鄭毓信

中國數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中的提問應(yīng)當(dāng)說十分普遍和頻繁。但是，正如以下的調(diào)查所表明的，真正有質(zhì)量的問題（或者說好的問題）并不多：

在一次幾何教學(xué)觀摩中，一位教師在一堂課中共提了105個問題，數(shù)量之多連任課教師自己也不敢相信，但其中“記憶性問題居多（占74.3%），推理性問題次之（占21.0%），強(qiáng)調(diào)知識覆蓋面，但極少有創(chuàng)造性、批判性問題”；另外，“提問后基本上沒有停頓（占86.7%），不利于學(xué)生思考”。①

那么，從教學(xué)的角度看，究竟什么是“好的問題”呢？對此美國學(xué)者巴拉布與達(dá)菲應(yīng)當(dāng)說提供了一個很好的解答：“教師的工作是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當(dāng)自己問自己的問題來對學(xué)習(xí)和問題解決進(jìn)行指導(dǎo)。這是參與性的，不是指示性的；其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對專業(yè)的問題解決者當(dāng)時會向自己提出的那些問題?！雹谟纱丝梢姡軌蛱岢銮‘?dāng)?shù)膯栴}事實上也正是數(shù)學(xué)思維的一種表現(xiàn)，從而也就必然地有一個通過學(xué)習(xí)逐步養(yǎng)成的過程。

顯然，從這樣的角度去分析，我們也就可以立即看出以下一些提法的局限性：

教學(xué)思想的發(fā)展可以歸結(jié)為：由“教師問、學(xué)生答”經(jīng)由“學(xué)生問、教師答”最終演變成“學(xué)生問、教師幫、學(xué)生答”。

“學(xué)生所提出的任何問題都是有用的?！?/p>

再者，經(jīng)?？梢钥吹降囊韵伦龇@然也是過于簡單了：有不少教師往往就以“這堂課你們想學(xué)些什么”作為課堂教學(xué)的直接開端，在學(xué)生從事了一定的解題活動之后，又常常會要求學(xué)生自己去編題；另外，各種教材中對于“你還能提出什么問題”這一用語的使用頻度無疑也會給人留下十分深刻的印象。

事實上，正如以下的實例③所表明的，就現(xiàn)實而言，學(xué)生所提的問題常常是“從眾”的結(jié)果（或是刻意的“標(biāo)新立異”），從而就很難被看成真正的創(chuàng)造性工作。如同解決問題能力的培養(yǎng)，學(xué)生提出問題的能力也不可能自發(fā)地形成，而主要是一個文化繼承的過程，教師更應(yīng)在這一過程中發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用：

信息提供：故事書每套12元，連環(huán)畫每套15元，科學(xué)書每套18元。

提出問題：買5套故事書和2套連環(huán)畫，一共要付多少錢？

問題解答：12×5+15×2=60+30=90（元）

師：誰還能再提一個問題？

生1：買3套故事書和5套連環(huán)畫，一共要付多少錢？

生2：買4套故事書和3套連環(huán)畫，一共要付多少錢？

生1：買2套故事書和6套連環(huán)畫，一共要付多少錢？

……

針對這樣的情況，該文作者明確指出：“如果教師能抓住時機(jī)，啟發(fā)引導(dǎo)，提示學(xué)生：‘科技書我們也要看啊或‘能否求出兩種書相差多少錢呢？學(xué)生的思路自然就寬了?！碑?dāng)然，我們也可對各種書的單價作出一定的改變，包括超出故事書、連環(huán)畫和科技書的范圍而談到其他的書籍；我們甚至還可超出問題的“事實性內(nèi)容”而過渡到相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

總的來說，會提問、善于提問也應(yīng)當(dāng)被看成數(shù)學(xué)教師的又一基本功，應(yīng)十分重視的是課堂提問的恰當(dāng)性。

以下再圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)的具體目標(biāo)對課堂提問的恰當(dāng)性作出進(jìn)一步的論述。

