平國強

小學數(shù)學中的“解決問題”可以廣義地理解為通過思考，設計某種程序或行動，使“他”從當前的狀態(tài)到達所期望的目標的狀態(tài)。這里所說的“問題”，是指他有一個目標，但他不能用原有的經(jīng)驗直接到達目標，即當前狀態(tài)與目標狀態(tài)之間存在障礙，故解決問題重在過程。顯然，“解決問題”應該是數(shù)學學習的基本方式，是數(shù)學學習的“常態(tài)”。數(shù)學概念、計算法則、空間知識等的學習，都應該體現(xiàn)為解決問題的過程，只有在過程中，學生才能真正學會探索、學會應用、發(fā)展思維。

然而，當我們提及“解決問題”教學時，其內(nèi)涵往往是特指教材中以“解決問題”為標題或以此為指向的例題和單元。這樣理解未嘗不可，但容易產(chǎn)生一個問題：將“解決問題”與原來的“應用題”等同起來。

狹義地講，數(shù)學中的“解決問題”是根據(jù)數(shù)學情境，理解與簡化信息，綜合運用數(shù)學知識，分析問題結構，提煉數(shù)量關系與方法模型，獲得問題結果或解決的程序，積累數(shù)學經(jīng)驗、發(fā)展數(shù)學思維的過程。因此，無論是廣義還是狹義的理解，“解決問題”教學與“應用題”教學都是有區(qū)別的。傳統(tǒng)的應用題教學，其目標是使學生熟練解答各類形式化的習題，一類一例，分類訓練，以便再次碰到相同類型的問題時能正確回憶，順利解決。重視的是解題，關注的是形式，造成了應用題與其他數(shù)學內(nèi)容割裂封閉，獨立成體系。新課程里的“解決問題”，旨在通過讓學生綜合應用所學數(shù)學知識，解決帶有現(xiàn)實背景的數(shù)學問題，從而提高學生的知識運用能力和數(shù)學應用意識，發(fā)展數(shù)學思維。因此它更關注解決問題的過程與策略，關注學生從問題情境中獲取信息、提煉方法模型的經(jīng)歷，關注學生在解決問題過程中表現(xiàn)出來的思維的個性化和創(chuàng)造性，關注由此積累起來的解決實際問題的經(jīng)驗和這種經(jīng)驗的遷移能力，從而提高數(shù)學素養(yǎng)。

由此可見，“解決問題”教學的核心是發(fā)展學生的數(shù)學思維，而這也是數(shù)學教育的根本目的。本文就從這個角度提出“解決問題”教學應該關注的重點。

一、見樹見林，整體把握“思維梳理”的階梯。

從教師的角度看，胸中有全局，了解并熟悉小學數(shù)學各個學習階段“解決問題”的教學內(nèi)容、教學目標及學習過程中的思維關注點，是十分重要的。唯此，我們才能避免教學中的“見樹不見林”現(xiàn)象，保持思維梳理的延續(xù)性，這在當前傳統(tǒng)的應用題內(nèi)容與教法體系被完全打破，而新的內(nèi)容與教法體系尚處混沌初開的時節(jié)顯得尤為必要。

1.把握解決問題的縱向發(fā)展階段。

通過分析可以知道，小學數(shù)學“解決問題”總體上呈現(xiàn)如下特征：問題情境從“非形式化、非良構型、非類型化”向“形式化、良構型和適度類型化”發(fā)展；解答方法從“倡導自主多樣”向“構建基本模型”發(fā)展。事實上，這個過程正反映了“生活數(shù)學”向“學校數(shù)學”的上升過程，其間對思維訓練的要求逐步提高。

“解決問題”在內(nèi)容上則呈現(xiàn)出以下階段性的特征：

由此可見，只有把握好各個教學階段的思維梳理重點，才能將“解決問題”的教學目標落到實處，有效有序地促進學生思維的發(fā)展。

2.注意解決問題類型的橫向拓展。

現(xiàn)行實驗教材所設計的“解決問題”的例題與以往的教材相比，大大地減少了。在這樣的背景下，我們必須思考：“解決問題”是否就是學習這幾個例題所呈現(xiàn)的問題類型？學生解決問題的能力如何得到真正的提高？筆者的觀點是應該采用“由典型例題向一般數(shù)學問題拓展”的設計思路，改變以往那種“通過大量的例題學習與形式訓練讓學生掌握各類問題的解答方法”的教學思路，將例題所提供的解決問題的方法作為基本的思考模型，去實現(xiàn)“多情境、跨領域”的問題拓展。例如：

這些拓展性的問題，擁有共同的解法模型，但卻不局限于例題的類型，使學生能不斷面臨新的問題，主動思考。

二、突出關鍵，明確解決問題的思維過程。

這是在明確各階段的教學內(nèi)容和思維梳理重點基礎上的又一個關注點，它應體現(xiàn)兩個方面：一是面對具體問題時知道解決的思維過程，二是清楚解決該問題的關鍵所在。它涉及問題能否被順利解決這一基本目標。

