郭紹兵　曹斌昌

義務教育課程標準實驗教科書華東版數(shù)學九年級下冊第29章82頁習題29.2第5題：

ァ耙蛔槎員呦嗟齲一組對角相等的四邊形是否一定是平行四邊形？如果是，請給出證明、如果不一定是，請舉出反例.”

ビ脛配套的《教師用書》數(shù)學九年級下冊第96頁給出的第5題參考答案是：

ァ安灰歡. 作△ABD，使△ABD的三邊各不相等，不妨設BD最長，以BD為對稱軸作△ABD的對稱△CBD，則在四邊形ABCD中，AB=CB，∠A=∠C，但四邊形ABCD不是平行四邊形.”

ノ頤潛縛巫樵在每周二，第三、四節(jié)數(shù)學教研活動例會上，對此作一專題進行過研討，大家一致認為，參考答案中“不一定”正確，但所舉“反例”有誤，并進行了答案重建.

1 按參考答案作圖分析

ネ1由對稱性可知：如圖1，AB=CB，∠A=∠C.

ザ鳤B=CB是“一組鄰邊”，這與習題中的題設“一組對邊相等”不吻合，理所當然就不能說明習題中的結論了.

2 習題答案重新建構

シ擲嗵致郟

問題情景1 在四邊形ABCD中，已知AB=CD，∠B=∠D. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 如圖2，過A點作AE⊥BC交于點E，過C點作CF⊥AD交于點F，并且連結AC.

ヒ蛭狝B=CD，∠B=∠D（已知），而∠AEB=∠CFD=Rt∠（已作）.

ニ以△ABE≌△CDF（AAS），所以BE=DF，AE=CF（全等三角形對應邊相等）.

ビ諥C為公共邊，所以由勾股定理可得EC2=AC2-AE2，AF2=AC2-CF2，所以EC=AF，所以BE+EC=DF+AF，即BC=AD.

ビ忠蛭狝B=CD（已知），所以四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

問題情景2 反例. 如圖3，△ABC是等腰三角形，E為底邊BC上一點，EB》EC，當∠EAC=∠AED，DE=AC時，△AED≌△EAC（SAS），所以∠D=∠C.

ゼ礎螪=∠B，ED=AB（符合題設），但顯然四邊形ABCD不是平行四邊形.

プ凵纖述：答案是不一定，反例為問題情景2.

テ涫擔如果我們利用圓的知識加以刻畫本題，將更加深入.

問題情景3 反例. 如圖4，在鰽BCE中，作△ACE的外接圓O，再以C為圓心，CE為半徑畫弧與⊙O交于點D,則∠B=∠E=∠D，AB=CE=CD，但是四邊形ABCD并不是平行四邊形.

ビ汕榫2和情景3可以看出，情景1證明中的問題的癥結了，即過C點作AD邊的垂線CF，垂足F不一定在線段AD上. 但對情景1的特殊四邊形結論是成立的.