1.“解題策略”與問題提出。

正如人們普遍了解的，“問題解決”不僅對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著特別的重要性，而且也是數(shù)學(xué)活動的一個基本形式。特別是，所謂的“解題策略”更應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個重要方面。

就“問題解決”（包括中國的“數(shù)學(xué)方法論”）的現(xiàn)代研究而言，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞關(guān)于“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的研究為此奠定了必要的基礎(chǔ)，因為，正是他從總體上確定了這種研究的性質(zhì)：盡管不存在可以機(jī)械地用于解決一切問題的“萬能方法”，“各種各樣的規(guī)則還是有的，諸如行為準(zhǔn)則、格言、指南，等等。這些都還是有用的”。這也就是指，我們可以而且應(yīng)當(dāng)由已有的成功實踐總結(jié)出一般的方法或模式（這就是所謂的“解題策略”），以便在今后的類似情況中得到重要的啟發(fā)。

波利亞還明確指出，一些定型的建議和可以被看成“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的主要內(nèi)容，特別是，“可能任何類型的思維守則都在于掌握和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一系列合適的提問。”④這就十分清楚地表明了“提出問題”與解題能力之間的重要聯(lián)系。

以下就是波利亞針對解題過程的各個主要步驟所提出的一些啟發(fā)性的問題⑤：

第一，“弄清問題”。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

第二，“擬定計劃”。你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，“實現(xiàn)計劃”。你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？

第四，“回顧”。你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問題？

由此可見，適當(dāng)?shù)靥釂栴}事實上是“解題策略”的一個重要組成部分。當(dāng)然，提問的恰當(dāng)性不僅是指“在解題過程的不同階段應(yīng)當(dāng)提出不同的問題”，而且也是指我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體情況靈活地去運(yùn)用這些“問題模式”———從而，就如我們不應(yīng)將“解題策略”簡單地理解成可以機(jī)械地用于解決各種問題的“萬能方法”，我們在此也不應(yīng)將“提出問題”看成某些現(xiàn)成策略的簡單應(yīng)用，這同樣也是一種創(chuàng)造性的勞動。

2.“繼續(xù)前進(jìn)”與問題提出。

對于解決問題能力的突出強(qiáng)調(diào)，正是20世紀(jì)80年代在世界范圍內(nèi)盛行的“問題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動的主要特征。然而，相關(guān)的實踐又已表明，這一運(yùn)動也有著明顯的局限性，特別是，在相關(guān)的教學(xué)活動中，無論是學(xué)生或教師常常都只是滿足于用某種方法（包括觀察、實驗和猜測等）求得問題的解答，卻忽視了還應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步的思考和研究，如在這些看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍性的理論，這些事實能否被納入某個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，等等。而這些又正是數(shù)學(xué)思維的一個重要特點(diǎn)。

正是基于這樣的認(rèn)識，人們明確提出：“求取解答并繼續(xù)前進(jìn)?！庇钟捎凇扒斑M(jìn)”的關(guān)鍵在于如何能由已完成的工作引出新的研究問題，因此，這也就從又一角度更為清楚地表明了學(xué)會提出問題對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性。

以下就是這方面常用的一些策略。

（1）一般化。這就是指，如何能對已獲得的結(jié)果作出推廣以求得更為一般的結(jié)果。

例如，在掌握了“三角形的內(nèi)角和為180°”以后，我們就應(yīng)進(jìn)一步去思考如何能夠求得四邊形、五邊形乃至n邊形的內(nèi)角和，也即如何能將所獲得的結(jié)果由三角形推廣到一般的多邊形？另外，“如何能由長方體的長、寬、高求取它的對角線”，顯然就是將以下的問題由平面推廣到了空間：“如何由長方形的長和寬去求取它的對角線”；以下則是這一問題的進(jìn)一步推廣：“已知平行六面體從對角線的一個端點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長度以及三棱間的三個夾角，求對角線的長。”“已知正八面體的棱，求其對角線的長。”……

