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        學(xué)好平行知識 夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

        2008-11-11 10:02:10郭德乾
        關(guān)鍵詞:定義

        郭德乾

        古人云:欲修萬丈高樓,必先堅筑地基.平行線的知識是幾何大廈的基石,在幾何王國里到處可以見到它們的身影.同學(xué)們要深刻理解平行線定義、識別與特征,并能靈活運用它們解決有關(guān)的計算和推理問題.

        1. 在生活中,兩條筆直的鐵軌之間是什么關(guān)系呢?在我們的作業(yè)本上,兩個格線之間又是什么關(guān)系呢?

        綜合上面的關(guān)系,兩條鐵軌可以看成是兩條直線,它們之間不能相交;作業(yè)本上的線也是不能相交的線.那么這些線與線的關(guān)系,我們稱為平行關(guān)系.

        總結(jié):在同一個平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.

        注:(1)“在同一個平面內(nèi)”是定義的前提條件,在空間圖形中,不相交的兩條直線并不一定平行的.

        (2)在同一個平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系只有相交與平行兩種.

        我們用符號“∥”表示平行,如果AB平行于CD,記作AB∥CD;也有可能是a平行于b,則記作a∥b.

        2. 根據(jù)圖1我們一起來探索一下下列問題.

        (1)經(jīng)過點C,能畫出幾條直線與已知直線AB平行?

        (2)過點D畫一條直線與直線AB平行,它與(1)中所畫的直線平行嗎?

        (3)通過畫圖,你發(fā)現(xiàn)了什么?

        分析:同學(xué)們想一想,過直線外一點能作出幾條線與已知直線平行呢?是一條、兩條,還是更多呢?我們從定義出發(fā),可以看出過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行,過圖中的點D再作一條直線,與過C點的直線什么關(guān)系呢?

        從圖1可以看出,這三條直線是平行關(guān)系,所以得出以下的結(jié)論:

        (1)經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行;

        (2)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.

        探究性問題是由簡單到復(fù)雜,由淺入深,由特殊到一般探究規(guī)律,再利用所得的規(guī)律解決問題.

        (1)探究規(guī)律:如圖2,已知直線a∥b,A、B為直線a上兩點,C、P為直線b上兩點.

        ①請你寫出圖2中面積相等的各對三角形:____;

        ②如果A、B、C為三個定點,點P在b上移動,那么無論P點移動到任何位置,總有____與△ABC的面積相等,理由是____.

        (2)解決問題:如圖3,五邊形ABCDE是張大爺10年前承包的一塊土地的示意圖,經(jīng)過多年開墾荒地,現(xiàn)在已變成圖4所示的形狀,但承包土地與開墾的分界小路(即圖2中的折線CDE)還保留著,張大爺現(xiàn)在想過點E修一條直路,直路修好后,要保持直路左邊的土地的面積與開墾的荒地的面積一樣多.請你用所學(xué)過的幾何知識,按張大爺?shù)囊?,幫張大爺設(shè)計出一種修路方案.(不計分界小路與直路的占地面積)

        ①寫出設(shè)計方案,并在圖4中畫出相應(yīng)的圖形;

        ②說明方案設(shè)計的理由.

        分析:在圖2中,因為a//b,所以a與b兩平行線間的距離相等,又因為△ABC與△ABP有一共同的底邊AB,所以△ABC與△ABP為同底等高的兩個三角形,根據(jù)三角形的面積計算公式,可知△ABC與△ABP的面積相等;(2)中的問題可設(shè)法構(gòu)造出(1)中的基本圖形來處理.

        解:(1)①面積相等的三角形有3對,分別為:△ABC與△ABP,△ACP與△BPC,△AOC與△BOP.

        ②無論P點移動到什么位置,總有△ABP與△ABC面積相等,理由是:平行線間的距離相等,無論P點在直線b上如何移動,總有△ABP與△ABC同底等高,因此它們的面積相等.

