朱亞邦江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，全國優(yōu)秀教師，江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員，中華全國中學(xué)教育研究會(huì)常委，曾兼任多家省級(jí)刊物通訊員、特約編委，被各級(jí)各類刊物錄用文章逾百篇，曾獲江蘇省“紅杉樹”園丁金質(zhì)獎(jiǎng).

平行線這部分內(nèi)容很重要，它是我們以后學(xué)習(xí)幾何圖形的基礎(chǔ)，因此我們要認(rèn)真學(xué)好平行線的有關(guān)內(nèi)容.為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，特歸納如下幾種題型供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、基礎(chǔ)題

1. 平行線判定題

例1如圖1，已知∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ).直線l1與直線l2平行嗎？為什么？

[解析：]因?yàn)椤?與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ)，所以∠1=∠3，故l1∥l2.

2. 平行線性質(zhì)題

例2如圖2，已知AD∥EF∥BC，EG∥AC，則已標(biāo)出的角中有幾個(gè)角與∠1相等？

[解析：]因?yàn)镋F∥BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠5=∠6.又由EG∥AC，可知∠1=∠5，故∠1=∠6.而由AD∥BC，可得∠1=∠4.共有5個(gè)角與∠1相等.

3. 平行線的判定與性質(zhì)綜合題

例3如圖3，已知∠AED=∠C，∠B=∠3.∠1與∠2之間存在什么關(guān)系？為什么？

[解析：]因?yàn)椤螦ED=∠C，所以DE∥BC.可得∠B=∠ADE.

由∠B=∠3，可知∠ADE=∠3，所以AB∥EF.從而有∠2=∠4.

又因?yàn)椤?與∠4互補(bǔ)，所以∠1與∠2互補(bǔ).

二、開放題

1. 條件開放題

例4如圖4，CD平分∠ACB，DE∥AC.請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使∠1=∠2=∠3=∠4.

[解析：]觀察圖4，∠1、∠2、∠3、∠4與直線CD或直線EF有關(guān)，所以可以考慮在這兩條直線上尋找解題的突破口.

兩條直線比較特殊的位置關(guān)系有平行和垂直，這里只有這兩條直線平行能得到∠1=∠2=∠3=∠4.因此可補(bǔ)充條件EF∥CD，或補(bǔ)充一個(gè)能使這兩條直線平行的條件也可，如∠1與∠CEF互補(bǔ).

2. 結(jié)論開放題

例5如圖5，AB∥CD，EG、EH、FG、FH分別是∠BEF、∠AEF、∠EFD、∠EFC的平分線.請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)互相垂直的線段，并說明理由.

[解析：]EG⊥EH.因?yàn)镋G、EH分別平分∠BEF和∠AEF，所以∠1=∠BEF，∠2=∠AEF.故∠GEH=∠1+∠2=（∠BEF+∠AEF）=90°，即EG⊥EH.

EG⊥FG.因?yàn)镋G、FG分別平分∠BEF和∠EFD，所以∠1=∠BEF，∠3=∠EFD.又因?yàn)锳B∥CD，所以∠BEF+∠EFD=180°.故∠1+∠3=（∠BEF+∠EFD）=90°，即EG⊥FG.

三、探究題

1. 條件探究題

例6如圖6，∠1=∠2，請(qǐng)你寫出一個(gè)能推出CE平分∠ACD的條件.

[解析：]可從結(jié)論來考慮，要想得出CE平分∠ACD，從角的方面考慮應(yīng)有∠2=∠3，從而可以找能使∠2=∠3成立的條件.如CE∥AB或∠2=∠4等均可.

2. 結(jié)論探究題

例7如圖7，AB∥PQ∥CD，∠1=55°，∠EPF=100°.∠1與∠2相等嗎？為什么？

[解析：]因?yàn)锳B∥PQ，所以∠3=∠1=55°.

因?yàn)椤螮PF=100°，所以∠4=100°-55°=45°.

又由PQ∥CD，可得∠2=∠4=45°.

因∠1=55°，故∠1≠∠2.

3. 規(guī)律探究題

例8如圖8，AB∥CD，我們只要過E點(diǎn)作EF∥AB，即可推出∠AEC=∠A+∠C.觀察圖9，∠2+∠4+∠6+…與∠1+∠3+∠5+∠7+…+∠C存在怎樣的關(guān)系？

[解析：]依據(jù)圖8構(gòu)造出圖10，則由圖8的結(jié)論可知∠E=∠A+∠EGH，∠F=∠HGF+∠C，故∠E+∠F=∠A+∠EGF+∠C.

由圖8和我們所構(gòu)造的圖10的結(jié)論可以推出，在圖9中有∠2+∠4+∠6+…=∠1+∠3+∠5+∠7+…∠C.

【責(zé)任編輯：潘彥坤】