（2）求變（加大難度）。除去“一般化”以外，如何能將問題變得更難一些顯然也是發(fā)展與深化認(rèn)識的一個重要途徑———這也就是這里所說的“求變”的主要含義。

例如，在解決了通常意義下的“幻方問題”（指如何在“九宮格”中分別安放1、2、3、……9這樣9個數(shù)字，并使得每一行、每一列、每條對角線上數(shù)字的和都相等）以后，我們就可通過“加大難度”引出如下一系列新問題，通過求解這些問題我們便可更好地理解相關(guān)的解題策略：

第一，原先所用到的數(shù)字是1到9，能否用2到10這9個數(shù)字去完成同樣的工作？又能否采用87到95這9個數(shù)字？

第二，能否用3、6、9、12、15、18、……27這9個數(shù)字去完成同樣的工作？或是用1到9這9個數(shù)字的其他倍數(shù)？

第三，能否用5、8、11、14、17、20……29這9個數(shù)字去完成同樣的工作？或是任何一個算術(shù)級數(shù)？

（3）反向思維。這就是指通過交換問題中的已知成分與未知成分以引出新的問題。例如，如果由勾股定理作為出發(fā)點(diǎn)，我們就可通過“反向思維”引出如下的問題：邊長滿足a2+b2=c2的三角形是否一定是直角三角形？

容易看出，反向思維與“充分必要條件”的研究有著十分密切的聯(lián)系。然而，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，通過交換已知與未知成分所得出的又并非總是等值的情況，也可能是所謂的“開放題”，從而就為新的探究活動提供了極大的空間。

例如，以下的錢幣組合問題是十分容易解決的：試計算出3個5角的硬幣與4個1元的硬幣的總面值：（3×5）+（4×10）=55（角）=5元5角。

進(jìn)而，經(jīng)由交換已知成分和未知成分，我們就獲得了這樣的問題：如何用5角的硬幣與1元的硬幣合成5元5角？顯然，這時存在多種可能的組合，從而也就為我們通過加大難度去提出問題開拓了新的可能性。如：

我們能否完全用5角的硬幣去合成5元5角？

我們能否完全用1元的硬幣去合成5元5角？

如果用5角的硬幣與1元的硬幣合成5元5角，怎樣搭配可以使得所使用的硬幣數(shù)目最少？

如果用5角的硬幣與1元的硬幣合成5元5角，怎樣搭配可以使得所使用的硬幣數(shù)目最多？

對于任意一個介于所說的最少數(shù)目與最多數(shù)目之間的正整數(shù)而言，我們是否都可使用這么多的5角與1元的硬幣合成5元5角？

3.學(xué)會學(xué)習(xí)與提出問題。

相對于具體知識和技能的學(xué)習(xí)而言，如何幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)顯然更為重要。

就上述目標(biāo)的實現(xiàn)而言，以下的一些提問策略是特別有用的。

（1）“為什么？”

顯然，經(jīng)常問“為什么”正是促成由“知其然”向“知其所以然”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵所在，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這更有利于防止對于算法的機(jī)械記憶與模仿并真正實現(xiàn)理解學(xué)習(xí)。另外，經(jīng)常問“為什么”也是導(dǎo)致嚴(yán)格邏輯證明的一個重要原因———更為一般地說，這十分有利于學(xué)生逐步養(yǎng)成一定的理性精神與批判能力。

值得指出的是，在學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，要求他們對自己的做法說明理由也可幫助教師更好地了解學(xué)生真實的思維過程，包括找出錯誤的原因，從而可以更有針對性地工作。

例如，學(xué)生在進(jìn)行乘法運(yùn)算時出現(xiàn)如下錯誤很可能是由于“不適當(dāng)?shù)囊话慊?，即是將加法的相關(guān)性質(zhì)———互補(bǔ)性———不恰當(dāng)?shù)赝茝V應(yīng)用到了乘法之中：

