——△ABC的內(nèi)部有1個(gè)，外部有3個(gè).

2 點(diǎn)與正方形

例3 已知正方形ABCD，求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形；請(qǐng)指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

ね3

解析 如圖3，作出過(guò)AB、CD兩邊中點(diǎn)的對(duì)稱軸MN. 以A點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線MN于點(diǎn)P1、P2；以D點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線MN于點(diǎn)P3、P4；正方形ABCD的中心為P5；所以，對(duì)稱軸MN上共有5個(gè)點(diǎn)符合要求.

正方形ABCD中，像MN這樣的對(duì)稱軸有兩條，共有10個(gè)點(diǎn)符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一個(gè)，即兩條對(duì)稱軸交于一點(diǎn).

所以，共有9個(gè)符合要求的點(diǎn)P. 即使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形的點(diǎn)P共有9個(gè). ネ4

例4 如圖4，電子屏幕上一點(diǎn)P沿著PA向前移動(dòng)，當(dāng)它與正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)一起構(gòu)成等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P就會(huì)放出光芒，并發(fā)出歡呼聲，請(qǐng)你說(shuō)出當(dāng)點(diǎn)P從遠(yuǎn)處移來(lái)，直到點(diǎn)A處，點(diǎn)P會(huì)幾次放出光芒，并發(fā)出歡呼聲？

解析 6次. 當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，BD=BP，AC=PC，AP=AC時(shí)，點(diǎn)P會(huì)發(fā)光；當(dāng)點(diǎn)P分別在點(diǎn)B、點(diǎn)A及AB的中點(diǎn)時(shí)，也會(huì)發(fā)光.

所以，點(diǎn)P會(huì)6次放出光芒，并發(fā)出歡呼聲.

親愛(ài)的同學(xué)們，你知道這些都是為什么嗎？請(qǐng)拿起你的筆練一練！

プ髡嘸蚪椋褐詠ɑ，男，中學(xué)一級(jí)教師. 發(fā)表過(guò)十余篇教育論文.