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        從猜游戲看數(shù)到式的一個(gè)飛躍

        2008-11-11 10:02:10王繼延
        關(guān)鍵詞:游戲數(shù)學(xué)

        作者簡介:王繼延,理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年,并任中學(xué)校長. 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員,全國初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(華東師大版)常務(wù)副主編,教育部基礎(chǔ)司項(xiàng)目“全國初中畢業(yè)、升學(xué)考試評價(jià)”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材,如《全國初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)(初中數(shù)學(xué))》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書,在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

        讀者朋友,我們又見面了.上次我們結(jié)交了有理數(shù)這位好朋友,現(xiàn)在就請王教授帶領(lǐng)我們一起見見新朋友——“式”.

        你可要知道,這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)飛躍,好多年之前中學(xué)里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),就有“代數(shù)”之說.代數(shù),顧名思義,就是用字母代替數(shù).而現(xiàn)在有了式與式的運(yùn)算,以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容,你就會(huì)一路順風(fēng)啦!

        現(xiàn)在先讓我們一起做一個(gè)猜數(shù)游戲:你隨便想一個(gè)一位正整數(shù),擴(kuò)大1倍,加上1,再加上所得結(jié)果的一半,再乘以2.將你最后得到的結(jié)果告訴我,我就可以迅速地說出你原來想的那個(gè)正整數(shù).你相信嗎?其中的道理么……還是讓我們從頭慢慢說起吧,說完了,你也就可以自己找到這個(gè)問題的答案了.

        你是否發(fā)現(xiàn),有時(shí)需要用較為簡潔的語言表達(dá)一些對象.例如,我們可以說出許多偶數(shù):2、4、6……那么如果將偶數(shù)按從小到大的順序排列,你能否迅速報(bào)出第100個(gè)正偶數(shù)呢?總不能一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去吧.這時(shí)可這樣考慮,作為偶數(shù),就是2的倍數(shù),第一個(gè)正偶數(shù)2是2的1倍,第二個(gè)正偶數(shù)4是2的2倍,第三個(gè)正偶數(shù)6是2的3倍,如此類推,第n個(gè)正偶數(shù)應(yīng)該是2的n倍,可以簡單地寫成2n的形式,那么第100個(gè)正偶數(shù)那就是2×100,即200.你看,這樣多簡單!

        以上表示的是2的倍數(shù),我們還可以用字母表示一個(gè)一般的三位數(shù).若設(shè)a、b、c分別為一個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位上的數(shù)字,相信你一定可以將這個(gè)三位數(shù)表示為含有a、b、c的一個(gè)表達(dá)式 .

        其實(shí)上面的表示方式,你在“有理數(shù)”一章里早就見過.那時(shí)我們講到有理數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律,就是那樣寫的:若設(shè)a、b、c均為有理數(shù),那么就可以用如下式子表示有理數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律: a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),ab=ba,(ab)c=a(bc),a(b+c)=ab+ac.

        這里所認(rèn)識的以及你自己寫出來的一系列表達(dá)式,都是由數(shù)和字母用運(yùn)算符號連接所成的數(shù)學(xué)式子,它們就叫做“代數(shù)式”.

        實(shí)際上,這樣的例子可以說生活周圍處處存在,對于代數(shù)式這位朋友的認(rèn)識,就和平時(shí)生活中很多事情一樣,看到某一同學(xué),就能知道他的名字;提起他的名字,就能想起他的面貌.因此,在學(xué)習(xí)中,還應(yīng)能夠結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn),對于某些代數(shù)式作出相應(yīng)的解釋.如給出代數(shù)式 ,可以理解為:甲乙二人自相距50個(gè)單位長度的兩地相向而行,而二人的速度分別為每小時(shí)a、b 個(gè)單位長度,則 即為甲乙二人見面所需花費(fèi)的時(shí)間.想一想,還可以如何理解呢?

        你現(xiàn)在可能已經(jīng)注意到,代數(shù)式的面貌有很多很多,我們現(xiàn)在所要研究的只是其中的整式,今后你還會(huì)與其他的代數(shù)式——分式、根式等等打交道呢.而整式是最簡單的,也是最基本的代數(shù)式,它又可分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式.以后你會(huì)一個(gè)一個(gè)地認(rèn)識它們,熟悉它們的習(xí)性與脾氣.

        如同你們走路一樣,整式的加減有一些必須要遵守的“交通法規(guī)”.由于字母所代表的就是數(shù),所以整式的運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上就是數(shù)的運(yùn)算.因此整式的運(yùn)算,往往最后都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算,所依據(jù)的都是數(shù)的運(yùn)算律.

        例如,合并同類項(xiàng),這是整式加減的基礎(chǔ).整式的加減運(yùn)算的根據(jù)就是數(shù)的運(yùn)算律(加法交換律、結(jié)合律以及乘法關(guān)于加法的分配律).

        又如去括號與添括號,就可以分別理解為括號前乘以+1(括號前是“+”號)、-1(括號前是“-”號),這樣就可以深入理解去括號與添括號的實(shí)質(zhì)了.

        說到這里,讓我們回過頭去,解開當(dāng)初的游戲奧秘.

        若設(shè)所想的數(shù)為x,那么運(yùn)算過程如下圖.

        化簡最后的結(jié)果,(2x+1)+ ×2= ×2=6x+3.你若告訴我最后的結(jié)果是45,那么所想的數(shù)肯定是……相信你,一定能夠自己算出最初所想的那個(gè)數(shù).

        下面再給你提供一個(gè)數(shù)字游戲“有趣的( 3x+1)問題”,不過這是至今還沒有解開奧秘的數(shù)學(xué)問題,也許你,也許你的小伙伴,經(jīng)過自己的努力,終究會(huì)攀上這個(gè)數(shù)學(xué)的高峰,摘下這顆光芒四射的數(shù)學(xué)明珠.

        這個(gè)“(3x+1)問題”是這樣的:請你隨意給出一個(gè)正整數(shù)x,若是奇數(shù),按代數(shù)式3x+1求出對應(yīng)值;若是偶數(shù),按代數(shù)式 求值.若第一步所得結(jié)果是奇數(shù),則繼續(xù)按代數(shù)式3x+1求值;是偶數(shù),則繼續(xù)按代數(shù)式 求值.若第二步……如此繼續(xù)下去,你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇妙的現(xiàn)象.請你用幾個(gè)不同的正整數(shù),做做這個(gè)游戲,看看究竟有多么奇妙.

        哈哈,你看,數(shù)學(xué)是多么的美!

        最后用一句話結(jié)束我們今天的交流:在學(xué)習(xí)《整式的加減》時(shí),牢記代數(shù)式中的字母是表示數(shù)的一個(gè)符號,理解了這一點(diǎn),就會(huì)實(shí)現(xiàn)從數(shù)到式的一個(gè)飛躍,這或許就是理解掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)所在吧.

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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