王 鋒
王鋒中學高級教師,現(xiàn)任職于江蘇豐縣中學初中部,中國教育學會數(shù)學教育研究發(fā)展中心優(yōu)秀會員,中國數(shù)學奧林匹克一級教練,數(shù)學優(yōu)秀骨干教師,其業(yè)績被收錄于《中國當代 數(shù)學家與數(shù)學英才大辭典》,參編或主編有多部教學輔導用書,課題“初中數(shù)學思想方法”已成功結題.
1. 平面直角坐標系的基本知識
在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就構成了平面直角坐標系.水平的數(shù)軸稱為x軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸.兩坐標軸的交點稱為坐標原點.
如圖1,兩條坐標軸將坐標平面分成的四個區(qū)域稱為象限,按逆時針順序分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,坐標軸不屬于任何象限.
建立平面直角坐標系以后,平面內的點就與一對有序的實數(shù)(點的坐標)建立了一一對應的關系.
2. 點與坐標之間的轉化
(1)根據(jù)點P的坐標(a,b)描出點P的位置:先在x軸上找到表示a的點,過此點作x軸的垂線,再在y軸上找到表示b的點,過此點作y軸的垂線,兩條垂線的交點即為要確定的點P的位置.
根據(jù)點的位置求點的坐標是上述過程的逆過程.
(2)點的坐標的特征:x軸上點的縱坐標為0;y軸上點的橫坐標為0;坐標原點為(0,0).各個象限內點的坐標的符號如圖1所示.
例1在平面直角坐標系中,請將點A(3,3),B(-1,-1),C(1,1),D(5,3),E(-1,-4),F(xiàn)(-5,-2)按下列要求分為兩類,并寫出同類具有而另一類不具有的一個特征.
(1)點________是同類點,特征是___________.
(2)點________是同類點,特征是___________.
[解析:]點A、C、D是同類點,特征是它們都在第一象限;點B、E、F是同類點,特征是它們都在第三象限.答案不唯一.
3. 平移前后點的坐標之間的關系
一個點向右平移m個單位,其橫坐標加上m,向左平移m個單位,其橫坐標減去m;向上平移m個單位,其縱坐標加上m,向下平移m個單位,其縱坐標減去m.
例2在平面直角坐標系中,描出點(0,4),(3,1),(2,0),(7,0),(6,1),(9,4),(0,4),用線段將各點順次連接起來.觀察你所描出的圖形,你覺得它像什么?將各點的橫坐標分別減去3,縱坐標分別減去2,再將它們用線段順次連接起來,與原圖形相比,所得圖形有什么變化?
[解析:]如圖2,圖形像一個碗.各點的橫坐標分別減去3,縱坐標分別減去2后,所得各點的坐標依次是(-3,2),(0,-1),(-1,-2),(4,-2),(3,-1),(6,2),(-3,2).所得圖形形狀和大小都不變,是原圖形先向左平移3個單位長度后,再向下平移2個單位長度得到的.
4. 平面直角坐標系的實際應用
(1)在實際情景中,給出兩個物體(可看做點)的位置(坐標),確定另外一個物體的位置時,常采用逆向思維的方法,先根據(jù)所給的兩個點的坐標,畫出平面直角坐標系,然后再由所求物體與已知物體的位置關系找到與它對應的點的坐標.
(2)建立平面直角坐標系,描述物體的位置或求平面圖形上某點的坐標時,應根據(jù)具體情景或圖形特征,選取適當?shù)膮⒄拯c為原點建立平面直角坐標系.
例3如圖3,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,我們稱每個小正方形的頂點為格點,以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.
(1)圖中的格點三角形ABC是由格點三角形DEF通過怎樣的變換得到的?
(2)在圖中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢懗觥鰽BC各頂點的坐標.
[解析:](1)將 △DEF 先向下平移4個單位長度,再向右平移5個單位長度可得到△ABC.
(2)答案不唯一,只要正確建立平面直角坐標系并正確寫出各點坐標即可.如按照圖4所示的方法建立平面直角坐標系,則點A(0,0),C(2,-1),B(2,3).
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版2008年4期