丁學(xué)明

幻方，在我國也稱縱橫圖，它的神奇特點(diǎn)吸引了無數(shù)人.從我國古代的“河出圖，洛出書，圣人則之”的傳說起，系統(tǒng)地對(duì)幻方進(jìn)行研究的第一人，當(dāng)數(shù)我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝.

楊輝，字謙光，錢塘（今杭州）人，我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，與秦九韶、李冶、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.楊輝在我國古代數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育史上占有十分重要的地位.

楊輝一生的數(shù)學(xué)著作很多，共有五種二十一卷，《詳解九章算法》（1261年）十二卷，《日用算法》（1262年）二卷，《乘除通變本末》（1274年）三卷，《田畝比類乘除捷法》（1275年）二卷，《續(xù)古摘奇算法》（1275年）二卷等.在今天看來，楊輝在數(shù)學(xué)方面的主要成就有：發(fā)現(xiàn)了“楊輝三角形”；系統(tǒng)研究縱橫圖（幻方）并得出重要結(jié)論；研究出三角垛、四隅垛等的求和公式；對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行重新分類等.

楊輝對(duì)幻方的研究源于一個(gè)小故事.當(dāng)時(shí)楊輝是臺(tái)州的地方官，一次外出巡游，碰到一小孩子擋道，楊輝問明原因才知道是一小孩子在地上做一道數(shù)學(xué)題.楊輝一聽有了興趣，下轎來到小孩子旁問是什么題.原來，這個(gè)小孩子在算一位老先生給他出的一道趣題：把1到9的數(shù)字分三行三列排列，不論豎著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都等于15.

楊輝看到這個(gè)算題，想起他在西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮記》書中也見過.楊輝想到這兒，和這個(gè)小孩子一起算了起來，直到午后，兩人終于擺出了結(jié)果（如圖1）.

后來，楊輝隨這個(gè)小孩子來到老先生的住處，與老先生談?wù)撈饠?shù)學(xué)問題來，老先生說：“北周甄鸞所注《數(shù)術(shù)記遺》一書中寫過‘九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央.”楊輝聽了，與小孩子擺出來的完全一樣.

楊輝回家后，反復(fù)琢磨，終于研究出了三階幻方（也叫洛書或九宮圖）的構(gòu)造方法，然后他又系統(tǒng)地研究了四階幻方至十階幻方.在這幾種幻方中，楊輝只給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說明，四階以上幻方，楊輝只畫出圖形而未留下作法.但他所畫的五階、六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無誤，可見他已經(jīng)掌握了高階幻方的構(gòu)成規(guī)律.

下面是楊輝研究和總結(jié)出的四階幻方（花十六圖）的構(gòu)造方法：以十六子依次作四行排列，先以外四角對(duì)換，一換十六、四換十三，后以內(nèi)四角對(duì)換，六換十一、七換十，橫直上下斜角，皆三十四數(shù).如圖2.

楊輝給出的正方形幻方共有十三幅，它們是：洛書數(shù)（三階幻方）一幅，花十六圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅，六六圖（六階幻方）兩幅，衍數(shù)圖（七階幻方）兩幅，易數(shù)圖（八階幻方）兩幅，九九圖（九階幻方）一幅，百子圖（十階幻方）一幅.他把這些研究成果寫進(jìn)了《續(xù)古摘奇算法》一書中.同時(shí)，書中還有六幅幻圓，為中國幻方、幻圓組合技術(shù)作出了重大貢獻(xiàn).

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