1 引 言

結(jié)構(gòu)動力學(xué)有三類基本問題[1]：在已知激勵、響應(yīng)、系統(tǒng)動力特性(包括振源的彈性系統(tǒng)和輸出對象結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的各種參數(shù))三者之二的情況下求取第三個量。如果已知激勵和響應(yīng)欲求其系統(tǒng)特性稱為第一類逆問題，根據(jù)響應(yīng)和系統(tǒng)特性求激勵稱為第二類逆問題。在許多工程實際問題中，均假設(shè)激勵力為單位激勵，通過計算得到系統(tǒng)的振動響應(yīng)數(shù)據(jù)來分析系統(tǒng)的振動特性，這種分析方法在一定程度上可以為實際問題提供指導(dǎo)。然而單位力載荷顯然不能體現(xiàn)各頻率點之間的量級關(guān)系和差別，帶入實際問題分析有些欠妥，例如隔振問題中對系統(tǒng)實際隔振效果的分析就與激勵頻譜有關(guān)。當(dāng)然，最可靠和最為理想的激勵譜估計應(yīng)該通過實測途徑才能獲得，通過在機(jī)械設(shè)備機(jī)腳安裝力傳感器可以直接測量設(shè)備的輸出激勵譜，但測力傳感器的安裝與拆卸往往非常困難，可行性較差。在輸出激勵力頻譜不方便直接測量的情況下，考慮通過間接估計方法對設(shè)備實際激勵力頻譜進(jìn)行估算[2,3]，有一定的工程應(yīng)用價值。

2 基本理論

2.1 有限元法基本理論

有限元法的基本思路是“一分一合”，分是為了進(jìn)行單元分析，合是為了對整體進(jìn)行綜合分析。其基本原理是：在變分法或加權(quán)余量法的基礎(chǔ)上，采用分塊逼近的思想而形成的系統(tǒng)化的數(shù)值方法。其基本原理是將求解區(qū)域進(jìn)行離散化，剖分成相互連接而又不重疊的一定形狀的子區(qū)域，稱為“單元”。在單元中選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線性組合來逼近單元中的真解?？傮w基函數(shù)可以看作由單元基函數(shù)所組成。同時總體區(qū)域上的積分也可由各個單元的積分之和來合成，由于單元的幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構(gòu)造基函數(shù)可以給出一定的法則，單元積分也比較容易。有限元法中的總體區(qū)域的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。

通過對結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元離散，結(jié)構(gòu)方程可以寫成下列形式：

(1)

2.2 導(dǎo)納分析法基本理論

對于穩(wěn)定的、定常的、線性振動系統(tǒng)在簡諧力f=Fejωt作用下，其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)運動響應(yīng)在復(fù)平面中為x=Xej(ωt+φ)，則該系統(tǒng)的機(jī)械導(dǎo)納可以表示為：

(2)

由于激勵與響應(yīng)的幅值比及相位差均隨激振頻率ω而改變，而機(jī)械導(dǎo)納則是以jω為參量的復(fù)變函數(shù)，故它們都是頻域函數(shù)，則上式可以進(jìn)一步表示為：

(3)

對于m個輸入和n個輸出的線性振動系統(tǒng)，可用廣義導(dǎo)納矩陣或傳遞函數(shù)矩陣來綜合描述它在頻域內(nèi)的動態(tài)特性[4]。

圖1 多輸入輸出線性振動系統(tǒng)

其中：

(4)

式中，hij(s)代表第j個輸入與第i個輸出之間的權(quán)函數(shù)。

3 彈性殼體模型算例分析

3.1 殼體模型結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)

彈性殼體的主體結(jié)構(gòu)由截頂圓錐殼(長0.85 m，兩底面直徑分別為0.1 m和0.9 m)、圓柱殼(長3.025 m，直徑0.9 m)和橢球冠封頭(高0.225 m，球冠直徑0.9 m)三部分拼接而成，內(nèi)部還有機(jī)械設(shè)備安裝基座、艙壁、艙底縱骨和環(huán)肋等部分。

3.2 估算方法流程

首先采用ANSYS有限元軟件，建立此彈性殼體的有限元數(shù)值計算模型。表面殼體、設(shè)備基座以及艙壁結(jié)構(gòu)用shell63單元模擬，單元的總數(shù)為39 490個；環(huán)肋結(jié)構(gòu)用beam188單元模擬，單元數(shù)為4 929個。在30～300 Hz頻率范圍內(nèi)，每隔10 Hz取一個分析頻率點，僅考慮機(jī)械設(shè)備為剛性安裝條件，在設(shè)備對基座激勵的4個機(jī)腳上加載垂向單位力，進(jìn)行諧響應(yīng)分析計算，得到設(shè)備機(jī)腳激勵點的響應(yīng)加速度值，可組成一個4×4階的加速度矩陣，由導(dǎo)納法的基本原理可知，該矩陣也即4個機(jī)腳激勵點之間的導(dǎo)納復(fù)矩陣：

(m,n=1,2,3,4)

(5)