        (2)①設(shè)計方案如圖5,連接EC,過D作DF//EC,交CN于F,連接EF,EF即為所修直路的位置;

        ②設(shè)EF交CD于點H,由上面得到的結(jié)論可知,△ECF的面積與△ECD的面積相等,△HCF與△EDH的面積相等,所以五邊形ABCDE的面積與五邊形ABCFE的面積相等,當(dāng)然五邊形EDCNM與四邊形EFMN的面積也相等.

        例1判別下列說法是否正確,并說明理由.

        (1)不相交的兩條直線叫做平行線.

        (2)在同一平面內(nèi),兩條不相交的線段是平行線.

        (3)過一點可以而且只可以畫一條直線與已知直線平行.

        思路點撥:平行線是指在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線.在同一平面內(nèi)與不相交兩者缺一不可.

        解:(1)不正確.根據(jù)平行線的定義,平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”,“在同一平面內(nèi)”是平行線的一個重要條件,是不可缺少的.

        (2)不正確.平行線的定義中指的是兩條不相交的“直線”,而不能改為“線段”.我們所說的線段平行,實際上是指它們所在的直線平行.

        (3)不正確.正確的說法是“經(jīng)過直線外一點”,而不是“過一點”.因為如果這一點就在直線上,是作不出這條直線的平行線的.

        在利用定義及性質(zhì)時,要注意其成立的前提條件.

        例2如圖6,AB∥DC,E是線段BC上一點.

        (1)過點E畫EF∥AB,交AD于F.

        (2)EF與CD平行嗎?為什么?

        思路點撥:可以利用平移三角尺畫平行線,畫平行線時要“兩貼一移一畫”.

        解:(1)如圖6.(通過平移三角尺的方法畫EF∥AB)

        (2)因為AB∥DC,F(xiàn)E∥AB,根據(jù)“兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行”,可得EF∥CD.

        若a=b,b=c,則a=c,理由是等量代換;若a∥b,b∥c,則a∥c,理由是“如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行”.

        例3如圖7,已知a∥b,第三條直線c與a相交.試說明c與b也相交的理由.

        思路點撥:要說明c與b相交,所能用的依據(jù),一是平行線的定義,二是經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行.

        解:如圖7,設(shè)a與c相交于A,則a是過直線b外一點A與b平行的直線,由于經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行,所以過點A與b平行的直線是唯一的.故過點A的另一條直線c不能再與b平行,所以c與b相交.

        利用經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行的“唯一性”可說明:過直線外一點的n條直線中至少有(n-1)條與這條直線相交.

        1. 判斷正錯(正打“√”,錯打“×” ).

        ①兩條不相交的直線叫平行線.( )

        ②在同一平面內(nèi)的兩條直線不平行就相交.( )

        ③一條直線的平行線有且只有一條.( )

        ④經(jīng)過一點,有且只有一條直線與這條直線平行.( )

        ⑤a、b、c是三條直線,如果a∥b且b∥c,則a∥c.( )

        2. 填空.

        ①在同一平面內(nèi),直線a與b滿足下列條件:a與b沒有公共點,則a與b的位置關(guān)系____;a與b有且只有1個公共點,則a與b的位置關(guān)系____.

        ②若AB∥CD且AB∥EF,則____∥____,

        理由是_______________________.

        ③如圖8,在正方體中,與棱AA1平行的棱條數(shù)為( ).

        A.1 B.2C.3D.4

        3. 根據(jù)題意畫圖并探索(如圖9).

        ①過點A作直線EF,使EF∥CD;

        ②用量角器測量∠1的度數(shù);

        ③測量以A為頂點的角的度數(shù).

        ④你發(fā)現(xiàn)∠1與其他角有什么關(guān)系嗎?

        4. 某學(xué)校田徑運動會開始之前體育老師事先畫好50 m的跑道,如果是4道,需要畫 條平行線;如果畫6條平行線,則有 條跑道.

        5. 在圖10所示的方格紙中,用三角尺分別畫出與MN和PQ平行的線段.

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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