1.梳理解決問題的思維過程。

如果將G·波利亞關于數(shù)學解題過程的論述作一個簡化提煉，應該可以用“理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思”八個字來表示，而這正是教師在解決問題的教學中需要通過思考、交流與梳理讓學生領悟到的解決問題的一般過程，并且前兩個步驟應該成為我們梳理的重點。因為“理解與轉(zhuǎn)換”實際上反映了“數(shù)學信息的獲取與有效信息的篩選、數(shù)量關系的分析與數(shù)學語言的表達、解題思路的把握和解題計劃的確立”這些重要的思維環(huán)節(jié)，它們是整個解決問題過程中思維的核心。

例如，下圖是某教材三年級下冊“解決問題”中的一個例題。筆者認為類似問題的教學不應僅僅滿足于學生能列式解答這一例題，而應以此為載體，讓學生領悟到解決一個數(shù)學問題的完整的思維過程，否則，我們將失去數(shù)學促進學生思維發(fā)展的功能與價值。因此本題應讓學生經(jīng)歷以下的數(shù)學思考過程：

（1）通過觀察與交流獲取有效的數(shù)學信息，理解情境并形成完整的數(shù)學問題———某場團體操有60人參加表演，他們分成2個大圈，每個大圈由5個小圈組成，問每個小圈有多少人？

（2）分析信息之間的關系，并用數(shù)學語言表述數(shù)量關系———其一，每個大圈的人數(shù)÷小圈的個數(shù)=每個小圈的人數(shù)；其二，參加的總?cè)藬?shù)÷小圈的總個數(shù)=每個小圈的人數(shù)。這實際上揭示了兩種解決問題的思路。

（3）選擇解決問題的思路，并思考：根據(jù)所選擇的解題思路，應該先算什么，再算什么。

（4）列式解答并反思答案的合理性和問題的解決過程。

以上過程并非多余，它能促進學生在解決問題的過程中思維更有條理，是“問題情境———建立模型———解釋應用”過程的具體化，如果通過不斷的領悟而使學生內(nèi)化為自己的一種思維習慣，將有助于學生面對更復雜的問題時擁有正確的思維過程。

2.引導學生把握問題的關鍵和思路指向。

一個完整的、結構良好的問題情境，應該具有相關的數(shù)學信息和由此提出的數(shù)學問題，并且這些數(shù)學信息之間存在著內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系，由此可以生成新的問題或結論。顯然，當呈現(xiàn)的是一個較復雜的數(shù)學問題時，現(xiàn)有信息的結論指向與問題所需的信息之間存在著思維的障礙，兩者不能直接連接，要將兩者順利對接，可能需要一個過渡性的問題或結論（中間問題），這便是解決問題的關鍵。無論是傳統(tǒng)的應用題教學，還是現(xiàn)在的解決問題教學，這種思維的關鍵都是客觀存在的，只有清楚地把握并有效地突破思維過程中的關鍵點，思路才會暢通，問題才能得以順利解決。

某教師對教材（人教版三年級下冊）例題做了改編：

蘭蘭和她的小伙伴到少兒圖書館參加實踐活動，他們碰到了下面的問題：要把400本新書放到書架上，平均一格要放多少本呢？（圖示兩個書架，每個有4格）

教師在教學中，首先讓學生獨立思考、嘗試解決，然后進行算式展示和想法交流，最后在此基礎上討論、總結解決本問題的思路與關鍵，并用課件直觀演示：

這樣的梳理是必要的，學生能較好地把握問題的關鍵，了解不同的思路及相應的思考方向，從而確定正確的解題計劃。

三、學會表征，掌握解決問題的思維方法。

問題表征，即將數(shù)學信息從紛繁的情境中提取出來，根據(jù)信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，用數(shù)學化的語言與方式揭示信息之間的關系與結構，從而找到解決問題的思路與突破口。它是用可操作的方法將G·波利亞關于解題過程中的“轉(zhuǎn)換”環(huán)節(jié)加以具體化。

1.結合問題情境，有意義地表征數(shù)量關系。

從三年級開始，小學數(shù)學解決問題從以一步計算為主轉(zhuǎn)入以兩步計算為主，即開始兩重數(shù)量關系的復合，因而解決問題的思路也變得豐富起來。到了四年級，類似于“速度×時間=路程”這樣一般化的數(shù)量關系正式成為學習內(nèi)容，而到五年級學習用方程解決問題時，“相等關系”（數(shù)量關系的發(fā)展）已成為列方程不可逾越的前提。因此，在這一階段，應結合具體的問題情境，引導學生表述并揭示其中的數(shù)量關系，理解每一種算法的思路與信息結構，這樣不僅有利于很好地解決當前的數(shù)學問題，而且也能促進學生的后續(xù)學習。

雞兔同籠問題（即籠內(nèi)雞兔若干，已知有8個頭，26只腳，問雞兔各幾只），學生并非完全陌生，很多學生會用“假設法”來解決，但不一定知道“為什么可以用假設法解決”，“用了假設思想以后數(shù)量關系發(fā)生了怎樣的變化”……因此，對于這樣的問題，教學時就更應關注數(shù)量關系的揭示和算法思路的梳理。以下是一位老師的教學過程簡錄：

