樊雨生

在“三角形”這一章里我們認(rèn)識(shí)了三角形的高線，你是否注意到了它的獨(dú)特性呢？我們來(lái)總結(jié)一下三角形高線的用法.

1. 利用高線與邊垂直的性質(zhì)求角度

三角形的高線與三角形的邊可以構(gòu)成直角三角形，直角三角形的出現(xiàn)為角度的轉(zhuǎn)換與計(jì)算提供了便利.

例1已知△ABC的高為AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度數(shù)．

[思考與分析]由于AD為BC邊上的高，過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線時(shí)，垂足D可能落在邊BC上，也可能落在 邊BC的延長(zhǎng)線上.因此，我們需要分情況討論．

解：（1）當(dāng)垂足D落在邊BC上時(shí)的情形如圖1.

因?yàn)椤螧AD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.

（2）當(dāng)垂足D落在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的情形如圖2.

因?yàn)椤螧AD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．

所以∠BAC為90°或50°．

【小結(jié)】 三角形可以分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形三類，題目所給條件中如果沒(méi)有明確說(shuō)明三角形的具體類型，我們就要分類討論，以防遺漏.

2. 利用三角形的面積公式求線段的長(zhǎng)度

例2如圖3，在△ABC中，AD、CE是兩條高，BC=5 cm，AD=3 cm，CE=4 cm，你能求出AB的長(zhǎng)嗎？

[思考與分析]由于三角形的面積等于底與對(duì)應(yīng)高乘積的一半，因此三角形的面積就有三種不同的表達(dá)方式.若設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，對(duì)應(yīng)邊上的高分別為h1、h2、h3，那么三角形的面積S=ah1=bh2=ch3.本題可利用S△ABC=BC·AD=AB·CE解答.

解：S△ABC=BC·AD=AB·CE.

所以5 × 3=AB × 4.解得AB=（cm）．

【小結(jié)】用同一個(gè)三角形的不同的面積表達(dá)式建立等式求三角形中線段的長(zhǎng)度，是一種很重要的方法，在今后的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)注意這種方法的運(yùn)用．

例3如圖4，在△ABC中，AB=AC，AC邊上的高BH=10 cm，D為邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求DE+DF.

[思考與分析]BH、DE、DF均為相應(yīng)線段的垂線段，AB=AC，可把垂線段作為相應(yīng)三角形的高.連接AD，則DE、DF、BH分別為△ABD、△ADC、△ABC的高，可用三角形的面積轉(zhuǎn)換它們的關(guān)系.

解：連接AD.因?yàn)镾△ABD=AB·DE，S△ADC=AC·DF，S△ABC=AC·BH，S△ABD+ S△ADC= S△ABC，所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

又因?yàn)锳B=AC，BH=10 cm，所以DE+DF=BH=10 cm.

【小結(jié)】點(diǎn)D在BC上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），結(jié)論DE+DF=BH總成立.