式中，amn(ωi)為在第m點作用垂向單位力時第n點的加速度響應(yīng)值，ωi為計算頻率值。

在彈性殼體模型試驗中，使用了Sony磁帶記錄儀以及LMS公司的pimento測試與分析系統(tǒng)，對模型進(jìn)行了懸空吊裝振動響應(yīng)測試，同步測量了機(jī)械設(shè)備斜對角2個機(jī)腳處的垂向加速度和殼體內(nèi)表面測點處的垂向加速度。由于殼體為對稱結(jié)構(gòu)，對稱位置處的機(jī)腳用相同的加速度試驗數(shù)據(jù)，合并寫成機(jī)腳的實測加速度矩陣：

[Acc(ωi)]=

[Acc1(ωi)Acc2(ωi)Acc3(ωi)Acc4(ωi)]T

(6)

式中，Accm(ωi)(m=1,2,3,4)為第m個機(jī)腳處在模型試驗中測量得到的加速度響應(yīng)值；ωi為計算頻率值。

結(jié)合數(shù)值計算得到的導(dǎo)納傳遞矩陣[A(ωi)]和機(jī)腳加速度試驗數(shù)據(jù)[Acc(ωi)]，根據(jù)導(dǎo)納法的基本原理得到下式：

[Acc(ωi)]=[A(ωi)][F(ωi)]

(7)

可求得在某一頻率下的機(jī)械設(shè)備對基座輸出激勵力：

[F(ωi)]=[F1(ωi)F2(ωi)F3(ωi)F4(ωi) ]T

=[A(ωi)]+[Acc(ωi)]

(8)

式中[A(ωi)]+為[A(ωi)]的Moore-Penrose廣義逆。

以此類推，就可以求得設(shè)備對基座的輸出激勵譜[F]。

將輸出激勵譜[F]帶入彈性殼體有限元模型，計算得到殼體表面測點處的加速度值。并將殼體表面測點處加速度響應(yīng)的數(shù)值計算結(jié)果和試驗測量結(jié)果進(jìn)行對比分析，給出了殼體表面4個測點處的加速度計算值和試驗值的對比圖譜，見圖2。

圖2 彈性殼體內(nèi)表面測點加速度計算值和試驗值對比

由圖2看出，在30～300 Hz頻率范圍內(nèi)，殼體內(nèi)表面測點加速度計算值和試驗值趨勢大體一致；但在某些頻率點處數(shù)值上相差比較大，主要是因為在理論計算和實際試驗中做了一定程度的簡化，例如：機(jī)械設(shè)備的輸出激勵力僅考慮了垂向的影響而忽略了水平方向的影響；機(jī)械設(shè)備和基座由螺栓連接，在實際情況中并不是完全剛性的，而且在接觸面積上實際應(yīng)為面接觸，而理論分析中都視為點接觸；對稱位置的機(jī)腳測點采用相同的加速度試驗值帶入求解，而實際上對稱測點處加速度值是有差別的。同樣，在分析時將機(jī)腳測點的位置等同認(rèn)為就是機(jī)械設(shè)備對基座的輸出激勵力位置，而實際上兩者之間還有一定的距離。上述這些都會對數(shù)值計算結(jié)果產(chǎn)生影響。圖2中某些頻率處的計算和試驗的加速度曲線走勢有反相突變，是因為有限元計算推導(dǎo)得到的導(dǎo)納復(fù)矩陣中包含機(jī)腳激勵點之間的相位信息而試驗數(shù)據(jù)中沒有彼此的相位信息，將各點簡化處理成同相位考慮了。

4 結(jié) 論

本文運用有限元法間接求得了機(jī)械設(shè)備對基座激勵點處的廣義導(dǎo)納矩陣，在一定程度上避開了通過實測途徑求該導(dǎo)納矩陣的困難，而且結(jié)合機(jī)械設(shè)備機(jī)腳加速度實測數(shù)據(jù)，間接估算了機(jī)械設(shè)備對基座的激勵力，并通過帶入估算得到的激勵力求殼體結(jié)構(gòu)表面的響應(yīng)和實驗測量的響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明該方法可行，具有一定的工程應(yīng)用價值；同時為了提高該方法計算精度，在有限元建模方面需要進(jìn)一步的細(xì)化，考慮機(jī)械設(shè)備對基座在水平方向激勵的影響，改進(jìn)試驗數(shù)據(jù)的后處理過程，能在試驗數(shù)據(jù)中提取出激勵力作用點之間的相位信息，這都要求在今后的理論和試驗中不斷完善，不斷改進(jìn)。

[1] 朱石堅，何琳．船舶振動控制機(jī)械[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2006.

[2] 翁雪濤，王家林，朱石堅．利用頻率響應(yīng)函數(shù)求外部激勵[J]．噪聲與振動控制，1999(1)：12-14.

[3] 翁雪濤，朱石堅．利用頻率響應(yīng)函數(shù)求外部激勵的實驗驗證[J]．噪聲與振動控制，1999(3)：9-11.

[4] 左鶴聲．機(jī)械阻抗方法與應(yīng)用[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1987.