1.揭示問題情境，理解信息：你們能解決這個問題嗎？

2.學生嘗試解決問題。

3.匯報交流。

（1）展示解決問題的方法。

方法一：假設全部都是兔，4×8-26=6（只）；雞有6÷（4-2）=3（只）；兔有8-3=5（只）。

方法二：設兔有x只，得4x+（8-x）×2=26，x=5，雞有8-5=3（只）。

方法三：列表。

所以兔有5只，雞有3只。

（2）討論每種方法的思路和數(shù)量關系，理解算式的意義。

4.觀察交流：想一想，如果請你分類，你覺得這些方法可以分成幾類？

（1）學生匯報并闡述理由：

生1：可以分成四類：假設法、方程法、表格法、畫圖法。

生2：我覺得前面兩種方法是一類，它們都是假設的，第三種方法一類，第四種方法一類。

生3：我覺得好像可以把第一、第三、第四種方法分成一類，它們都有假設的意思，第二種方法是方程方法。

……

（2）教師引導學生對第三位學生的意見展開討論，逐步明確：第一、三、四3種方法本質(zhì)上都是假設，只是第一種假設的全部都是雞或兔，而另外兩種實際上假設部分是雞或兔，所以要逐步調(diào)整，直到找到答案。

5.思考：假設的目的是什么？

通過討論，明確假設的目的是為了與實際的信息產(chǎn)生矛盾，即與總腳數(shù)之間產(chǎn)生一個差，然后抓住這個矛盾解決問題。

以上教學已不僅僅停留在解決單個問題上，更關注方法和思路的梳理，關注數(shù)量關系的提煉與清晰的表征，促使學生整體、靈活地掌握解決問題的方法，提高了應用能力。

當然，數(shù)量關系表征的方式可以是多樣的，讓學生自主表征與交流，同樣值得提倡。

另外，數(shù)學問題豐富多樣，變化紛繁，但是解決問題的思路卻是有章可循的，這就需要在表征數(shù)量關系時類化解決問題的思路。一直以來，幾何直觀作為揭示與分析數(shù)量關系的有效手段而在解決問題的教學中被我們所重視，同樣在促進思路的類化中也具有不可替代的作用，將暗箱中的思維賦予形象化的載體，可以做到既有直觀性，又不失數(shù)學性，提升學生的學習水平和問題類化的能力。

2.關注思維方法，提高解決問題的有效性。

學生要從當前的問題狀態(tài)達到需要的目標狀態(tài)，必須對數(shù)學信息和問題之間直接或間接的聯(lián)系進行思考與分析，在這個過程中，綜合思維和分析思維這兩種思維方法起到了重要的作用。

簡單地說，綜合思維是從問題情境中的數(shù)學信息出發(fā)，分析它們之間的關系，思考可以得出的可能結果；而分析思維則是從問題出發(fā)，思考解決該問題所必需的信息是什么，從而有目標地從問題情境中尋找相關的數(shù)學信息。應該說，這兩種思維方法在解決問題的過程中具有同等重要的地位，它們都是對事物之間本質(zhì)聯(lián)系的把握。事實上，在解決問題的過程中，兩種思維方法常常是結合起來運用的。綜觀現(xiàn)行小學數(shù)學實驗教材，直接提供問題情境（主題圖或情境圖），讓學生觀察以后提出問題、再解決問題的設計可謂比比皆是，這樣的方式，使學生的綜合思維能力得到了發(fā)展。反過來，要求學生從問題出發(fā)，思考解決該問題所必需的數(shù)學信息的設計卻十分稀少，這不能不說是一種遺憾。故筆者認為，教師在教學中應關注并補充類似的教學設計，發(fā)展學生的分析思維。例如：

學校運動會上要給每位同學發(fā)一瓶飲料，根據(jù)現(xiàn)有的信息，請你提出一個需要兩步計算解決的數(shù)學問題，你覺得信息夠嗎？如果要請你解決“三、四年級每人1瓶，一共要花多少元”這個問題，需要補充什么信息？

小學數(shù)學課，具有公共基礎的性質(zhì)，因此，它不僅僅追求某些方面的精深，更應關注思維方式、方法各方面的均衡與和諧發(fā)展，從這個角度講，綜合思維與分析思維兩者不應偏廢。

“數(shù)學問題的重要性主要的不僅僅在于其直接的應用，而是其數(shù)學思維訓練的價值和潛在的對發(fā)展智力的影響?！保ㄈ握凛x，《數(shù)學思維論》）我們之所以認為，解決問題作為提高學生綜合應用數(shù)學知識、發(fā)展思維的有效載體，應該結合教學內(nèi)容對學生的數(shù)學思維過程和思維方法作必要的訓練與梳理，使學生積累必要的解決問題的經(jīng)驗，提高數(shù)學能力，皆是出于這一認識。

（作者單位系浙江省杭州市教研室）