1 引 言

1955年,Kerwin首次提出船舶在縱浪中航行,船體交替處于波峰和波谷，船體浸水部分的形狀和體積隨時(shí)間變化，使得船舶初穩(wěn)性高也隨時(shí)間變化，是導(dǎo)致縱浪中船舶橫搖運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)及傾覆的重要原因[1]。隨后很多學(xué)者都對(duì)隨機(jī)和規(guī)則縱浪中船舶的純參數(shù)激勵(lì)橫搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了大量研究。但是，對(duì)船舶在遭受參數(shù)激勵(lì)和橫向強(qiáng)迫激勵(lì)(以下簡(jiǎn)稱為“參—強(qiáng)激勵(lì)”)下的動(dòng)力學(xué)特征，研究較少。我們建立并用多尺度法求解了規(guī)則參—強(qiáng)聯(lián)合激勵(lì)的橫搖運(yùn)動(dòng)方程[2]。船舶遭受隨機(jī)參—強(qiáng)激勵(lì)包括了船舶運(yùn)動(dòng)的更廣泛的航行背景，然而對(duì)此項(xiàng)問(wèn)題的研究還鮮見(jiàn)報(bào)道。本文考慮船舶橫搖恢復(fù)力矩的非線性和波浪的隨機(jī)性，假設(shè)升沉和縱搖準(zhǔn)靜力平衡，將隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)引入橫搖方程，采用Dunwoody方法推導(dǎo)由波浪引起的隨機(jī)初穩(wěn)性高波動(dòng)項(xiàng)[3]，得到了參—強(qiáng)激勵(lì)橫搖運(yùn)動(dòng)的計(jì)算方法?？紤]不同航速、航向、波高、波長(zhǎng)對(duì)某漁政船進(jìn)行了參—強(qiáng)激勵(lì)橫搖計(jì)算。

2 參—強(qiáng)激勵(lì)方程

考慮阻尼力矩和恢復(fù)力矩的非線性，以及升沉、縱搖、波浪共同作用產(chǎn)生的參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫激勵(lì)項(xiàng)建立的橫搖運(yùn)動(dòng)方程如下：

(1)

阻尼力矩取線性加立方阻尼的形式：

(2)

恢復(fù)力矩是橫搖、升沉、縱搖、波面升高及時(shí)間的函數(shù)：

(3)

式中，回復(fù)力臂可以用下式表示：

(4)

3 隨機(jī)斜浪中船舶橫搖干擾力矩和初穩(wěn)性高的計(jì)算

將隨機(jī)波表示為一系列簡(jiǎn)諧波的疊加，干擾力矩公式為[4]：

(5)

式中，I為考慮了附加質(zhì)量的橫搖轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩；α0為波傾斜系數(shù)；ω0為橫搖的固有頻率；hi是分諧波波高；λi是分諧波波長(zhǎng)；χ是航向角；ωei是船舶斜浪航行的船波遭遇頻率；εi為在區(qū)間(0～2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位角。

船舶斜浪航行過(guò)程中，波浪除了對(duì)船舶施加以橫搖擾動(dòng)力矩外，還引起了船舶橫搖初穩(wěn)性高的變化。船舶左右兩舷的波面差產(chǎn)生了橫搖擾動(dòng)力矩，本文根據(jù)船長(zhǎng)x處的平均波面升高來(lái)計(jì)算初穩(wěn)性高。隨機(jī)斜浪中沿船舶表面的波面升高表達(dá)式見(jiàn)式(6)。它不僅同時(shí)間t、遭遇頻率ωe、隨船坐標(biāo)系縱向坐標(biāo)x有關(guān)，還與橫向坐標(biāo)y有關(guān)。船體表面 (x,y)點(diǎn)的波面升高為：

(6)

式中，hi為分諧波波幅；ki為分諧波波數(shù)；χ為航向角；χ=0°表示迎浪航行狀態(tài)；ωi為分諧波波浪圓頻率；λi為分諧波波長(zhǎng)；U為船速。

在船長(zhǎng)縱向坐標(biāo)x處，左右兩舷的波面升高分別為：

cos[ki(xcosχ-ylsinχ)+ωeit]

(7)

cos[ki(xcosχ-yrsinχ)+ωeit]

(8)

因?yàn)榇白笥覍?duì)稱yl=-yr，所以x處的平均波面升高為：

cos(kixcosχ+ωeit)cos(kiylsinχ)

(9)

采用Dunwoody方法得到由波浪引起的隨機(jī)初穩(wěn)性高波動(dòng)項(xiàng)gm(t)的表達(dá)式：

(10)

(11)

(12)

(13)

考慮隨機(jī)波浪為一系列簡(jiǎn)諧波的疊加，得到波面升高加速度的表達(dá)式。

cos(kixcosχ+ωeit)cos(kiylsinχ)

(14)

將式(9)和式(14)代入式(10)，可計(jì)算初穩(wěn)性高波動(dòng)值，由式(1)可計(jì)算橫搖角的響應(yīng)歷程。

4 參—強(qiáng)激勵(lì)算例分析

取隨機(jī)波浪特征波長(zhǎng)λ=40 m，有義波高h(yuǎn)1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s；航向30°，首斜浪航行航速7.492 8 m/s，特征遭遇頻率為2.26 rad/s，為橫搖固有頻率的2倍，得到的初穩(wěn)性高譜、橫搖擾動(dòng)力矩譜，考慮和不考慮初穩(wěn)性高變化的隨機(jī)橫搖運(yùn)動(dòng)結(jié)果見(jiàn)圖1～圖6。

