周　桅

“有理數(shù)”這一章的主要內(nèi)容是有理數(shù)的概念和有理數(shù)的運(yùn)算.正確理解概念,熟練掌握運(yùn)算是學(xué)好這一章的關(guān)鍵和主要標(biāo)志,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)式?方程等知識(shí)的基礎(chǔ).下面就有理數(shù)的有關(guān)概念和有理數(shù)的加減運(yùn)算總結(jié)于下.

一?概念辨析

1. 正數(shù)和負(fù)數(shù):大于0的數(shù)叫正數(shù);小于0的數(shù)叫負(fù)數(shù);0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),是唯一的中性數(shù).

注 對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念,不能簡(jiǎn)單理解為:帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù),帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).例如:-a可能是正數(shù),+a可能是負(fù)數(shù),它們可能既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),是0.

2. 有理數(shù):整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).整數(shù)包括正整數(shù)?零?負(fù)整數(shù);分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

有理數(shù)的分類(lèi):

① 按負(fù)數(shù)的引入來(lái)分

數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”.有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)的,在英語(yǔ)中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”.中國(guó)近代翻譯西方科學(xué)著作時(shí),依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數(shù)”.但是,這個(gè)詞來(lái)源于古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(有的把形如的數(shù)叫有理數(shù),p?q是互質(zhì)整數(shù),且p≠0).

② 通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非正數(shù),正整數(shù)和0稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)(也叫做自然數(shù)),負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)為非正整數(shù).如果用字母表示數(shù),則a>0表明a是正數(shù);a<0表明a是負(fù)數(shù);a≥0表明a是非負(fù)數(shù);a≤0表明a是非正數(shù).

3. 數(shù)軸:規(guī)定了原點(diǎn)?正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn).

數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系:所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示,0用原點(diǎn)表示.

利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

注 數(shù)軸的定義包含三層含義:(1)數(shù)軸是一條直線(xiàn),可以向兩端無(wú)限延伸;(2)數(shù)軸有三要素——原點(diǎn)?正方向?單位長(zhǎng)度,三者缺一不可;(3)原點(diǎn)的選定?正方向的取向?單位長(zhǎng)度大小的確定,都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的(通常取向右為正方向).

4. 相反數(shù):幾何定義——在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁,到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù),叫做互為相反數(shù).代數(shù)定義——只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)(除了符號(hào)不同以外完全相同),我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù),0的相反數(shù)是0.

相反數(shù)的表示方法:一般地,數(shù)a的相反數(shù)是-a.這里a表示任意的一個(gè)數(shù),可以是正數(shù)?負(fù)數(shù)或者0.

多重符號(hào)的化簡(jiǎn):(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”號(hào),仍然與原數(shù)相同,如+5 = 5,+(-5) = -5.(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”號(hào),就成為原數(shù)的相反數(shù).如-(-3)就是-3的相反數(shù),因此,-(-3) = 3.

5. 絕對(duì)值:幾何定義—— 一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,數(shù)a的絕對(duì)值記作“a”.代數(shù)定義—— 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.即

有理數(shù)大小的比較法則:正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小.

注 比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是:(1)先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值;(2)比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小;(3)根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小”作出正確的判斷.

二?法則與運(yùn)算律

1. 有理數(shù)的加法運(yùn)算法則.

(1)同號(hào)兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把絕對(duì)值相加.

若a > 0且 b > 0,則a + b = + (| a | + | b |);

若a < 0且 b < 0,則a + b = - (| a | + | b |).

(2)異號(hào)兩數(shù)相加.

①絕對(duì)值不相等,取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.

若a > 0 ,b < 0且 | a |>| b |,則a + b = +(| a |-| b |),

若a > 0 ,b < 0且 | a |<| b |,則a + b = -(| b |-| a |).

②絕對(duì)值相同,和為0,也就是互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0.

若a > 0,b < 0, 且 |a| = |b|,則a + b = 0.

(3)一個(gè)數(shù)與0的和仍得這個(gè)數(shù),即a + 0 = a.

2. 有理數(shù)的減法法則.

減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).用字母算式表示減法法則為:a - b = a + (-b).

3.加法運(yùn)算律.

(1)加法交換律:a + b = b + a.

(2)加法結(jié)合律:(a + b) + c = a + (b + c).

三?典型例題

例1 把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi):

-3,2,-1,,-0.58,0,-3.141 592 6,0.618,.

整數(shù)集合:{ …};

分?jǐn)?shù)集合:{ …};

負(fù)數(shù)集合:{ …};

非負(fù)數(shù)集合:{ …}.

