姜強(qiáng)柱

題型1一元二次方程的概念問(wèn)題

例1 關(guān)于x的方程（m－ ）xm2-1－x+3=0是一元二次方程，則m的值為.

解：根據(jù)一元二次方程的定義，得m2-1=2，m- ≠0.解之，得m=± ，m≠ .

所以m=- .

點(diǎn)評(píng)： 本題應(yīng)注意兩點(diǎn)：① 未知數(shù)的最高次數(shù)是2；② 二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

題型2一元二次方程的解法問(wèn)題

解一元二次方程時(shí)，首先考慮用因式分解法，這種方法最簡(jiǎn)捷；其次考慮用求根公式法，這種方法是萬(wàn)能的，它能解所有的一元二次方程；再次考慮用配方法，因?yàn)檫@種方法較為復(fù)雜.如果方程可以直接開(kāi)平方，就用直接開(kāi)平方法.

例2 已知關(guān)于x的方程2x2-ax-a2=0的一個(gè)根為1，求另一個(gè)根.

解：把1代入方程，得2-a-a2=0，即a2+a-2=0.

分解因式，得（a+2）（a-1）=0，所以a=-2或a=1.

當(dāng)a=-2時(shí)，原方程為x2+x-2=0.

解得x1=1，x2=-2，即另一個(gè)根為-2.

當(dāng)a=1時(shí)，原方程為2x2-x-1=0.解得x1=1，x2=- .即另一個(gè)根為- .故原方程的另一個(gè)根為-2或- .

例3 已知（x2+y2）2-y2=x2+6，求x2+y2的值.

解：原方程可化為（x2+y2）2-（x2+y2）-6=0.

分解因式，可得（x2+y2+2）（x2+y2-3）=0.

因x2+y2+2≠0，故x2+y2-3=0，即x2+y2=3.

點(diǎn)評(píng)： 一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，想求出x，y的值后，再求x2+y2的值是不可能的.故我們可以把x2+y2看成一個(gè)整體元，將方程化為關(guān)于x2+y2的一元二次方程，通過(guò)解方程達(dá)到求值的目的.

題型3一元二次方程根的判別式問(wèn)題

一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac，只要知道它的值，不需要解方程便能判斷方程根的情況.另外，它在解含有參數(shù)的一元二次方程中起著限制作用，即參數(shù)的取值要確保方程有實(shí)數(shù)根.

例4 已知關(guān)于x的方程mx2-（2m+1）x+m+3=0.

（1） m取何值時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2） m取何值時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

（3） m取何值時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

解：Δ=［-（2m+1）］2－4m（m+3）=-8m+1.

（1） 當(dāng)-8m+1＞0且m≠0，即m＜ 且m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2） 當(dāng)-8m+1=0且m≠0，即m= 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（3 ）當(dāng)-8m+1＜0且m≠0，即m＞ 時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)： 這類(lèi)問(wèn)題的一般解法是：首先計(jì)算Δ，然后根據(jù)題設(shè)列出不等式或方程，解方程或不等式求出參數(shù)的值或取值范圍；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.

例5 已知關(guān)于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0，求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

證明：Δ=［2（2-m）］2-4（3-6m）=4m2+8m+4=4（m+1）2.

∵無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，總有4（m+1）2≥0，即Δ≥0，

∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

題型4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，與它有關(guān)的代數(shù)式計(jì)算變化多樣，要引起重視.

例6 已知方程x2-5x+7=0的兩根為x1，x2，求下列代數(shù)式的值：

（1） （x1-1）（x2-1）；（2）+ ；（3）+ .

解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=5，x1x2=7.

（1） （x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=7-5+1=3.

（2）+ = = .

（3）+ =（x1+x2）2-2x1x2=52-2×7=11.

點(diǎn)評(píng)： 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值時(shí)，所求參數(shù)的值一定要保證方程有實(shí)數(shù)根.因此，根與系數(shù)的關(guān)系要與判別式Δ≥0結(jié)合起來(lái)用.

題型5一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題

列一元二次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是審清題意，發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并將其“譯”成數(shù)學(xué)式子.一般步驟是：① 審題，明確已知與未知；② 設(shè)未知數(shù)，可直接設(shè)或者間接設(shè)；③ 列方程，把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程；④ 解方程，檢驗(yàn)后寫(xiě)出答語(yǔ).

例7 一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，百位上的數(shù)字等于個(gè)位上數(shù)字的平方.若這個(gè)三位數(shù)比它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的25倍大202，求這個(gè)三位數(shù).

解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x+3，百位上的數(shù)字為x2.

由題意，得100x2+10（x+3）+x=25x（x+3）+202.

整理，得75x2-64x-172=0. 解得x1=2，x2=- （不合題意，舍去）.

∴x+3=5，x2=4.這個(gè)三位數(shù)是452.

例8 某農(nóng)具廠今年1月份生產(chǎn)一批甲、乙兩種型號(hào)的新式農(nóng)具，其中乙型農(nóng)具16臺(tái).從2月份起，甲型農(nóng)具每月增產(chǎn)10臺(tái)，乙型農(nóng)具按相同的增長(zhǎng)率逐月遞增.又知2月份甲、乙兩種型號(hào)農(nóng)具的產(chǎn)量之比為3∶2，3月份兩種型號(hào)的農(nóng)具產(chǎn)量之和為65臺(tái).求乙型農(nóng)具每月的增長(zhǎng)率和甲型農(nóng)具1月份的產(chǎn)量.

分析： 本題要求的有兩個(gè)未知數(shù)，間接的未知數(shù)有多個(gè)，但2月份的產(chǎn)量起承上啟下的作用，因此可以設(shè)2月份甲型農(nóng)具的產(chǎn)量為3x臺(tái)，見(jiàn)下表.

解：設(shè)2月份甲型號(hào)農(nóng)具的產(chǎn)量為3x臺(tái).

由題意，得（3x+10）+1+ ?2x=65.

整理，得x2＋12x－220＝0. 解得x1＝10，x2＝-22（不合題意，舍去）.

∴ ×100％＝25％，3x-10＝20.

答：乙型農(nóng)具每月的增長(zhǎng)率為25％，甲型農(nóng)具1月份的產(chǎn)量為20臺(tái).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”