圖1 初穩(wěn)性高譜

圖2 橫搖干擾力矩譜

圖3 橫搖角(考慮初穩(wěn)性高的變化)

圖4 橫搖角譜(考慮初穩(wěn)性高的變化)

圖5 橫搖角(不考慮初穩(wěn)性高的變化)

圖6 橫搖角譜(不考慮初穩(wěn)性高的變化)

取隨機(jī)波浪特征波長(zhǎng)λ=40 m，有義波高h(yuǎn)1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s;航向30°，航速U分別取1 m/s, 2 m/s,……,12 m/s。按照上述方法計(jì)算得到的穩(wěn)定橫搖的最大幅值的變化如圖7所示。在圖7～圖10中，“*”表示考慮參數(shù)激勵(lì)及波浪外激勵(lì)的影響計(jì)算得到的最大橫搖角，“△”表示不考慮參數(shù)激勵(lì)的影響，僅計(jì)入波浪外激勵(lì)得到的結(jié)果。

取隨機(jī)波浪特征的波長(zhǎng)λ=40 m，有義波高h(yuǎn)1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；航向角分別取0°, 5°,……, 60°。按照上述方法計(jì)算得到的穩(wěn)定橫搖的最大幅值的變化如圖8所示。因?yàn)椴ɡ藬_動(dòng)力矩的頻率遠(yuǎn)離橫搖外激勵(lì)共振區(qū)域，所以波浪擾動(dòng)力矩對(duì)橫搖的影響不大，而參數(shù)激勵(lì)特征頻率為橫搖固有頻率的2倍，位于主參數(shù)共振區(qū)域，對(duì)橫搖影響很大。

圖7 最大橫搖角隨航速的變化

圖8 最大橫搖角隨航向的變化

圖9 最大橫搖角隨波長(zhǎng)的變化

圖10 最大橫搖角隨波高的變化

取隨機(jī)波浪有義波高h(yuǎn)1/3=3 m，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；波長(zhǎng)分別取20 m, 30 m,……, 100 m。按照上述方法計(jì)算得到的穩(wěn)定橫搖的最大幅值變化如圖9所示。由此可見(jiàn)，在λ/cosχ與船長(zhǎng)相差不大時(shí)，參數(shù)激勵(lì)對(duì)橫搖的影響較明顯。而對(duì)于外激勵(lì)而言，波陡越大，橫搖擾動(dòng)力越大，相應(yīng)的橫搖幅值就越大。

取隨機(jī)波浪特征波長(zhǎng)λ=40 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s，航向30°，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；有義波高分別取為h1/3=1 m,1.25 m,……，4 m。按照上述方法計(jì)算得到的穩(wěn)定橫搖的最大幅值的變

化見(jiàn)圖10。從圖10中可見(jiàn)，參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)引起的橫搖運(yùn)動(dòng)都隨著波高的增大而增大，只有當(dāng)波高超過(guò)某一閾值時(shí)，參數(shù)激勵(lì)橫搖才可能被激起。

5 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)上述計(jì)算得到的分析結(jié)論如下：

1) 對(duì)于隨機(jī)斜浪中的參—強(qiáng)激勵(lì)橫搖運(yùn)動(dòng)，當(dāng)特征遭遇頻率一定時(shí)，最大穩(wěn)定橫搖幅值隨波高的增大而增大，隨航向角的增大而減小。

2) 對(duì)于隨機(jī)斜浪中的參—強(qiáng)激勵(lì)橫搖運(yùn)動(dòng)，當(dāng)特征遭遇頻率為船舶橫搖固有頻率的2倍時(shí)，因?yàn)椴ɡ藬_動(dòng)力矩譜能量是在橫搖固有頻率的2倍附近，遠(yuǎn)離共振區(qū)域，所以它對(duì)橫搖的影響非常小，而因?yàn)閰?shù)激勵(lì)譜能量集中在主參數(shù)共振頻率(即2倍橫搖固有頻率)附近，所以它對(duì)橫搖起決定性作用。

3) 對(duì)于不規(guī)則波中的橫搖，由算例結(jié)果可見(jiàn)，在航向角和不規(guī)則波的特征波長(zhǎng)、有義波高、特征頻率確定的時(shí)候，隨著遭遇頻率由2倍橫搖固有頻率向1倍橫搖固有頻率變化，參數(shù)激勵(lì)對(duì)船舶的影響逐漸減小，而波浪擾動(dòng)力矩對(duì)船舶橫搖的影響逐漸增大。在計(jì)算斜浪中變航速的橫搖響應(yīng)時(shí)，兩者都要考慮。

[1] KERWIN J E.Notes on rolling in longitudinal waves[J].International Shipbuilding Progress，1955，2(16)：597-614.

[2] 唐友剛，林維學(xué)，董艷秋.船舶參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫激勵(lì)作用下的非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)[J].中國(guó)造船，2001，42(6)：34-39.

[3] DUNWOODY A B. Roll of a ship in astern seas-metacentric height spectra[J]. Journal of Ship Research, 1989, 33(3):221-228.

[4] Intact Stability Criteria for Passenger and Cargo Ship[S], IMO, 1987.

[5] Jianbo Hua.A study of the parametrically excited roll motion of a RoRo-ship in following and heading waves[J].International Shipbuilding Progress，1992，39(420)：345-366.