4×7=（4-1）×（7+1）=3×8。

對此，我們應(yīng)幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣的思維習(xí)慣，即在出現(xiàn)錯誤時應(yīng)當(dāng)深入地去思考相應(yīng)的做法為什么是錯的，后者對于認(rèn)識的深化顯然也十分有益。例如，就上例而言，對于錯誤原因的具體分析將有助于學(xué)生更為清楚地認(rèn)識在加法與乘法之間所存在的重要差別，從而就可有效地防止類似錯誤的反復(fù)出現(xiàn)。

（2）“同與不同？”

這方面的思考顯然構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的分類，特別是數(shù)學(xué)抽象的直接基礎(chǔ)；另外，從更深入的層次看，“類比聯(lián)想”的核心正是“求同存異”，從而也就同時包含了“同”與“不同”這樣兩個方面的思考：所謂“求同”，就是指如何通過抽象分析找出兩個對象的類似之處，所謂“存異”，則是指在由已知事實去引出新的猜測時，我們又應(yīng)特別注意兩者的差異，也即必須依據(jù)對象的具體情況作出適當(dāng)?shù)摹胺g”或“調(diào)整”。

應(yīng)當(dāng)提及的是，在一些學(xué)者看來，善于進(jìn)行比較直接關(guān)系到了學(xué)習(xí)的本質(zhì)。例如，按照瑞典著名教育家馬登的“現(xiàn)象圖式學(xué)”，學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是鑒別，鑒別又主要依賴于比較。由此也可印證“變式理論”的合理性。

再者，適當(dāng)?shù)谋容^顯然也是“優(yōu)化”的必要基礎(chǔ)。對此我們將在下一節(jié)中作出具體論述。

（3）“回頭看?！?/p>

波利亞關(guān)于解題活動各個主要步驟的分析顯然表明：總結(jié)與反思也應(yīng)被看成解題活動的重要組成部分，這也就是指，在問題獲得解決以后我們還應(yīng)對整個解題過程作出回顧，并深入地思考能否用別的方法求解同一問題，是否存在更為簡單的解題方法，等等。

應(yīng)當(dāng)指明的是，除去“問題解決”以外，我們還可在更大的范圍應(yīng)用“回頭看”這一策略。例如，在一個學(xué)段的學(xué)習(xí)任務(wù)完成以后，我們就應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容作出回顧，特別是，各個學(xué)習(xí)內(nèi)容之間存在怎樣的聯(lián)系，什么是教材呈現(xiàn)的邏輯線索，在此又是否存在其他的選擇，等等。顯然，這些問題的思考不僅有利于學(xué)生跳出細(xì)節(jié)，并從整體上進(jìn)行把握，而且也十分有利于學(xué)生超越教材邏輯線索的束縛，從而建立起更加合理的認(rèn)知框架。

事實上，這也應(yīng)當(dāng)成為復(fù)習(xí)總結(jié)課的一項重要內(nèi)容，我們應(yīng)幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成“回頭看”的思維習(xí)慣。

（4）元認(rèn)知。

研究表明：這正是解題活動高度自覺性的一個具體表現(xiàn)，即解題者對于自己所從事的活動，包括做什么（what）、為什么要這樣做（why）、做了以后又取得了什么樣的效果（how），始終具有清醒的自我意識，并能及時作出必要的評價與調(diào)整。由于這些考慮都以解題活動作為直接的對象，達(dá)到了更高的思維層次，因此人們往往就將這方面的活動稱為“元認(rèn)知”。

除去“問題解決”以外，上述思考對于一般的學(xué)習(xí)活動顯然也十分有益，特別是使之真正成為一種高度自覺的活動：我們不僅應(yīng)當(dāng)努力增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動的計劃性，而且也應(yīng)在整個學(xué)習(xí)過程中始終對于自身所從事的學(xué)習(xí)活動，包括學(xué)習(xí)策略的應(yīng)用與進(jìn)展情況等保持清醒的自我意識，并能及時作出必要的評價與調(diào)整。

