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        有趣的點

        2008-11-24 08:30:54鐘建華
        中學數(shù)學雜志(初中版) 2008年5期
        關鍵詞:符合要求對稱軸平分線

        鐘建華

        點,用筆在紙上輕輕地一點就成. 但,你可不能小瞧了這“小不點”,在幾何上它是一種圖形,作用大了去了,而且很有趣. 不信,你瞧:

        1 點與三角形

        例1 已知,等邊△ABC,在其所在的平面內求一點P,使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形;這樣的點P,你可以找到多少個?ネ1

        解析 如圖1,不難找到等邊△ABC內部的一點P1——三條對稱軸的交點;

        以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交△ABC的對稱軸MN于P2、P3點;以點B為圓心,AB長為半徑畫弧,交MN于P4點;

        所以,對稱軸MN上共有4個點符合要求.

        等邊△ABC共有3條對稱軸,每條對稱軸上都有4個點符合要求,該有12個點符合要求;但△ABC內部的3個點重合,所以,共有10個符合要求的點P. 即△ABC內部有1點,外部有9個點.

        ね2

        例2 如圖2,三條直線相交于A、B、C三點,今要在A、B、C三點所在的平面內求作一點P,使點P到三條直線的距離都相等;這樣的點P,你可以找到多少個?

        解析 作△ABC的兩內角平分線,交點為P1,根據(jù)“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”可知點P1符合要求;

        作△ABC的外角平分線,交點分別為P2、P3、P4,那么,點P2、P3、P4同樣符合要求.

        所以,符合要求的點共有4個——△ABC的內部有1個,外部有3個.

        2 點與正方形

        例3 已知正方形ABCD,求一點P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形;請指出這樣的點有幾個?

        ね3

        解析 如圖3,作出過AB、CD兩邊中點的對稱軸MN. 以A點為圓心,AB長為半徑畫弧,交直線MN于點P1、P2;以D點為圓心,AB長為半徑畫弧,交直線MN于點P3、P4;正方形ABCD的中心為P5;所以,對稱軸MN上共有5個點符合要求.

        正方形ABCD中,像MN這樣的對稱軸有兩條,共有10個點符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一個,即兩條對稱軸交于一點.

        所以,共有9個符合要求的點P. 即使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形的點P共有9個. ネ4

        例4 如圖4,電子屏幕上一點P沿著PA向前移動,當它與正方形ABCD的兩個頂點一起構成等腰三角形時,點P就會放出光芒,并發(fā)出歡呼聲,請你說出當點P從遠處移來,直到點A處,點P會幾次放出光芒,并發(fā)出歡呼聲?

        解析 6次. 當點P在AB的延長線上,BD=BP,AC=PC,AP=AC時,點P會發(fā)光;當點P分別在點B、點A及AB的中點時,也會發(fā)光.

        所以,點P會6次放出光芒,并發(fā)出歡呼聲.

        親愛的同學們,你知道這些都是為什么嗎?請拿起你的筆練一練!

        プ髡嘸蚪椋褐詠ɑ,男,中學一級教師. 發(fā)表過十余篇教育論文.

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