張景中　彭翕成

幾何題千變?nèi)f化，解無定法，這似乎已經(jīng)成為2 000年來人們的共識(shí).但人們還是沒有放棄，一直都在尋找一種“通法”.這里所說的通法，并不是說它能夠解決所有的幾何問題，而是指它能夠解決幾何中的很大一類問題.下面我們要介紹的就是這樣的一種通法——消點(diǎn)法.一般說來，只要題目中的條件可以用尺規(guī)作圖表示出來，并且結(jié)論可以表示成常用幾何量的多項(xiàng)式形式（常用幾何量包括面積、線段及角的三角函數(shù)），那么，就總可以用消點(diǎn)法一步一步地做出解答.

首先，我們用一個(gè)例子來介紹什么是消點(diǎn)法.

例1如圖1，在?荀ABCD中，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn).連接BE、BF，它們分別交AC于點(diǎn)R、T.求證：R、T分別為AC的三等分點(diǎn).

很多人在做幾何題的時(shí)候，即使書本上已經(jīng)畫好了幾何圖形，仍然會(huì)在草稿紙上重新畫一遍.這樣做，一是擔(dān)心添加輔助線的時(shí)候把書本上的圖形搞亂了，二是重新作圖也有利于理解題目意思.其實(shí)，幾何題難就難在不知道如何作輔助線.作輔助線屬于人類獨(dú)有的高級(jí)智慧，既需要平時(shí)大量的積累，更需要解題時(shí)的“靈機(jī)一動(dòng)”.能不能避開作輔助線呢？也是可以的.消點(diǎn)法就不需要作輔助線，但要求深入理解題目意思.

下面我們來重新作圖，要特別注意作圖的順序喲！

第一步：在平面上作A、B、C三點(diǎn).這三個(gè)點(diǎn)是任意畫的，不受約束.當(dāng)然，A、B、C三點(diǎn)不能在一條直線上，否則下面的圖形就沒法畫下去了.

第二步：作點(diǎn)D，使得AD∥BC，DC∥AB.

第三步：連接AC，并作出AD中點(diǎn)E和CD中點(diǎn)F.

第四步：連接BE交AC于點(diǎn)R，連接BF交AC于點(diǎn)T.

在該圖形中的所有點(diǎn)中，我們把A、B、C三點(diǎn)稱之為“自由點(diǎn)”，而將其他點(diǎn)稱之為“約束點(diǎn)”.之所以這樣劃分，是因?yàn)橐坏〢、B、C三點(diǎn)位置確定，那么其他點(diǎn)的位置也隨之確定，沒有變動(dòng)的可能了.

為了證明點(diǎn)T是AC的三等分點(diǎn)，從圖形可以看出需要證明= 2.我們的思路是：要證明的等式左端牽涉到好幾個(gè)點(diǎn)（A、C、T），但右端卻只有數(shù)字2，如果想辦法把字母A、C、T都消掉，不就水落石出了嗎？在這種思想的指導(dǎo)下，我們首先著手從式子 中消去最晚出現(xiàn)的點(diǎn)T.

用什么辦法消去一個(gè)點(diǎn)，這要看此點(diǎn)的來歷和它出現(xiàn)在什么樣的幾何量中.點(diǎn)T是AC、BF相交產(chǎn)生的，用我們前面所介紹的共邊定理共邊定理的內(nèi)容是：若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M，則有：= 可得：=.這就成功地消去了點(diǎn)T.此時(shí)卻多出了個(gè)點(diǎn)F.下一步就要消去點(diǎn)F.根據(jù)點(diǎn)F的來歷“點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)”，則S△CBF =S△BCD .由點(diǎn)F是CD上的點(diǎn)，且AB∥DC，則有S△ABF = S△ABC.接下來消去點(diǎn)D.根據(jù)點(diǎn)D的來歷“AD∥BC”，則S△BCD = S△ABC .于是一個(gè)簡(jiǎn)潔的證明產(chǎn)生了：= = = 2?= 2.同理，可再證點(diǎn)R是AC的三等分點(diǎn).

現(xiàn)在我們來總結(jié)一下.上題解題的順序和點(diǎn)的排列大有關(guān)系.題目的結(jié)論是= 2.怎么處理這個(gè)式子呢？解二元一次方程組有“消元法”.把未知數(shù)一個(gè)一個(gè)地消去，消到后面就解決了.這個(gè)方法在解幾何題的時(shí)候也可以借用，不妨稱之為“消點(diǎn)法”.消點(diǎn)法，就是從我們要處理的式子中消去約束點(diǎn).約束點(diǎn)消完了，問題往往就水落石出了.消約束點(diǎn)有個(gè)順序：后產(chǎn)生的先消去.在式子 中，點(diǎn)T是最后產(chǎn)生的，就先消點(diǎn)T.怎樣消去點(diǎn)T ？就要查查點(diǎn)T的來歷，正所謂“解鈴還須系鈴人”.依此類推即可.如果在消點(diǎn)的過程中，出現(xiàn)了新的約束點(diǎn)，也要按照順序消除.一般來說，自由點(diǎn)是不需要專門想辦法消掉的，到一定的時(shí)候，自然就會(huì)消掉.

例2如圖2，一個(gè)不規(guī)則四邊形ABCD，其中AG = GH = HD，BE = EF = FC.分別連接EG、FH.求證：S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

證明：根據(jù)作圖順序，將點(diǎn)分為兩個(gè)級(jí)別.第一級(jí)別：A、B、C、D；第二級(jí)別：G、E、F、H.

我們先消去G、F兩個(gè)點(diǎn).

S四邊形GEFH = S△GEH + S△EFH =S △AEH +S△CEH .

再消去E、H兩個(gè)點(diǎn). S△AEH +S△CEH =S四邊形AECH =S△AEC +S△CHA =? S △ABC +? S△CDA =S四邊形ABCD.

所以S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

例3如圖3，四邊形ABCD的邊AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為F、G，求 .

解析：我們將題目中的點(diǎn)分為兩個(gè)級(jí)別.第一級(jí)別：A、B、C、D；第二級(jí)別：E、F、G.下面給出求法.

S△EFG = S△EAG - S△EAF - S△AFG （S△ADG + S△EDG） -S△EAC -S△ACG = S△ADB +S△EDB -S四邊形AGCE =S△ABE -S四邊形AGCES四邊形 ABCG? S四邊形ABCD =S四邊形ABCD.所求的值為 .

在A、B、C、D四點(diǎn)確定之后，E、F、G三點(diǎn)也隨之確定，而E、F、G三點(diǎn)之間并無明確的先后順序.

在很多題目中，并不需要將點(diǎn)的級(jí)別分得很細(xì).譬如在例1中，完全可以將A、B、C、D看成是一個(gè)級(jí)別，因?yàn)槲覀儗?duì)平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)比較了解，沒有必要在熟悉的地方再做文章.又如在例3中，也不必將E、F、G再分成幾個(gè)級(jí)別.熟練之后，甚至不需要再在稿紙上作圖.眼睛一掃，題目各點(diǎn)的來龍去脈全部都清楚了，因?yàn)楹芏囝}目的條件也是按照作圖順序進(jìn)行敘述的.這也是一些解題高手能夠記住很多題目的原因.下一期，我們將列舉更多的例子，繼續(xù)介紹消點(diǎn)法的運(yùn)用.Y

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”