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        從算術(shù)到代數(shù)的跨越

        2008-11-11 10:02:10

        朱 珠

        同學(xué)們知道算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別嗎?看看下文就知道了.

        “算術(shù)”可以理解為“計算的方法”,而“代數(shù)”可以理解為“以符號替代數(shù)字”,即“數(shù)字符號化”.用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一件大事,是由算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁,也是代數(shù)與算術(shù)最顯著的區(qū)別.

        在網(wǎng)絡(luò)上有一個十分有意思的小測試,通過這個小測試,馬上就可以知道你的年齡!超準哦!我算過啦,真的很神奇,結(jié)果完全正確!快點來試試吧.(請一邊讀一邊做)

        (1)首先,在1~7中間挑選一個數(shù)字;

        (2)把這個數(shù)字乘以2;

        (3)然后加上5;

        (4)再乘以50;

        (5)把得到的數(shù)加上1 758;

        (6)用得到的這個數(shù)目減去你出生的那一年份,你會得到一個三位數(shù),第一個位數(shù)(即百位數(shù))是你一開始選擇的數(shù)字,接下來的兩位數(shù)就是你的年齡.

        請注意,一定要耐心地算下來,結(jié)果一定會讓你大吃一驚!

        其實這只是一個用字母表示數(shù)的簡單問題.若你把最開始挑選的那個數(shù)字設(shè)為x(1≤x≤7),則可以列出代數(shù)式(2x+5)×50+1 758,利用小學(xué)學(xué)過的乘法分配律,得到100x+2 008,用這個數(shù)減去你出生的那一年份所得到的三位數(shù)中,第一位數(shù)(即百位數(shù))很明顯是你選擇的數(shù)字,后面兩位數(shù)不正是你的年齡嗎?

        用字母表示數(shù),有利于運用代數(shù)式揭示問題中的數(shù)量關(guān)系,便于找到數(shù)量的相等或不等關(guān)系.具有設(shè)元意識,會用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系,是由算術(shù)向代數(shù)過渡的重要步驟,是突破算術(shù)方法解決問題定式的關(guān)鍵.

        同學(xué)們,還記得小時候你們學(xué)過的一首兒歌吧:

        1只青蛙1張嘴,2個眼睛4條腿,1聲撲通跳下水;

        2只青蛙2張嘴,4個眼睛8條腿,2聲撲通跳下水;

        3只青蛙3張嘴,6個眼睛12條腿,3聲撲通跳下水.

        那么,如果是許多只青蛙呢?對了,就是n只青蛙n張嘴,2n個眼睛4n條腿,n聲撲通跳下水.

        從個別事物中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律,這種研究問題的方法叫“歸納法”,這種方法體現(xiàn)著由特殊到一般的思維過程.

        下面我再給大家出一道找規(guī)律的題目.

        為了迎接國慶佳節(jié)的到來,某市綠城廣場擺放了許多盆鮮花.下面每個圖是有若干盆花組成的形如三角形的圖案,每條邊(包括兩個頂點)有n(n>1,且n為正整數(shù))盆花,每個圖案花盆的總數(shù)是S.

        (1)按此規(guī)律推斷,當每邊放有6盆花時,花盆的總數(shù)是 ;

        (2)S與n的關(guān)系式是 ;

        (3)當n=10時,S= .

        我們很容易作出每邊放有6盆花時的圖案,數(shù)一數(shù)就可以了,花盆的總數(shù)是15.下面來仔細推敲一下其中的規(guī)律.

        從邊來看:每個圖案都是三角形,同一個圖案中每邊上的花盆數(shù)相同,但每個圖案中都會重復(fù)三個頂點.

        如:當n=2時,花盆的總數(shù)為3×2-3;

        當n=3時,花盆的總數(shù)為3×3-3;

        當n=4時,花盆的總數(shù)為3×4-3.

        所以當每條邊上花盆數(shù)為n時,每個圖案花盆的總數(shù)為3×n-3=3n-3.

        從行來看:n表示花盆的行數(shù),第一行的數(shù)量總是1,最后一行的數(shù)量總是每邊花盆的數(shù)量n,而中間的每行只有2個,中間的行數(shù)比每邊花盆的數(shù)量少2,即n-2,也就是說中間的花盆數(shù)為2(n-2).

        如:當n=2時,花盆的總數(shù)為1+2+2×0;

        當n=3時,花盆的總數(shù)為1+3+2×1;

        當n=4時,花盆的總數(shù)為1+4+2×2.

        所以當每條邊上花盆數(shù)為n時,每個圖案花盆的總數(shù)為1+n+2(n-2)=3n-3.

        現(xiàn)在來求當n=10時花盆的總數(shù)就容易多了,也就是27.

        上述問題中的3個小題反映了我們認識事物、探究問題的基本過程,第(1)小題是研究具體對象,第(2)小題是歸納出一般規(guī)律,第(3)小題是再運用這些規(guī)律去分析、研究和解決問題.

        很早以前,非洲北部有一叫卡樂法特的地方,這里歸海早王管轄 .有一次海早王打敗了鄰部落,要求割地,鄰部落的酋長說:“割地,可以!請你用一塊狼皮去包圍一塊土地吧!”海早王有位聰明的妻子紀塔娜,她想出了一個好方法:她親自動手將狼皮剪成一條條很細的繩子,接起來圍成一個面積最大的圖形.同學(xué)們,你們先猜一猜,這個圖形是什么呢?有的同學(xué)可能猜的是圓,有的同學(xué)可能猜的是正方形,那么到底是誰的面積更大呢?

        運用字母表示數(shù),就可以把這個抽象的數(shù)學(xué)問題具體化.設(shè)這條繩子的長度為C,即圓與正方形的周長都為C,則圓的半徑為 ,正方形的邊長為 C,圓的面積為π 2= C2,正方形的面積為 C2= C2.

        因 > ,故 C2> C2.因此,圓的面積較大,它比同周長的正方形所圍的面積還要大.

        同學(xué)們學(xué)會用字母表示數(shù)了嗎?恰當設(shè)元,運用代數(shù)關(guān)系,使書寫表達更加方便,運算過程更加清晰,這就是用字母表示數(shù)的優(yōu)勢.

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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