毛玉忠

縱觀近年來全國(guó)各地中考試題，有關(guān)一元二次方程試題的考查主要有兩類：一類是以直接的形式考查一元二次方程的解的問題；一類是以一元二次方程為解決問題的工具，主要反映在綜合應(yīng)用上.

一、一元二次方程的基本解法

類型1 因式分解法.

例1 解方程（2x2+3x）2-4（2x2+3x）-5=0.

解：將“2x2+3x”看成一個(gè)未知數(shù)，對(duì)方程左端分解因式.

原方程即（2x2+3x+1）（2x2+3x-5）=0.

由2x2+3x+1=0，得x1=-1，x2=- .

由2x2+3x-5=0，得x3=- ，x4=1.

故原方程的根為：x1=-1，x2=- ，x3=- ，x4=1.

類型2 配方法.

這類題目借助于配方，化方程為“x2=a（a>0）”的形式直接求解.

例2 解方程x2+ =2x- +1.

解：由于x2+ =x- 2+2，故原方程化為：x- 2-2x- +1=0.

即x- -12=0，所以x- -1=0.

去分母，得x2-x-1=0，配方，得x- 2= .

解得x- =± .故x1= ，x2= .

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根.

類型3 公式法.

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）而言，借助于配方，得

x+ 2= .

當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，x+ =± .

∴x1= ，x = .

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，兩根相等，且為x1=x2=- .

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，無實(shí)數(shù)根.

例3 解方程x2+4x-1=0.

解：由a=1，b=4，c=-1，可得b2-4ac=20.

代入公式，得x= =-2± .

∴原方程的解為x1=-2- ，x2=-2+ .

例4 判斷關(guān)于x的方程x2+3（m-1）x+2m2-4m+ =0的根的情況.

解：∵Δ=9（m-1）2-42m2-4m+ =m2-2m+2=（m-1）2+1，

∴對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，Δ>0.故方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

類型4 借助于根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程求解.

如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，則滿足

x1+x2=- ，x1x2= .

例5 已知x+y=5，xy=-6，求x，y的值.

解法1：由x+y=5，得y=5-x.代入xy=-6，得x（5-x）=-6.

整理，得x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6.

∴x=-1，y=6， 或x=6，y=-1.

解法2：由于x+y=5，xy=-6，所以可以得到以x，y為根的一元二次方程z2-5z-6=0，可解得z1=-1，z2=6.

∴x=-1，y=6， 或x=6，y=-1.

二、一元二次方程的應(yīng)用

類型1 解決實(shí)際應(yīng)用問題的需要.

例6 有一張長(zhǎng)方形的大型桌子，長(zhǎng)為6 m，寬為3 m，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長(zhǎng)度相同.這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬各是多少？（精確到0.1 m）

解：設(shè)臺(tái)布下垂長(zhǎng)為x m，則臺(tái)布的長(zhǎng)為（6+2x） m，寬為（3+2x） m.

由題意可列方程（6+2x）（3+2x）=2×3×6.

整理，得2x2+9x-9=0.

∴x= = .

∴x1= （不合題意，舍去），x2= ≈0.84.

∴6+2x≈7.7（m），3+2x≈4.7（m）.

答：臺(tái)布的長(zhǎng)約為7.7 m，寬約為4.7 m.

例7 A，B兩地相距18 km.甲工程隊(duì)要在A，B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣的管道，乙工程隊(duì)要在A，B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道，已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1 km，甲工程隊(duì)提前3周開工，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù).求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少千米管道.

解：設(shè)甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道x km，則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道（x+1） km.

根據(jù)題意，得 - =3.解得x1=2，x2=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)x1=2，x２=-3都是原方程的根，但x２=-3不符合題意，舍去.

∴x+1=3.

答：甲隊(duì)每周鋪設(shè)管道2 km，則乙隊(duì)每周鋪設(shè)3 km.

類型2 解決其他數(shù)學(xué)問題的需要.

例8 如圖，已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，AC=2cm，AD∶DB=4∶1，求AD的長(zhǎng).

解：設(shè)AD=4x，則DB=x.

由相交弦定理，得CD2=AD?DB.即CD2=4x2.

在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2.

即（2 ）2=（4x）2+4x2.解得x1= ，x2=- （舍去）.

所以AD=4x=4 （cm）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”