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        一次函數(shù)中考?jí)狠S題賞析

        2008-11-11 10:02:10孟令中
        關(guān)鍵詞:乙地慢車快車

        孟令中

        在中考中,借助于一次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的題目,屢屢出現(xiàn),而且?guī)缀鹾w了所有的題型.下面以幾道中考?jí)狠S題為例予以說明.

        例1(2008年·南京)一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地.兩車同時(shí)出發(fā).設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x h,兩車之間的距離為y km.圖1中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究.

        (1)甲、乙兩地之間的距離為 km.

        (2)請解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義.

        (3)求慢車和快車的速度.

        (4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式,并寫出這時(shí)自變量x的取值范圍.

        (5)若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地,速度與第一列快車相同,在第一列快車與慢車相遇30 min后,第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí).

        解析:圖中的折線是由三條線段組成的,三條線段各自表示一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系,并且每一個(gè)函數(shù)自變量的取值范圍也都是確定的(因?yàn)榫€段有頭有尾).

        x軸上的數(shù)表示慢車行駛的時(shí)間,y軸上的數(shù)表示兩車之間的距離.知道了這些,我們就可以著手做題了.

        (1)因?yàn)閥軸上的數(shù)表示兩車之間的距離,所以當(dāng)兩車出發(fā)時(shí),即兩車行駛的時(shí)間為0 h時(shí),對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)就是甲、乙兩地之間的距離.所以讀取到的第一個(gè)信息是: 甲、乙兩地之間的距離為900 km.

        (2)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,說明慢車開出了4 h;而縱坐標(biāo)為0,說明兩車之間的距離為0 km,即兩車相遇.所以圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義是:當(dāng)慢車行駛4 h時(shí),慢車和快車相遇.

        (3)由圖象可知,慢車12 h行駛的路程為900 km,所以慢車的速度為 =75(km/h).又當(dāng)慢車行駛4 h時(shí),慢車和快車相遇,此時(shí)兩車行駛的路程之和為900 km.設(shè)快車的速度為v km/h,則75×4+v×4=900,解得v=150.所以快車的速度為150 km/h.

        (4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式,需要知道點(diǎn)B、C的坐標(biāo).B點(diǎn)坐標(biāo)已知.C點(diǎn)隱含的一個(gè)重要信息是:快車已到達(dá)乙地.

        根據(jù)題意,快車行駛900 km到達(dá)乙地,所以快車行駛 =6(h)后到達(dá)乙地.此時(shí)兩車之間的距離為6×75=450(km).所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,450).

        知道了B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)后,利用待定系數(shù)法易求得線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=225x-900.自變量x的取值范圍是4≤x≤6.

        (5)第二列快車與慢車相遇時(shí),慢車行駛了4.5×75=337.5(km).故第二列快車行駛了900-337.5=562.5(km),它的行駛時(shí)間為 =3.75(h).這時(shí),第一列快車已行駛了4.5 h,故第二列快車比第一列快車晚出發(fā)4.5-3.75=0.75(h).

        點(diǎn)評(píng):本題既有明了的信息,也有隱含的、需要?jiǎng)幽X筋尋找的信息,張弛有度,難易適中,是一道很好的一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題.雖然題目本身看似龐大、復(fù)雜,但只要一步一步地進(jìn)行分析,把列車運(yùn)行過程中的實(shí)際狀態(tài)與圖象中的各段對(duì)應(yīng)起來,就可逐步加以解決.

        例2(2007年·吉林)今年4月18日,我國鐵路第六次大提速,在甲、乙兩城市之間開通了動(dòng)車組高速列車.已知每隔1 h有一列動(dòng)車組列車從甲城開往乙城,它們的速度相同.圖2中,OA表示的是第一列動(dòng)車組列車與甲城的距離s(單位:km)和時(shí)間t(單位:h)的函數(shù)關(guān)系,BC表示的是一列從乙城開往甲城的普通快車與甲城的距離s(單位:km)和時(shí)間t(單位:h)的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖中信息,解答下列問題.

        (1)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車發(fā)車時(shí)間比第一列動(dòng)車組列車發(fā)車時(shí)間 h,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是 .

        (2)請你在圖中直接畫出第二列動(dòng)車組列車與甲城的距離s和時(shí)間t的函數(shù)圖象.

        (3) 若普通快車的速度為100 km/h.

        ①求直線BC的解析式,并寫出自變量t的取值范圍.

        ②求第二列動(dòng)車組列車出發(fā)后多長時(shí)間與普通快車相遇.

        解析:(1)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車發(fā)車時(shí)間比第一列動(dòng)車組列車發(fā)車時(shí)間晚0.5 h.點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是甲、乙兩城相距300 km.

        (2)第二列動(dòng)車組列車與第一列動(dòng)車組列車的行駛路程與行駛時(shí)間都是一樣的,只是發(fā)車時(shí)間相隔1 h,所以它們的函數(shù)的圖象是平行、“相等”的.其函數(shù)圖象如圖3中的線段MN所示(第二列較第一列晚出發(fā)1 h,晚1 h到達(dá),所以MN∥AO).

        (3)①設(shè)直線BC的解析式為 s=kt+b.

        ∵B(0.5,300), C(3.5,0),

        ∴由待定系數(shù)法可求得s=-100t+350.

        自變量t的取值范圍是0.5≤t≤3.5.

        ②設(shè)直線MN的解析式為s=k1t+b1.

        因M(1,0),N(3,300),故由待定系數(shù)法可求得s=150t-150.

        BC與MN的交點(diǎn)的實(shí)際意義就是第二列動(dòng)車組列車與普通快車的相遇.

        ∴150t-150=-100t+350.解得t=2.

        因2-1=1,故第二列動(dòng)車組列車發(fā)車1 h后與普通快車相遇.

        點(diǎn)評(píng):在畫線段MN時(shí),端點(diǎn)要明確,莫畫成直線或射線.另外,題中已隱含了動(dòng)車組列車與普通快車的速度:150 km/h和100 km/h.利用它們也可解題.

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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