另外，相關(guān)的思考顯然也表明，就學(xué)生提出問題能力的培養(yǎng)而言，不應(yīng)被理解成對于各個提問策略的機(jī)械應(yīng)用，恰恰相反，這里的關(guān)鍵也在于如何能夠依據(jù)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容與情境提出恰當(dāng)?shù)膯栴}。例如，就“問題解決”而言，無論評價或調(diào)整我們顯然都應(yīng)“盯緊目標(biāo)”，也即始終不應(yīng)忘記我們所做的一切都是為了解決所面臨的問題；另外，如果所從事的是抽象概念的學(xué)習(xí)，我們就應(yīng)當(dāng)經(jīng)常問自己這樣一些問題：究竟什么是相關(guān)概念的本質(zhì)，我能否為這一概念舉出一個實例，這一概念又與哪些概念密切相關(guān)，在它們之間有著什么樣的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，等等。

最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，除去上面已提及的“問題解決”、“繼續(xù)前進(jìn)”、“學(xué)會學(xué)習(xí)”等具體目標(biāo)以外，數(shù)學(xué)教學(xué)中的提問還有著更深層的意義：通過問題情境的設(shè)置我們可以不斷培養(yǎng)與調(diào)動學(xué)生的好奇心，并促使他們積極地去進(jìn)行探究，包括因此而獲得深層次的快樂———更為一般地說，這事實上也就直接關(guān)系到了如何能夠更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價值。因此，努力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，并促使學(xué)生積極地去進(jìn)行思考，從而逐步學(xué)會思考，這應(yīng)當(dāng)被看成數(shù)學(xué)教學(xué)的一個主要目標(biāo)。

由以下的論述與實例我們可以更為清楚地認(rèn)識實現(xiàn)上述目標(biāo)的重要性與緊迫性。

“解決問題也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”⑥

以下是幾年前在中國和美國部分地區(qū)間進(jìn)行的一項比較研究中的一個試題：就圖1所示的情景提出三個數(shù)學(xué)問題，要求一個較為容易，一個較難，另一個則難度適中。⑦

結(jié)果表明：美國學(xué)生對于此類問題普遍感到較為容易，對中國學(xué)生來說卻是相反的情況。事實上，這次測試共包括兩個部分：第一部分要求學(xué)生按照所給出的情景———共有3個情景，圖1是其中之一———分別提出易、中、難三個數(shù)學(xué)問題，但不需要求解；第二部分則要求學(xué)生實際求解試卷中根據(jù)特定情景所直接給出的兩個數(shù)學(xué)問題。結(jié)果美國學(xué)生普遍地感到第二部分難于第一部分，對中國學(xué)生而言第二部分則似乎沒有任何困難，但面對第一部分他們卻顯得完全不知所措。雖然這只是以小學(xué)四年級學(xué)生為對象所做的一次測試，但設(shè)計者后來又對中國的中學(xué)生甚至大學(xué)生進(jìn)行了同樣的測試，結(jié)果也出現(xiàn)了同樣的情況。由此可見，中國學(xué)生與美國學(xué)生相比較為缺乏提出問題的能力。

注釋：

①顧泠沅等：《尋找中間地帶》，上海教育出版社，2003年版，第174～175頁。

②引自《從實習(xí)場到實踐共同體》，載喬納森等主編：《學(xué)習(xí)環(huán)境的理論基礎(chǔ)》，華東師范大學(xué)出版社，2002年版，第31頁。

③祝家林：《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生答問從眾現(xiàn)象之反思》，《湖南教育·數(shù)學(xué)教師》，2007年8月號。

④波利亞：《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，第二卷，內(nèi)蒙古人民出版社，1980年版，第127頁。

⑤詳見波利亞：《怎樣解題》，科學(xué)出版社，1982年版。

⑥英費(fèi)爾德、愛因斯坦：《物理學(xué)的進(jìn)化》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1962年版，第66頁。

⑦這一材料由貴州師范大學(xué)副校長呂傳漢提供。