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        平方根與立方根典型習(xí)題解讀

        2008-09-27 09:18:12姚紹相
        關(guān)鍵詞:立方根鐵塊平方根

        姚紹相

        《數(shù)的開方》的第1節(jié)學(xué)習(xí)了初中階段六種運(yùn)算中的最后一種數(shù)的運(yùn)算——開平方、開立方(統(tǒng)稱開方),其結(jié)果分別稱為平方根與立方根(統(tǒng)稱方根).現(xiàn)以本節(jié)的典型習(xí)題為例,分類解讀如下,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

        一、平方根與立方根

        例1(1)求下列各數(shù)的平方根:289,6.25,2 ,,.

        (2)求下列各數(shù)的立方根:-2 ,0.125, .

        (3)求下列各式的值:①× ,②÷ .

        (4)用計(jì)算器求下列各式的值(保留四個(gè)有效數(shù)字): - ,- .

        解析:(1)將一個(gè)正數(shù)開平方,關(guān)鍵是找出它的一個(gè)算術(shù)平方根.因?yàn)?72=289,所以 =17(即289的算術(shù)平方根是17),因此289的平方根是±17(或± =±17).以下各數(shù)請(qǐng)同學(xué)們完成.答案:±17,±2.5,± ,±2(不是 4),±3( ≠-9).

        (2)請(qǐng)同學(xué)們完成.答案:- ,0.5, (不是9,該處是求 =9的立方根).

        (3)請(qǐng)同學(xué)們完成.答案:① ,②- .

        (4)請(qǐng)同學(xué)們完成.答案:-44.81,0.950 4.

        點(diǎn)評(píng):要重視例1這類課本中的基本訓(xùn)練題.

        ①要搞清平方根、算術(shù)平方根與立方根的意義及性質(zhì)的異同,防止混淆.例如,一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù),而正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù);負(fù)數(shù)沒有平方根,但有立方根,負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù);0的平方根與立方根都是0.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),任何數(shù)都能進(jìn)行開立方運(yùn)算,只有非負(fù)數(shù)才能進(jìn)行開平方運(yùn)算.

        ②要明確開平方與平方、開立方與立方互為逆運(yùn)算,學(xué)會(huì)利用平方與立方運(yùn)算求平方根與立方根,也要學(xué)會(huì)利用平方與立方運(yùn)算檢驗(yàn)開平方與開立方是否正確.

        ③求 、 這類數(shù)的平方根或算術(shù)平方根時(shí),一定要先將它們化簡(jiǎn),再求解.

        ④當(dāng)根號(hào)下的被開方數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的和或差時(shí),如第(3)題中的第②題,應(yīng)先求其和或差,再進(jìn)行開方運(yùn)算.

        二、三種非負(fù)數(shù)

        例2若 和 互為相反數(shù),則 2- 27 =.

        解析:根據(jù)相反數(shù)的意義,得 + =0.再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得1-3a=0,8b-3=0.解得a= ,b = .

        ∴ 2=2 = 82 = 64.

        ∴ 2- 27 = 64 - 27 = 37.

        點(diǎn)評(píng):正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù),初中數(shù)學(xué)中常見的非負(fù)數(shù)有以下三種:實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的偶次冪(實(shí)數(shù)的平方是其中最簡(jiǎn)單的情況)與非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根.以上是利用“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”這一非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組求解,例2這種類型的題是各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn).要特別注意非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根 的兩個(gè)非負(fù)性,即a≥0, ≥0.

        三、數(shù)(實(shí)數(shù))的估算與大小比較

        例3(1)估計(jì) +1的值是().

        A. 在2和3之間 B. 在3和4之間

        C. 在4和5之間 D. 在5和6之間

        (2)估計(jì) 的大小應(yīng)().

        A.在9.1和9.2之間 B. 在9.2和9.3之間

        C. 在9.3和9.4之間 D. 在9.4和9.5之間

        解析:(1)本題是由課本第7頁習(xí)題12.1的第4題( 在哪兩個(gè)整數(shù)之間?)改編而成.

        ∵ < < ,即3< <4,

        ∴ 4< +1<5.故應(yīng)選C.

        (2)9.32=86.49,9.42=88.36,又86.49<88<88.36,9.3< < 9.4.故應(yīng)選C.

        點(diǎn)評(píng):這類估算題既是課本中的重要題型,也是考查《數(shù)的開方》內(nèi)容中考題的熱點(diǎn).它對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的估算能力有幫助.但對(duì)允許將計(jì)算器帶入考場(chǎng)的地方,這類題就屬于簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)題了.

        例4(1)比較2.5,-3, 的大小,正確的是().

        A.-3<2.5< B. 2.5<-3<

        C.-3< <2.5D. <2.5<-3

        (2)已知A=n- ,B=3 -2 (n為正整數(shù)).當(dāng)n≤5時(shí),有A<B;請(qǐng)用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)n≥6時(shí),A、B的若干個(gè)值,并由此歸納出當(dāng)n≥6時(shí),A、B間的大小關(guān)系為.

        解析:(1)∵負(fù)數(shù)小于正數(shù),2.52=6.25<7,

        ∴-3<2.5< .

        故應(yīng)選A.

        (2)A>B.

        點(diǎn)評(píng):有理數(shù)的大小比較方法,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.實(shí)數(shù)比較大小時(shí),通常取它們的近似值來進(jìn)行.課本主要介紹了直接法、估算法與計(jì)算器計(jì)算法等.其他方法(如平方法、求差法、求商法、倒數(shù)法等),希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過程中認(rèn)真加以總結(jié),注意靈活應(yīng)用.

        四、平方根與立方根應(yīng)用題

        例5(第7頁習(xí)題12.1第5題)在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí),小華用一根細(xì)線將一正方體鐵塊拴住,完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中,并用一量筒量得被鐵塊排開的水的體積為40.5 cm3,小華又將鐵塊從燒杯中提起,量得燒杯中的水位下降了0.62 cm.請(qǐng)問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長(zhǎng)各是多少.(用計(jì)算器計(jì)算,結(jié)果精確到0.1 cm)

        解析:這是一道數(shù)學(xué)與物理的綜合題.由物理知識(shí),知鐵塊的體積就是燒杯中減少的水的體積,

        鐵塊的棱長(zhǎng)為 ≈3.4(cm).

        燒杯中減少的水的體積為40.5 cm3,水位下降了0.62 cm,

        燒杯內(nèi)部的底面面積為cm2,故燒杯內(nèi)部的底面半徑為 ≈4.6(cm).

        點(diǎn)評(píng):通過本章的學(xué)習(xí),同學(xué)們可體驗(yàn)到數(shù)學(xué)源于實(shí)際,又應(yīng)用于實(shí)際.解實(shí)際問題,首先要讀懂題意,善于將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

        1. 如果一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根是它本身,那么這個(gè)實(shí)數(shù)分別是什么?

        2. 已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3a-1與-a+3,求29a+2的立方根.

        3. 已知 +(2y-x-14)2=0,求 的值.

        4. 比較大?。海?)- +3- +3;

        (2) 0.5.

        5.一個(gè)正方體的體積為18.49 cm3,求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)與表面積.(精確到0.01) L

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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