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        一元二次方程習(xí)題課講義

        2008-09-27 09:18:10毛玉忠
        關(guān)鍵詞:工程隊(duì)解方程一元二次方程

        毛玉忠

        縱觀近年來全國(guó)各地中考試題,有關(guān)一元二次方程試題的考查主要有兩類:一類是以直接的形式考查一元二次方程的解的問題;一類是以一元二次方程為解決問題的工具,主要反映在綜合應(yīng)用上.

        一、一元二次方程的基本解法

        類型1 因式分解法.

        例1 解方程(2x2+3x)2-4(2x2+3x)-5=0.

        解:將“2x2+3x”看成一個(gè)未知數(shù),對(duì)方程左端分解因式.

        原方程即(2x2+3x+1)(2x2+3x-5)=0.

        由2x2+3x+1=0,得x1=-1,x2=- .

        由2x2+3x-5=0,得x3=- ,x4=1.

        故原方程的根為:x1=-1,x2=- ,x3=- ,x4=1.

        類型2 配方法.

        這類題目借助于配方,化方程為“x2=a(a>0)”的形式直接求解.

        例2 解方程x2+ =2x- +1.

        解:由于x2+ =x- 2+2,故原方程化為:x- 2-2x- +1=0.

        即x- -12=0,所以x- -1=0.

        去分母,得x2-x-1=0,配方,得x- 2= .

        解得x- =± .故x1= ,x2= .

        經(jīng)檢驗(yàn),它們都是原方程的根.

        類型3 公式法.

        對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)而言,借助于配方,得

        x+ 2= .

        當(dāng)b2-4ac>0時(shí),x+ =± .

        ∴x1= ,x = .

        當(dāng)b2-4ac=0時(shí),兩根相等,且為x1=x2=- .

        當(dāng)b2-4ac<0時(shí),無實(shí)數(shù)根.

        例3 解方程x2+4x-1=0.

        解:由a=1,b=4,c=-1,可得b2-4ac=20.

        代入公式,得x= =-2± .

        ∴原方程的解為x1=-2- ,x2=-2+ .

        例4 判斷關(guān)于x的方程x2+3(m-1)x+2m2-4m+ =0的根的情況.

        解:∵Δ=9(m-1)2-42m2-4m+ =m2-2m+2=(m-1)2+1,

        ∴對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,Δ>0.故方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

        類型4 借助于根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程求解.

        如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,則滿足

        x1+x2=- ,x1x2= .

        例5 已知x+y=5,xy=-6,求x,y的值.

        解法1:由x+y=5,得y=5-x.代入xy=-6,得x(5-x)=-6.

        整理,得x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6.

        ∴x=-1,y=6, 或x=6,y=-1.

        解法2:由于x+y=5,xy=-6,所以可以得到以x,y為根的一元二次方程z2-5z-6=0,可解得z1=-1,z2=6.

        ∴x=-1,y=6, 或x=6,y=-1.

        二、一元二次方程的應(yīng)用

        類型1 解決實(shí)際應(yīng)用問題的需要.

        例6 有一張長(zhǎng)方形的大型桌子,長(zhǎng)為6 m,寬為3 m,有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍,并且鋪在桌面上時(shí),各邊垂下的長(zhǎng)度相同.這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬各是多少?(精確到0.1 m)

        解:設(shè)臺(tái)布下垂長(zhǎng)為x m,則臺(tái)布的長(zhǎng)為(6+2x) m,寬為(3+2x) m.

        由題意可列方程(6+2x)(3+2x)=2×3×6.

        整理,得2x2+9x-9=0.

        ∴x= = .

        ∴x1= (不合題意,舍去),x2= ≈0.84.

        ∴6+2x≈7.7(m),3+2x≈4.7(m).

        答:臺(tái)布的長(zhǎng)約為7.7 m,寬約為4.7 m.

        例7 A,B兩地相距18 km.甲工程隊(duì)要在A,B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣的管道,乙工程隊(duì)要在A,B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道,已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1 km,甲工程隊(duì)提前3周開工,結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù).求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少千米管道.

        解:設(shè)甲工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道x km,則乙工程隊(duì)每周鋪設(shè)管道(x+1) km.

        根據(jù)題意,得 - =3.解得x1=2,x2=-3.

        經(jīng)檢驗(yàn)x1=2,x2=-3都是原方程的根,但x2=-3不符合題意,舍去.

        ∴x+1=3.

        答:甲隊(duì)每周鋪設(shè)管道2 km,則乙隊(duì)每周鋪設(shè)3 km.

        類型2 解決其他數(shù)學(xué)問題的需要.

        例8 如圖,已知AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C是半圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,AC=2cm,AD∶DB=4∶1,求AD的長(zhǎng).

        解:設(shè)AD=4x,則DB=x.

        由相交弦定理,得CD2=AD?DB.即CD2=4x2.

        在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2.

        即(2 )2=(4x)2+4x2.解得x1= ,x2=- (舍去).

        所以AD=4x=4 (cm).

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”

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