何春華

我們經(jīng)常會(huì)遇到一些與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的面積問(wèn)題，三角形或四邊形的頂點(diǎn)都可以用坐標(biāo)表示出來(lái)，讓我們求圖形的面積.下面我們就將這類求面積的問(wèn)題總結(jié)一下，希望能對(duì)大家有所啟發(fā).

1. 求一邊在坐標(biāo)軸上的三角形的面積

例1如圖1，在△ABC中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0），（6，0），（2，4），求△ABC的面積.

[分析：]這道題要求的是△ABC的面積，由于△ABC的一邊在坐標(biāo)軸上，所以可以把線段AB看做三角形的底邊，把點(diǎn)C到x軸的垂線段看做三角形的高，這樣便可順利地求出面積.

解： S△ABC=×5×4=10.

[評(píng)注：]當(dāng)三角形的一邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，往往可以把這一邊看做底邊，把另一頂點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線段作為高，然后再求面積.當(dāng)圖形平移到坐標(biāo)軸上其他位置時(shí)一樣可以用這種方法求解.

2. 求三條邊都不在坐標(biāo)軸上的三角形的面積

例2如圖2，在△AOB中，點(diǎn)A、O、B的坐標(biāo)分別是（1，5），（0，0），（4，2），求△AOB的面積.

[分析：]對(duì)于這類題，可將所求三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形的面積的和或差，如△AOB的面積可以看做一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)小三角形的面積.要注意，與x軸（或y軸）平行的線段上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）相同，線段的長(zhǎng)度等于線段的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）的差的絕對(duì)值.

解： 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于C.分別延長(zhǎng)線段EA和線段CB，使它們相交于D點(diǎn)，則∠EDC = 90°.由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知，OC=4，BC=2，BD=3，AD=3，AE=1，OE=5.所以有

S△AOB=S矩形EOCD-S△AEO-S△ADB-S△OBC

=4×5-×5×1-×3×3-×4×2

=20---4

=9.

[評(píng)注：]對(duì)于三條邊都不在坐標(biāo)軸上的三角形來(lái)說(shuō)，求面積時(shí)一般通過(guò)構(gòu)造特殊圖形來(lái)解決問(wèn)題，如在這道題中我們將△AOB的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形的面積與三個(gè)小三角形的面積之差.如果將三角形平移到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)其他位置，解題方法類似.

3. 求一邊在坐標(biāo)軸上的四邊形的面積

例3如圖3，四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O、A、B、C 四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（1，2），（5，4），（6，0），求四邊形OABC的面積.

[分析：]過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，這樣四邊形OABC的面積就變成兩個(gè)三角形的面積與一個(gè)直角梯形的面積之和了.

解： 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E.

由點(diǎn)的坐標(biāo)的意義可知，AD=2，OD=1，DE=4，EC=1，BE=4.所以有

S四邊形OABC=S△AOD+S直角梯形ADEB+S△BEC

=×1×2+×（2+4）×4+×1×4

=1+12+2

=15.

故四邊形OABC的面積為15.

[評(píng)注：]這道題還可以用例2的方法解，把四邊形OABC的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)三角形和一個(gè)小矩

形的面積，同學(xué)們不妨一試.

4. 求四條邊都不在坐標(biāo)軸上的四邊形的面積

例4如圖4，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，4），（-3，2），（-1，-1），（2，-1），求四邊形ABCD的面積.

[分析：]四邊形ABCD的面積可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方形的面積減去一些小三角形的面積.

解： 過(guò)點(diǎn)A作AF與直線CD垂直，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作BE與直線CD 垂直，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AG與直線BE垂直，垂足為G.

由點(diǎn)的坐標(biāo)的意義可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.所以有

S四邊形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF

=5×7-×2×7-×2×3-×2×5

=35-7-3-5

=20.

所以四邊形ABCD的面積為20.

[評(píng)注：]四邊形的面積往往可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形的面積與一些小三角形面積的差（或和）的形式，這已成為解決平面直角坐標(biāo)系中圖形面積問(wèn)題的基本方法.

【責(zé)任編輯：潘彥坤】

零——始于何時(shí)何地

零對(duì)于數(shù)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是必不可少的．但是，當(dāng)開(kāi)始創(chuàng)造數(shù)的系統(tǒng)時(shí)，并沒(méi)有自動(dòng)包含零．事實(shí)上，古埃及人的數(shù)的系統(tǒng)就沒(méi)有零．公元前1700 年左右，六十進(jìn)制數(shù)的位置系統(tǒng)發(fā)展起來(lái)．古巴比倫人將它與他們的360 天的日歷相結(jié)合，并進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，但其中并沒(méi)有設(shè)計(jì)零的符號(hào)，而是在需要放置零的地方留一個(gè)空的位置.大約在公元前300 年，巴比倫人開(kāi)始用一個(gè)符號(hào)表示零．在巴比倫人之后，瑪雅人和印度人發(fā)展了數(shù)的系統(tǒng)，他們的系統(tǒng)內(nèi)有一個(gè)符號(hào)代表零，這個(gè)符號(hào)既起位置的作用，也起數(shù)零的作用．