集合是指具有某一特征的一類(lèi)事物的全體,大家要特別注意0這個(gè)數(shù),在考慮問(wèn)題時(shí)千萬(wàn)不要漏掉對(duì)0的考慮.題目中只是具體地填出幾個(gè)符合條件的數(shù),只是一部分,所以通常最后要加省略號(hào).

解:整數(shù)集合:{-3,2,-1,0,…};

分?jǐn)?shù)集合:{-,-0.58,-3.141 592 6,0.618,,…};

負(fù)數(shù)集合:{-3,-1,-,-0.58,-3.141 592 6,…};

非負(fù)數(shù)集合:{2,0,0.618,,…}.

例2 化簡(jiǎn)下列各數(shù):

(1)-[+(-17)];

(2)--+-3;

(3)-[-(a-b)];

(4)-+[-(-a)].

化簡(jiǎn)一個(gè)數(shù)前面的“多重符號(hào)”的規(guī)則是:當(dāng)這個(gè)數(shù)前面的“-”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果的符號(hào)為“-”,當(dāng)“-”號(hào)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果的符號(hào)為“+”.

解:(1)-[+ ( -17)] = -(-17) = 17.

(2)--+-3=---3=-+3=-3.

(3)-[-(a-b)]=+(a-b)=a-b.

(4)-+[-(-a)]=-[+(+a)]=-a.

例3 畫(huà)一個(gè)數(shù)軸,在數(shù)軸上表示出下列各數(shù),并用“<”號(hào)把下面的數(shù)連接起來(lái).

1,-3,-1,0,2.

(1)畫(huà)數(shù)軸必須具備數(shù)軸三要素:原點(diǎn)?單位長(zhǎng)度和正方向.

(2)用“<”號(hào)連接這些數(shù),需要將這些數(shù)從小到大排列.而在數(shù)軸上右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù),所以只要將數(shù)軸上的數(shù)從左到右用“<”號(hào)連接即可.

解:(1)如圖1.

圖1

(2)-3<-1<0<1<2.

例4 計(jì)算:

(1)11-39.5+10-2.5-4+19;

(2)+2-(-10)--2+(-10).

有理數(shù)的運(yùn)算應(yīng)先確定符號(hào),再進(jìn)行絕對(duì)值的計(jì)算,同時(shí)靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.

解:(1)11-39.5+10-2.5-4+19

=11+10+19-39.5-2.5-4

=[(11+19)+10]+[(-39.5-2.5)-4]

=40-46

=-6.

(2)+2 - (-10) - -2 + (-10)

=2 + 10 + 2 - 10

=2 + 2 + (10 - 10)

=4.

例4 計(jì)算:-6+2+-8+-3-.

此題不僅有加減法,還有絕對(duì)值,計(jì)算的時(shí)候,先算出絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的值,再進(jìn)行加減法的運(yùn)算.

解: -6+2+-8+-3-

= -3+-8+-3

= 3+-8+3

=-5+3

=-1.

例5 有理數(shù)a?b?c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A?B?C,其位置如圖2.試化簡(jiǎn):c -c+b+a-c+b+a.

有理數(shù)a?b?c,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A?B?C,在數(shù)軸上A點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊,它表示的數(shù)a>0,B?C兩點(diǎn)在原點(diǎn)左邊且C點(diǎn)在B點(diǎn)的右邊,b<0,c<0,它表示的數(shù)c大于B點(diǎn)表示的數(shù)b,所以b>c.利用上述條件去絕對(duì)值符號(hào),原絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正的,去掉絕對(duì)值符號(hào),符號(hào)保持不變;原絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是負(fù)的,去掉絕對(duì)值符號(hào)后原數(shù)改為它的相反數(shù).

解:|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|

=-c-[-(c+b)]+(a-c)+[-(b+a)]

=-c+(c+b)+(a-c)-(b+a)

=-c+c+b+a-c-b-a

=-c.

例6 已知a?b是有理數(shù),且|2a+1|+|2-b|=0,求a+2b的值.

非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)為0.

解:因?yàn)閨2a+1|+|2-b|=0,所以 |2a+1|=0,|2-b|=0.因而2a+1=0,2-b=0.所以a=-,b=2.故a+2b=-+2×2=.

例7 化簡(jiǎn):|x+2|-|3x-4|.

化去絕對(duì)值,首先令每個(gè)絕對(duì)值為0,再把所得到的字母的值標(biāo)在數(shù)軸上分段討論.

解:由x+2=0,3x-4=0,得x=-2, x=,-2?把數(shù)軸分成3段,x≤-2,-2.

當(dāng)x≤-2時(shí),原式=-(x+ 2)+(3x- 4)=2x-6;

當(dāng)-2

當(dāng)x>時(shí),原式=x+2-3x+4=-2x+6.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文